2020-2021學(xué)年廣東省廣州市華師附中番禺學(xué)校高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年廣東省廣州市華師附中番禺學(xué)校高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（5分）已知0＜a＜3，復(fù)數(shù)z＝a+i（i是虛數(shù)單位），則|z|的取值范圍是（）A．（1，） B．（1，） C．（1，3） D．（1，10）2．（5分）4名同學(xué)分別報(bào)名參加學(xué)校的手工、繪畫、機(jī)器人設(shè)計(jì)三個(gè)校本課程，每人限報(bào)其中一個(gè)課程，不同報(bào)法的種數(shù)是（）A．81 B．64 C．24 D．163．（5分）已知10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件次品，若從中任意抽取5件產(chǎn)品進(jìn)行檢查，則抽取的5件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法有（）A．35種 B．38種 C．105種 D．630種4．（5分）曲線y＝f（x）在x＝1處的切線如圖所示，則f′（1）﹣f（1）＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣5．（5分）函數(shù)y＝cos（1+x2）的導(dǎo)數(shù)是（）A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2） D．2cos（1+x2）6．（5分）有3位男生，3位女生和1位老師站在一起照相，要求老師必須站中間，與老師相鄰的不能同時(shí)為男生或女生，則這樣的排法種數(shù)是（）A．144 B．216 C．288 D．4327．（5分）已知（x+）8展開式中x4項(xiàng)的系數(shù)為112，其中a∈R，則此二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是（）A．38 B．1或38 C．28 D．1或288．（5分）已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)為y＝f′（x），當(dāng)x≠0時(shí)，f′（x）+＞0，若a＝，b＝﹣3f（﹣3），c＝，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分．）（多選）9．（5分）已知（ax2+）n（a＞0）的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024，則下列說法正確的是（）A．展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256 B．展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大 C．展開式中存在常數(shù)項(xiàng) D．展開式中含x15項(xiàng)的系數(shù)為45（多選）10．（5分）若復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z＝3+i（其中i是虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A． B．z的實(shí)部是2 C．z的虛部是1 D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限（多選）11．（5分）對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．在（0，e）上單調(diào)遞減 B．有極小值e C．有最小值e D．無最大值（多選）12．（5分）若函數(shù)f（x）＝2x3﹣ax2（a＜0）在上有最大值，則a的取值可能為（）A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．（5分）已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（i是虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)a的值為．14．（5分）在（x3﹣）4的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是．（用數(shù)字作答）15．（5分）現(xiàn)有標(biāo)號為①，②，③，④，⑤的5件不同新產(chǎn)品，要放到三個(gè)不同的機(jī)構(gòu)進(jìn)行測試，每件產(chǎn)品只能放到一個(gè)機(jī)構(gòu)里．機(jī)構(gòu)A，B各負(fù)責(zé)一個(gè)產(chǎn)品，機(jī)構(gòu)C負(fù)責(zé)余下的三個(gè)產(chǎn)品，其中產(chǎn)品①不在A機(jī)構(gòu)測試的情況有種（結(jié)果用具體數(shù)字表示）．16．（5分）已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），滿足f'（x）＜x，且f（2）＝1，則不等式f（x）＜﹣1的解集為．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（10分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求出極值點(diǎn)與極值；18．（12分）從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題中，并解答①bsinA＝acosB；②（a+c+b）（a+c﹣b）＝3ac；③2cosB（acosC+ccosA）＝b．在△ABC中，角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，滿足條件______．（1）求角B的大??；（2）若a＝4，S△ABC＝6，求b的值．19．（12分）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an﹣2，n∈N*．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝log2a2n﹣1（n∈N*），求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax3﹣6x+1，a∈R．（1）若a＝2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣2，3]的最值；（2）若f（x）恰有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，AD⊥DC，PC⊥PD，PC＝PD＝AD＝2，M為PA的中點(diǎn)．（1）求證：平面ACP⊥平面MCD；（2）求二面角C﹣MD﹣P的余弦值．22．