2020-2021學(xué)年北京市石景山區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年北京市石景山區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1．（4分）復(fù)數(shù)z＝的模為（）A． B． C． D．22．（4分）若α為第四象限角，則（）A．cos2α＞0 B．cos2α＜0 C．sin2α＞0 D．sin2α＜03．（4分）已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長為（）A．2 B．4 C．6 D．84．（4分）以角θ的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為x軸的非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，角θ終邊過點P（2，4），則＝（）A．﹣3 B． C． D．35．（4分）下列函數(shù)中，最小正周期為π且圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是（）A．y＝cos（2x+） B．y＝sin（2x+） C．y＝sin2x+cos2x D．y＝sinx+cosx6．（4分）已知向量，的夾角為60°，||＝2，||＝2，則||＝（）A．4 B．2 C． D．17．（4分）歐拉公式eix＝cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（4分）要得到函數(shù)的圖像，只需要將函數(shù)y＝4sin4x的圖像（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位 C．向左平移個單位 D．向右平移個單位9．（4分）已知函數(shù)f（x）＝2sinx+cos2x，則f（x）的最大值是（）A． B．3 C． D．110．（4分）如圖所示，邊長為1的正方形ABCD的頂點A，D分別在x軸，y軸正半軸上移動，則的最大值是（）A．2 B． C．3 D．4二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.11．（4分）函數(shù)f（x）＝cos22x的最小正周期是．12．（4分）已知向量＝（﹣4，3），＝（6，m），且⊥，則m＝．13．（4分）已知tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，則tanβ的值為．14．（4分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC+ccosA，則B＝．15．（4分）設(shè)f（x）＝asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若對一切x∈R恒成立，則對于以下四個結(jié)論：①；②；③f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；④f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是．正確的是（寫出所有正確結(jié)論的編號）．三、解答題：本大題共5小題，共40分.應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16．（7分）已知平面上三點A，B，C.，．（Ⅰ）若三點A，B，C不能構(gòu)成三角形，求實數(shù)k應(yīng)滿足的條件；（Ⅱ）若△ABC中角C為鈍角，求k的取值范圍．17．（7分）已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（8分）如圖，在△ABC中，D為邊BC上一點，AD＝6，BD＝3，DC＝2．（Ⅰ）若，求∠BAC的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面積．19．（9分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最小值和最大值．20．（9分）在△ABC中，，c＝3，且b≠c，再從條件①、條件②中選擇一個作為已知，求：（Ⅰ）b的值；（Ⅱ）△ABC的面積．條件①：sinB＝2sinA；條件②：sinA+sinB＝2sinC．

2020-2021學(xué)年北京市石景山區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1．（4分）復(fù)數(shù)z＝的模為（）A． B． C． D．2【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，然后利用復(fù)數(shù)模的公式計算．【解答】解：Z＝＝＝＝﹣﹣i，∴|Z|＝＝，故選：B．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．2．（4分）若α為第四象限角，則（）A．cos2α＞0 B．cos2α＜0 C．sin2α＞0 D．sin2α＜0【分析】先求出2α是第三或第四象限角或為y軸負(fù)半軸上的角，即可判斷．【解答】解：α為第四象限角，則﹣+2kπ＜α＜2kπ，k∈Z，則﹣π+4kπ＜2α＜4kπ，∴2α是第三或第四象限角或為y軸負(fù)半軸上的角，∴sin2α＜0，故選：D．【點評】本題考查了角的符號特點，考查了轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（4分）已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，S扇＝lr＝2，l＝4r，其周長c＝l+2r可求．【解答】解：根據(jù)題意知s＝2，θ＝4，∵s＝θR2，∴2＝×4×R2，即R＝1，∵l＝θR＝4×1＝4，∴扇形的周長為l+2R＝4+2＝6．故選：C．【點評】本題考查扇形面積公式，關(guān)鍵在于掌握弧長公式，扇形面積公式及其應(yīng)用，屬于中檔題．4．（4分）以角θ的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為x軸的非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，角θ終邊過點P（2，4），則＝（）A．﹣3 B． C． D．3【分析】先利用任意角的三角函數(shù)的定義求出tanθ，然后由兩角差的正切公式求解即可．