數(shù)學九年級下冊第二十七章小結與復習

小結與復習第二十七章相似

優(yōu)

翼

課

件

要點梳理考點講練課堂小結課后作業(yè)

九年級數(shù)學下（RJ）教學課件(1)形狀相同的圖形(2)相似多邊形要點梳理(3)相似比：相似多邊形對應邊的比1.

圖形的相似①表象：大小不等，形狀相同.②實質：各對應角相等、各對應邊成比例.?通過定義?平行于三角形一邊的直線?三邊成比例?兩邊成比例且夾角相等?兩角分別相等?兩直角三角形的斜邊和一條直角邊成比例(三個角分別相等，三條邊成比例)2.

相似三角形的判定?對應角相等、對應邊成比例?對應高、中線、角平分線的比等于相似比?周長比等于相似比?面積比等于相似比的平方3.

相似三角形的性質(1)測高測量不能到達兩點間的距離,常構造相似三角形求解.(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)(不能直接測量的兩點間的距離)測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決.(2)測距4.

相似三角形的應用(1)如果兩個圖形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.(這時的相似比也稱為位似比)5.

位似(2)性質：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比；對應線段平行或者在一條直線上.(3)

位似性質的應用：能將一個圖形放大或縮小.ABGCEDF●PB′A′C′D′E′F′G′A′B′C′D′E′F′G′ABGCEDF●P(4)平面直角坐標系中的位似當位似圖形在原點同側時，其對應頂點的坐標的比為k；當位似圖形在原點兩側時，對應頂點的坐標的比為－k.位似中的相似比，一般指新圖形與原圖形的比考點講練考點一相似三角形的判定和性質例1

如圖,當滿足下列條件之一時，都可判定

△ADC∽△ACB．(1)

；(2)

；(3)

.∠ACD=∠B∠ACB=∠ADCBCAD或AC2=AD·AB例2如圖，△ABC中，AB=9，AC=6，點E在AB上且AE=3，點F在AC上，連接EF，若△AEF與△ABC相似，則AF=

.BCAE【分析】從題干分析△AEF與△ABC相似，此時對應關系不明確，需分類討論例2如圖，△ABC中，AB=9，AC=6，點E在AB上且AE=3，點F在AC上，連接EF，若△AEF與△ABC相似，則AF=

.BCAE2或4.5解析：當△AEF∽△ABC時，AE:AB=AF:AC，即3:9=AF:6，解得AF=2；當△AFE∽△ABC時，AF:AB=AE:AC，即AF:9=3:6，解得AF=4.5；綜上所述AF=2或4.5.例3如圖，在□ABCD中，點E在邊BC上，BE:

EC=1:2，連接AE交BD于點F，則△BFE的面積與△DFA的面積之比為

.

1:9ABCDEF【變式題】如圖，在□ABCD中，點E在邊BC上，EF

:AF

=1:3，連接AE交BD于點F，則△EFB的面積與△ABD

的面積之比為

.

1:12ABCDEF【注意】求面積比時，要注意相似三角形、等高三角形的區(qū)別解析：∵AD∥BC，∴△EFB∽△AFD，相似比為1:3，∴S△EFB:S△AFD=1:9，∵△EFB與△ABF同高，∴S△EFB:S△ABF=1:3，∴S△EFB:S△ABD=1:12.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°．∵CE是外角平分線，∴∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE．又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED．例4

如圖，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點D在AC上，連接BD并延長與CE交于點E.(1)求證：△ABD∽△CED；ABCDFE(2)若AB=6，AD=2CD，求BE的長.解：作BM⊥AC于點M.

∵

AC＝AB＝6，∴AM＝CM＝3.∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4，

MD＝1.ABCDFEM即∴ABCDFEM在Rt△BDM中，由(1)△ABD∽△CED得，例5如圖，CD是⊙O的弦，AB是直徑，CD⊥AB，垂足為P，求證：PC2＝PA·PB.B·ACDOP證明：連接AC，BC.∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B=90°.又∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°，∠PCB＋∠B＝90°.∴∠A＝∠CPB，∴△APC∽△CPB.∴

PC2=AP·PB.∴考點二位似的性質及應用例6下列四個圖形中，位似圖形的有()A.1個B.2個

C.3個

D.4個C已知△ABC∽△A′B′C′，下列圖形中，

△ABC和△A′B′C′不存在位似關系的是()B'A(A')C'BCB'A(A')C'BCB'A(A')C'BCB'AC'BCA'A.B.C.D.B針對訓練例7如圖，下面的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點O和△ABC的頂點均為小正方形的頂點.ABC(1)在圖中△ABC內部作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似中心為點O，位似比為2:3.OA′B′C′解：如圖所示.(2)線段AA′的長度是

.

如圖，△ABC在方格紙中.(1)請在方格紙上建立平面直角坐標系，使A(2，3)，

C(6，2)，并求出B點坐標；解：如圖所示，

B(2，1).xyO針對訓練(2)以原點O為位似中心，位似比為2，在第一象限內將△ABC放大，畫出放大后的圖形△A′B′C′；xyOA′B′C′解：如圖所示.

(3)計算△A′B′C′的面積S.xyOA′B′C′解：考點三相似的應用例8

如圖，某一時刻小樹AB的影子頂端與大樹CD的剛好重合．已知小樹AB高2.4米，大樹CD高5米，而大樹的影長為2.5米，求小樹與大樹之間的距離BD.解：由題知△ABE∽△CDE，∴AB:CD=BE:DE，即2.4:5=BE:2.5，解得BE=1.2，∴BD=2.5-1.2=1.3（米）.如圖，某一時刻一根2m長的竹竿EF的影長GE為1.2m，此時，小紅測得一棵被風吹斜的柏樹與地面成30°角，樹頂端B在地面上的影子點D與B到垂直地面的落點C的距離是3.6m，求樹AB的長．2m1.2m3.6m針對訓練【注意】太陽光線是平行的2m1.2m3.6m解：如圖，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，∴BC＝6m.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，即樹長AB是12m.即∴例9

星期天，小麗和同學們在碧沙崗公園游玩，他們來到1928年馮玉祥將軍為紀念北伐軍陣亡將士所立的紀念碑前，小麗問：“這個紀念碑有多高呢？”請你利用初中數(shù)學知識，結合光的反射原理，設計一種方案測量紀念碑的高度(畫出示意圖)，并說明理由．解：如圖，線段AB為紀念碑，在地面上平放一面鏡子E，人退后到D處，在鏡子里恰好看見紀念碑頂A.若人眼距地面距離為CD，測量出CD、DE、

BE的長，就可算出紀念碑AB的高．根據(jù)，即可算出AB的高．你還有其他方法嗎？理由：測量出CD、DE、BE的長，因為∠CED＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE.

如圖，小明同學跳起來把一個排球打在離地2m遠的地上，然后反彈碰到墻上，如果她跳起擊球時的高度是1.8m，排球落地點離墻的距離是6m，假設球一直沿直線運動，球能碰到墻面離地多高的地方？針對訓練ABOCD2m6m1.8m解：∵∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD.∴∴解得CD=5.4m.故球能碰到墻面離地5.4m高的地方．ABOCD2m6m1.8m例10如圖，△ABC是一塊銳角三角形材料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？ABCDEFGH解：設正方形EFHG為加工成的正方形零件，邊GH在BC

上，頂點E、F分別在AB、

AC