（12分）已知g（x）＝lnx+x﹣x2，h（x）＝xex﹣ax2﹣ag（x）．（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，h（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2020-2021學(xué)年廣東省廣州市華師附中番禺學(xué)校高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（5分）已知0＜a＜3，復(fù)數(shù)z＝a+i（i是虛數(shù)單位），則|z|的取值范圍是（）A．（1，） B．（1，） C．（1，3） D．（1，10）【分析】利用復(fù)數(shù)的模列出關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的最值求解即可．【解答】解：0＜a＜3，復(fù)數(shù)z＝a+i（i是虛數(shù)單位），則|z|＝∈（1，）．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的模的求法，二次函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．2．（5分）4名同學(xué)分別報(bào)名參加學(xué)校的手工、繪畫、機(jī)器人設(shè)計(jì)三個(gè)校本課程，每人限報(bào)其中一個(gè)課程，不同報(bào)法的種數(shù)是（）A．81 B．64 C．24 D．16【分析】利用排列、組合中的乘法原理求得結(jié)果．【解答】解：∵每名同學(xué)都有3種報(bào)名方案，∴四名同學(xué)共有3×3×3×3＝81種報(bào)名方案．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查排列、組合中的乘法原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）已知10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件次品，若從中任意抽取5件產(chǎn)品進(jìn)行檢查，則抽取的5件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法有（）A．35種 B．38種 C．105種 D．630種【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析，第一步從3件次品中抽取2件次品，第二步從7件正品中抽取3件正品，根據(jù)乘法原理計(jì)算求得．【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、從3件次品中抽取2件次品，有C32種抽取方法，②、從7件正品中抽取3件正品，有C73種抽取方法，則抽取的5件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法有C32×C73＝105種；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，注意是一次性抽取，抽出的5件產(chǎn)品步需要進(jìn)行排列．4．（5分）曲線y＝f（x）在x＝1處的切線如圖所示，則f′（1）﹣f（1）＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣【分析】由切線經(jīng)過兩點(diǎn)（0，﹣1）和（2，0），可得切線的方程，進(jìn)而得到切點(diǎn)和切線的斜率，可得所求值．【解答】解：由切線經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣1）和（2，0），可得切線的斜率為＝，切線的方程為y＝x﹣1，可得f（1）＝﹣，f′（1）＝，則f′（1）﹣f（1）＝+＝1．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查切線的斜率和切點(diǎn)的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）函數(shù)y＝cos（1+x2）的導(dǎo)數(shù)是（）A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2） D．2cos（1+x2）【分析】因?yàn)楹瘮?shù)y＝cos（1+x2）為復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求出函數(shù)y＝cos（1+x2）的導(dǎo)數(shù)．【解答】解：y′＝﹣sin（1+x2）?（1+x2）′＝﹣2xsin（1+x2）故選：C．【點(diǎn)評】求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，應(yīng)該先判斷出函數(shù)的形式，然后選擇合適的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求值．6．（5分）有3位男生，3位女生和1位老師站在一起照相，要求老師必須站中間，與老師相鄰的不能同時(shí)為男生或女生，則這樣的排法種數(shù)是（）A．144 B．216 C．288 D．432【分析】利用排列組合知識直接求解．【解答】解：有3位男生，3位女生和1位老師站在一起照相，要求老師必須站中間，與老師相鄰的不能同時(shí)為男生或女生，則這樣的排法種數(shù)是：＝432．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查排法總數(shù)的求法，考查排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．7．（5分）已知（x+）8展開式中x4項(xiàng)的系數(shù)為112，其中a∈R，則此二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是（）A．38 B．1或38 C．28 D．1或28【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為4得x4項(xiàng)列出方程求出a，給二項(xiàng)式中的x賦值求出展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和．【解答】解：（x+）8展開式的通項(xiàng)為．令8﹣2r＝4，∴r＝2．∴，∴a＝±2．當(dāng)a＝2時(shí)，令x＝1，則展開式系數(shù)和為（1+）8＝38．當(dāng)a＝﹣2時(shí)，令x＝1，則展開式系數(shù)和為（1﹣）8＝1．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理，要求熟練掌握運(yùn)用通項(xiàng)公式．8．