【解答】解：因為角θ終邊過點P（2，4），所以，所以＝．故選：C．【點評】本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義以及兩角差的正切公式，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）下列函數(shù)中，最小正周期為π且圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是（）A．y＝cos（2x+） B．y＝sin（2x+） C．y＝sin2x+cos2x D．y＝sinx+cosx【分析】求出函數(shù)的周期，函數(shù)的奇偶性，判斷求解即可．【解答】解：y＝cos（2x+）＝﹣sin2x，是奇函數(shù)，函數(shù)的周期為：π，滿足題意，所以A正確y＝sin（2x+）＝cos2x，函數(shù)是偶函數(shù)，周期為：π，不滿足題意，所以B不正確；y＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為π，所以C不正確；y＝sinx+cosx＝sin（x+），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為2π，所以D不正確；故選：A．【點評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的奇偶性以及紅絲帶周期的求法，考查計算能力．6．（4分）已知向量，的夾角為60°，||＝2，||＝2，則||＝（）A．4 B．2 C． D．1【分析】根據(jù)題意，設(shè)||＝t，若||＝2，則（）2＝||2+4||2﹣4?＝4+4t2﹣4×2×t×＝4，將其化簡解可得t的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)||＝t，||＝2，則（）2＝||2+4||2﹣4?＝4+4t2﹣4×2×t×＝4，即t2﹣t＝0，又由t＞0，則有t＝1；故選：D．【點評】本題考查向量的數(shù)量積的計算，涉及向量模的計算，關(guān)鍵是掌握向量數(shù)量積的計算公式．7．（4分）歐拉公式eix＝cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】直接由歐拉公式eix＝cosx+isinx，可得＝cos＝，則答案可求．【解答】解：由歐拉公式eix＝cosx+isinx，可得＝cos＝，∴表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的第一象限．故選：A．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是基礎(chǔ)題．8．（4分）要得到函數(shù)的圖像，只需要將函數(shù)y＝4sin4x的圖像（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位 C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【分析】由題意利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】解：只需要將函數(shù)y＝4sin4x的圖像向右平移個單位，即可得到函數(shù)的圖像，故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．9．（4分）已知函數(shù)f（x）＝2sinx+cos2x，則f（x）的最大值是（）A． B．3 C． D．1【分析】利用二倍角公式，平方差公式化簡f（x）的解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)、正弦函數(shù)的值域即可求解．【解答】解：函數(shù)f（x）＝2sinx+cos2x＝1﹣2sin2x+2sinx＝﹣2（sinx﹣）2，由于sinx∈[﹣1，1]，故當(dāng)sinx＝時，函數(shù)f（x）取得最大值為．故選：C．【點評】本題主要考查二倍角公式，平方差公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，正弦函數(shù)的值域等知識的綜合應(yīng)用，考查了函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題．10．（4分）如圖所示，邊長為1的正方形ABCD的頂點A，D分別在x軸，y軸正半軸上移動，則的最大值是（）A．2 B． C．3 D．4【分析】設(shè)∠OAD＝θ，根據(jù)已知條件，可得出點B，C的坐標(biāo)，再結(jié)合向量的坐標(biāo)數(shù)量積公式，即可求解．【解答】解：設(shè)∠OAD＝θ，∵AD＝1，∴OA＝AD?cosθ＝cosθ，OD＝AD?cosθ＝cosθ，∵∠BAD＝90°，∴∠BAx＝90°﹣θ，∵，，∴，同理可得C（sinθ，cosθ+sinθ），∴，∴＝（cosθ+sinθ）sinθ+sinθ（cosθ+sinθ）＝cos2θ+sin2θ+2sinθcosθ＝1+sin2θ，∵，∴2θ∈（0，π），∴當(dāng)sin2θ＝1，即時，取得最大值2．故選：A．【點評】本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，由于向量的運算與坐標(biāo)關(guān)系密切，所以設(shè)角來表示點的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.11．（4分）函數(shù)f（x）＝cos22x的最小正周期是．【分析】利用三角函數(shù)的降冪公式進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的周期公式進行計算即可．【解答】解：f（x）＝（1+cos4x）＝cos4x+，則函數(shù)的最小正周期為T＝＝，故答案為：．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的周期的計算，利用降冪公式進行化簡是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．12．（4分）已知向量＝（﹣4，3），＝（6，m），且⊥，則m＝8．【分析】⊥則，代入，，解方程即可．【解答】解：由向量＝（﹣4，3），＝（6，m），且⊥，得，∴m＝8．故答案為：8．