（5分）已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)為y＝f′（x），當(dāng)x≠0時(shí)，f′（x）+＞0，若a＝，b＝﹣3f（﹣3），c＝，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】根據(jù)式子得出F（x）＝xf（x）為R上的偶函數(shù)，利用f′（x）+＞0．當(dāng)x＞0時(shí)，x?f′（x）+f（x）＞0；當(dāng)x＜0時(shí)，x?f′（x）+f（x）＜0，判斷單調(diào)性即可證明a，b，c的大?。窘獯稹拷猓憾x域?yàn)镽的奇函數(shù)y＝f（x），設(shè)F（x）＝xf（x），∴F（x）為R上的偶函數(shù)，∴F′（x）＝f（x）+xf′（x）∵當(dāng)x≠0時(shí)，f′（x）+＞0．∴當(dāng)x＞0時(shí)，x?f′（x）+f（x）＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，x?f′（x）+f（x）＜0，即F（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（﹣∞，0）單調(diào)遞減．F（）＝a＝f（）＝F（ln），F(xiàn)（﹣3）＝b＝﹣3f（﹣3）＝F（3），F(xiàn)（ln）＝c＝（ln）f（ln）＝F（ln3），∵ln＜ln3＜3，∴F（ln）＜F（ln3）＜F（3）．即a＜c＜b，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用，根據(jù)給出的式子，得出需要的函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷即可，屬于中檔題．二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分．）（多選）9．（5分）已知（ax2+）n（a＞0）的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024，則下列說法正確的是（）A．展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256 B．展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大 C．展開式中存在常數(shù)項(xiàng) D．展開式中含x15項(xiàng)的系數(shù)為45【分析】由題意得，＝，再由組合數(shù)的性質(zhì)，求出n＝10，再令x＝1結(jié)合展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024求出a，利用二項(xiàng)式的展開式的性質(zhì)即可判斷四個(gè)選項(xiàng)．【解答】解：因?yàn)榈恼归_式中第5項(xiàng)與第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，∴＝?n＝10，∵展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024，∴（a+1）10＝1024，∵a＞0，∴a＝1，原二項(xiàng)式為：（x2+）10；其展開式的通項(xiàng)公式為：Tr+1＝?（x2）10﹣r?＝x，展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為：×1024＝512；故A錯(cuò)，因?yàn)楸绢}中二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)一樣，且展開式有11項(xiàng)，故展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大，B對，令20﹣r＝0?r＝8，即展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，C對，令20﹣r＝15?r＝2，＝45，D對．故選：BCD．【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過給二項(xiàng)式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于中檔題目也是易錯(cuò)題目．（多選）10．（5分）若復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z＝3+i（其中i是虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A． B．z的實(shí)部是2 C．z的虛部是1 D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，然后逐一核對四個(gè)選項(xiàng)得答案．【解答】解：由（1+i）z＝3+i，得z＝．∴|z|＝，故A正確；z的實(shí)部為2，故B正確；z的虛部是﹣1，故C錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），在第一象限，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．在（0，e）上單調(diào)遞減 B．有極小值e C．有最小值e D．無最大值【分析】對f（x）求導(dǎo)，作出f（x）的圖象，結(jié)合圖象即可得出正確選項(xiàng)．【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞），，易知函數(shù)f（x）在（0，1），（1，e）單調(diào)遞減，在（e，+∞）單調(diào)遞增，且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，作出f（x）的大致圖象如下圖所示，由圖象可知，f（x）在x＝e處取得極小值f（e）＝e，無最小值，也無最大值．故選：BD．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．（多選）12．（5分）若函數(shù)f（x）＝2x3﹣ax2（a＜0）在上有最大值，則a的取值可能為（）A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3【分析】求導(dǎo)可知函數(shù)f（x）在x＝處取得極大值，當(dāng)f（x）取得極大值時(shí)，對應(yīng)的x可取x＝或x＝﹣，結(jié)合所給區(qū)間為開區(qū)間及函數(shù)的圖象即可得到關(guān)于a的不等式，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：令f′（x）＝2x（3x﹣a）＝0，得x1＝0，x2＝（a＜0），當(dāng)＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＜或x＞0時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為，從而f（x）在x＝處取得極大值為f＝﹣，由f（x）＝﹣，得＝0，解得x＝或x＝﹣，又f（x）在上有最大值，所以＜≤﹣，解得a≤﹣4，結(jié)合選項(xiàng)可知，a的取值可能為﹣6，﹣5，﹣4．