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積與垂直的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．13．（4分）已知tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，則tanβ的值為3．【分析】直接利用兩角和的正切函數(shù)，求解即可．【解答】解：tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，可知tan（α+β）＝＝，即＝，解得tanβ＝3．故答案為：3．【點評】本題考查兩角和的正切函數(shù)，基本知識的考查．14．（4分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC+ccosA，則B＝．【分析】根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式計算即可【解答】解：∵2bcosB＝acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB，∵sinB≠0，∴cosB＝，∵0＜B＜π，∴B＝，故答案為：【點評】本題考查了正弦定理和兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題15．（4分）設(shè)f（x）＝asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若對一切x∈R恒成立，則對于以下四個結(jié)論：①；②；③f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；④f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是．正確的是①③（寫出所有正確結(jié)論的編號）．【分析】利用輔助角公式可得（x）＝sin（2x+φ），且tanφ＝，根據(jù)題設(shè)不等式恒成立，可得φ＝kπ+（k∈Z），再由各選項的描述，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)奇偶性，判斷即可．【解答】解：由題設(shè)，f（x）＝asin2x+bcos2x＝sin（2x+φ），且tanφ＝，因為f（x）≤|f（）|對一切x∈R恒成立，所以sin（+φ）＝±1，即+φ＝kπ+（k∈Z），則φ＝kπ+，①f（）＝sin（+kπ+）＝sin（k+2）π＝0，故①正確；②f（）＝sin（+kπ+）＝sin[（k+1）π+]，f（）＝sin（+kπ+）＝sin（kπ+]，所以|f（）|＝|f（）|，故②錯誤；③f（﹣x）＝sin（﹣2x+kπ+），所以f（﹣x）±f（x）≠0，即f（x）非奇非偶，故③正確；④因為f（x）在2k1π﹣≤2x+kπ+≤2k1π+（k1∈Z，k∈Z）上單調(diào)遞增，所以﹣≤+，令k′＝2k1﹣k，則﹣≤x≤+，等價于+≤x≤+上f（x）單調(diào)遞增，故④錯誤．故答案為：①③．【點評】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，解題中需要理清思路，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共40分.應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16．（7分）已知平面上三點A，B，C.，．（Ⅰ）若三點A，B，C不能構(gòu)成三角形，求實數(shù)k應(yīng)滿足的條件；（Ⅱ）若△ABC中角C為鈍角，求k的取值范圍．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，分析可得向量與平行，由向量平行的判斷方法可得答案；（Ⅱ）根據(jù)題意，當(dāng)角C是鈍角時，且向量與不共線，由數(shù)量積的計算公式計算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，若三點A，B，C不能構(gòu)成三角形，則A，B，C在同一直線上，即向量與平行，又由，，則有﹣4（2﹣k）﹣2×3＝0，解得；（Ⅱ）當(dāng)角C是鈍角時，且向量與不共線；所以2×（2﹣k）+3×（﹣4）＜0且，解得k＞﹣4；綜上得k的取值范圍是{k|k＞﹣4且}．【點評】本題考查向量數(shù)量積的計算，涉及向量平行的判斷，屬于基礎(chǔ)題．17．（7分）已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【分析】（Ⅰ）先根據(jù)，求出cosα，然后由兩角和的余弦公式求解即可；（Ⅱ）先利用二倍角公式，求出sin2α，cos2α，然后利用兩角差的余弦公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因為，，所以，所以；（Ⅱ）因為，，所以＝．【點評】本題考查了三角函數(shù)求值，兩角和差公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及二倍角公式，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（8分）如圖，在△ABC中，D為邊BC上一點，AD＝6，BD＝3，DC＝2．（Ⅰ）若，求∠BAC的大?。唬á颍┤?，求△ABC的面積．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用誘導(dǎo)公式求出結(jié)果．（Ⅱ）利用解直角三角形和三角形的面積公式求出結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)∠BAD＝α，∠CAD＝β，則，，所以，因為α+β∈（0，π），所以，即．（Ⅱ）過點A作AH⊥BC交BC的延長線于點H，因為，所以，所以；所以．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，解直角三角形的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用．19．（9分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最小值和最大值．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，然后求函數(shù)f（x）的最小正周期；（Ⅱ）通過角的范圍求解相位的范