故選：ABC．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．（5分）已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（i是虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)a的值為．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由實(shí)部為0且虛部不為0列式求解．【解答】解：∵＝是純虛數(shù)，∴，解得a＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．14．（5分）在（x3﹣）4的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是﹣4．（用數(shù)字作答）【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tr+1＝?（x3）4﹣r?即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)．【解答】解：設(shè)展開式的通項(xiàng)為Tr+1，則Tr+1＝?（x3）4﹣r?＝（﹣1）r??x12﹣4r?令12﹣4r＝0得r＝3．∴展開式中常數(shù)項(xiàng)為：（﹣1）3?＝﹣4．故答案為：﹣4．【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，利用通項(xiàng)公式化簡是關(guān)鍵，屬于中檔題．15．（5分）現(xiàn)有標(biāo)號為①，②，③，④，⑤的5件不同新產(chǎn)品，要放到三個(gè)不同的機(jī)構(gòu)進(jìn)行測試，每件產(chǎn)品只能放到一個(gè)機(jī)構(gòu)里．機(jī)構(gòu)A，B各負(fù)責(zé)一個(gè)產(chǎn)品，機(jī)構(gòu)C負(fù)責(zé)余下的三個(gè)產(chǎn)品，其中產(chǎn)品①不在A機(jī)構(gòu)測試的情況有16種（結(jié)果用具體數(shù)字表示）．【分析】根據(jù)題意，有產(chǎn)品①必須在B機(jī)構(gòu)或者C機(jī)構(gòu)測試，由此分2種情況討論，由加法原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，產(chǎn)品①不在A機(jī)構(gòu)測試，則產(chǎn)品①必須在B機(jī)構(gòu)或者C機(jī)構(gòu)測試，若產(chǎn)品①在B機(jī)構(gòu)檢測，有C41C33＝4種情況，若產(chǎn)品①在C機(jī)構(gòu)檢測，有C42A22＝12種情況，則一共有4+12＝16種情況，故答案為：16．【點(diǎn)評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類、分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），滿足f'（x）＜x，且f（2）＝1，則不等式f（x）＜﹣1的解集為（2，+∞）．【分析】可設(shè)，根據(jù)條件可得出g′（x）＜0，從而得出g（x）在R上是減函數(shù)，并且可得出g（2）＝0，從而由原不等式可得出g（x）＜g（2），從而可得出原不等式的解集．【解答】解：設(shè)，∵f′（x）＜x，∴g′（x）＝f′（x）﹣x＜0，∴g（x）是R上的減函數(shù)，∵f（2）＝1，∴g（2）＝f（2）﹣2+1＝1﹣2+1＝0，由原不等式得，即g（x）＜g（2），∴x＞2，∴原不等式的解集為：（2，+∞）．故答案為：（2，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查了構(gòu)造函數(shù)解不等式的方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，減函數(shù)的定義，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（10分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求出極值點(diǎn)與極值；【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），f（1），求出切線方程即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可．【解答】解：（1）由題可知：，所以f'（1）＝1，f（1）＝﹣1，∴函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：y﹣（﹣1）＝x﹣1，即y＝x﹣2；（2）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域（0，+∞），且；令，得x＝e，x，f′（x），f（x）列表如下：x（0，e）e（e，+∞）f'（x）+0﹣f（x）單增極大值單減因此函數(shù)單調(diào)增區(qū)間是（0，e），單調(diào)減區(qū)間是（e，+∞），故極值點(diǎn)為e，極大值為，無極小值．【點(diǎn)評】本題考查了切線方程，函數(shù)的單調(diào)性，極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是中檔題．18．（12分）從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題中，并解答①bsinA＝acosB；②（a+c+b）（a+c﹣b）＝3ac；③2cosB（acosC+ccosA）＝b．在△ABC中，角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，滿足條件______．（1）求角B的大小；（2）若a＝4，S△ABC＝6，求b的值．【分析】選①：由正弦定理化簡可求tanB，進(jìn)而可求B；選②：由已知整理后利用余弦定理可求cosB，進(jìn)而可求B；選③：由正弦定理及兩角和的正切公式進(jìn)行化簡可求cosB，進(jìn)而可求B，（2）由S△ABC＝＝6可求c，然后結(jié)合余弦定理可求b．【解答】解：選①bsinA＝acosB，由正弦定理得sinBsinA＝sinAcosB，因?yàn)閟inA≠0，所以sinB＝cosB，故tanB＝，因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，所以B＝，選②：（a+c+b）（a+c﹣b）＝3ac，所以（a+c）2﹣b2＝3ac，整理得a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理得cosB＝＝，因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，所以B＝，選③：2cosB（acosC+ccosA）＝b，由正弦定理得2cosB（sinAcosC+sinCcosA）＝sinB，即2cosBsin（A+C）＝sinB，所以2cosBsinB＝sinB，因?yàn)閟inB＞0，所以cosB＝，因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，所以B＝，（2）若a＝4，S△ABC＝＝6，則＝6，c＝6，由余弦定理得cosB＝＝＝，解得b＝2．【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．19．（12分）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an﹣2，n∈N*．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝log2a2n﹣1（n∈N*），求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn．【分析】（1）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an﹣2，n∈N*．n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1，化為：an＝2an﹣1，n＝1時(shí)，a1＝2a1﹣2，解得a1．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（2）bn＝log2a2n﹣1＝2n﹣1．a(chǎn)nbn＝（2n﹣1）?2n．利用錯(cuò)位相減法即可得出．【解答】解：（1）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an﹣2，n∈N*．n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2），化為：an＝2an﹣1，n＝1時(shí)，a1＝2a1﹣2，解得a1＝2．∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．∴an＝2n．（2）bn＝log2a2n﹣1＝2n﹣1．a(chǎn)nbn＝（2n﹣1）?2n．?dāng)?shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn＝2+3×22+5×23+……+（2n﹣1）?2n．2Tn＝22+3×23+……+（2n﹣3）?2n+（2n﹣1）?2n+1，∴﹣Tn＝2+2（22+23+……+2n）﹣（2n﹣1）?2n+1＝2+﹣（2n﹣1）?2n+1，化為：Tn＝（2n﹣3）?2n+1+6．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、錯(cuò)位相減法、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax3﹣6x+1，a∈R．（1）若a＝2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣2，3]的最值；（2）若f（x）恰有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【分析】（1）化簡函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過極值點(diǎn)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的最值即可．（2）求出f'（x）＝3ax2﹣6，通過當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的極值判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可推出結(jié)果．【解答】解：（1）若a＝2，則f（x）＝2x3﹣6x+1，f'（x）＝6x2﹣6＝6（x+1）（x﹣1），令f'（x）＝0，得x＝﹣1或x＝1，列表如下：x﹣2（﹣2，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，3）3f'（x）+0﹣1+f（x）﹣3單增5單減﹣3單增37f（x）在（﹣x，﹣1）上單調(diào)遞增，在（﹣1，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，（4分）所以f（x）的極大值為f（﹣1）＝5，f（x）的極小值為f（1）﹣3f（﹣2）＝﹣3，f（3）＝37，故最大值為37，最小值為﹣3．（6分）（2）f'（x）＝3ax2﹣6，當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＝3ax2﹣6＜0恒成立，f（x）在R上單調(diào)遞減，此時(shí)f（x）至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；（8分）當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）＝0，則，所以當(dāng)或時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0；所以f（x）在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以f（x）極大值為，f（x）的極小值為．因?yàn)閒（x）恰有三個(gè)零點(diǎn)，所以，解得a＜32，所以0＜a＜32；綜上所述，a的取值范圍為（0，32）．（12分）【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，考查分析問題解決問題的能力，是難題．21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，AD⊥DC，PC⊥PD，PC＝PD＝AD＝2，M為PA的中點(diǎn)．（1）求證：平面ACP⊥平面MCD；（2）求二面角C﹣MD﹣P的余弦值．【分析】（1）證明AD⊥平面PCD，推出AD⊥PC，PC⊥PD，推出PC⊥平面PAD，即可證明PC⊥MD，得到MD⊥AP，證明MD⊥平面PAC，即可證明平面ACP⊥平面MCD．（Ⅱ）設(shè)CD的中點(diǎn)為O，作OE∥AD交AB于E；連接OP，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)P，OD，OE所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，求出平面CMD的法向量，平面PMD的一個(gè)法向量利用空間向量的數(shù)量積求解二面角C﹣MD﹣P的余弦值即可．【解答】（1）證明：因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面