金融經(jīng)濟學第五章之三投資組合理論

馬科維茨(H.Markowitz,1927～)《證券組合選擇理論》瑞典皇家科學院決定將1990年諾貝爾獎授予紐約大學哈利.馬科維茨（HarryMarkowitz）教授,為了表彰他在金融經(jīng)濟學理論中的先驅(qū)工作—資產(chǎn)組合選擇理論。一、現(xiàn)代投資組合理論的起源及基本思想1目前一頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點發(fā)展了一個在不確定條件下嚴格陳述的可操作的選擇資產(chǎn)組合理論：均值方差方法Mean-Variancemethodology.這個理論演變成進一步研究金融經(jīng)濟學的基礎；這一理論通常被認為是現(xiàn)代金融學的發(fā)端。馬科維茨的工作所開始的數(shù)量化分析和MM理論中的無套利均衡思想相結(jié)合，醞釀了一系列金融學理論的重大突破。

主要貢獻2目前二頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點西方投資管理經(jīng)歷了三個發(fā)展階段：投機階段、職業(yè)化階段和科學化階段。

1952年，HarryMarkowitz發(fā)表的“投資組合選擇”作為投資學或金融經(jīng)濟學產(chǎn)生的標志。

1963年，WillianSharpe提出了單指數(shù)模型。

1964年，Sharpe，Lintner,Mossin分別獨立地提出了資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）。

1973年，Black和Scholes提出了第一個完整的期權(quán)定價模型即Black-Scholes公式。

1976年，Ross提出了套利定價理論(APT)。證券投資理論的發(fā)展3目前三頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點4目前四頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點投資組合理論的基本思想投資組合是一個風險與收益的tradeoff問題，此外投資組合通過分散化的投資來對沖掉一部分風險。——“nothingventured,nothinggained”——"foragivenlevelofreturntominimizetherisk,andforagivenlevelofriskleveltomaximizethereturn“——“Don’tputalleggsintoonebasket”5目前五頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點6目前六頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點7目前七頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點8目前八頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點9目前九頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點10目前十頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點11目前十一頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點12目前十二頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點13目前十三頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點案例14目前十四頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點15目前十五頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點16目前十六頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點問題對于休曼?？怂菇M織來說，選擇糖凱恩公司股票是否比選擇國庫券要好？若糖凱恩公司股票的收益狀況如下：則情況又如何？糖生產(chǎn)的正常年份異常年份股市的牛市股市的熊市糖的生產(chǎn)危機概率0.50.30.2收益率7%-5%20%17目前十七頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點貝斯特凱迪公司股票的期望收益和標準差？糖凱恩公司股票的期望收益和標準差？糖凱恩公司股票和貝斯特凱迪公司股票的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)？休曼?？怂菇M織不同投資選擇的期望收益和標準差？18目前十八頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點兩只股票的協(xié)方差為-240.5，相關(guān)系數(shù)為-0.86資產(chǎn)組合期望收益（%）標準差（%）全部投資于貝斯特凱迪公司股票10.5018.90一半投資于國庫券7.759.45一半投資于糖凱恩股票8.254.83證券期望收益（%）標準差（%）貝斯特凱迪公司股票10.0518.9糖凱恩股票614.75國庫券5019目前十九頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點（二）資產(chǎn)組合理論基本假設（1）投資者僅僅以期望收益率和方差（標準差）來評價資產(chǎn)組合（Portfolio）（2）投資者是不知足的和風險厭惡的，即投資者是理性的。（3）投資者的投資為單一投資期，多期投資是單期投資的不斷重復。（4）投資者希望持有有效資產(chǎn)組合。20目前二十頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點2.1組合的可行集和有效集可行集與有效集可行集：資產(chǎn)組合的機會集合（Portfolioopportunityset），即資產(chǎn)可構(gòu)造出的所有組合的期望收益和方差。有效組合（Efficientportfolio）：給定風險水平下的具有最高收益的組合或者給定收益水平下具有最小風險的組合。每一個組合代表一個點。有效集（Efficientset）：又稱為有效邊界（Efficientfrontier）,它是有效組合的集合（點的連線）。21目前二十一頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點兩種風險資產(chǎn)構(gòu)成的組合的風險與收益若已知兩種資產(chǎn)的期望收益、方差和它們之間的相關(guān)系數(shù)，則由上一章的結(jié)論可知兩種資產(chǎn)構(gòu)成的組合之期望收益和方差為由此就構(gòu)成了資產(chǎn)在給定條件下的可行集！22目前二十二頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點注意到兩種資產(chǎn)的相關(guān)系數(shù)為1≥ρ12≥－1因此，分別在ρ12＝1和ρ12＝－1時，可以得到資產(chǎn)組合的可行集的頂部邊界和底部邊界。其他所有的可能情況，在這兩個邊界之中。23目前二十三頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點組合的風險－收益二維表示.收益rp風險σp2.2兩種完全正相關(guān)資產(chǎn)的可行集24目前二十四頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點兩種資產(chǎn)完全正相關(guān)，即ρ12

＝1，則有25目前二十五頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點命題1：完全正相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的可行集是一條直線。證明：由資產(chǎn)組合的計算公式可得26目前二十六頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點兩種資產(chǎn)組合（完全正相關(guān)），當權(quán)重w1從1減少到0時可以得到一條直線，該直線就構(gòu)成了兩種資產(chǎn)完全正相關(guān)的可行集（假定不允許買空賣空）。收益Erp風險σp27目前二十七頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點2.3兩種完全負相關(guān)資產(chǎn)的可行集兩種資產(chǎn)完全負相關(guān)，即ρ12=-1，則有28目前二十八頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點命題2：完全負相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的可行集是兩條直線，其截距相同，斜率異號。

證明：29目前二十九頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點30目前三十頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點

兩種證券完全負相關(guān)的圖示收益rp風險σp31目前三十一頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點2.4兩種不完全相關(guān)的風險資產(chǎn)的組合的可行集32目前三十二頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點總結(jié)：在各種相關(guān)系數(shù)下、兩種風險資產(chǎn)構(gòu)成的可行集收益Erp風險σpρ=1ρ=0ρ=-133目前三十三頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點34目前三十四頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點3種風險資產(chǎn)的組合二維表示一般地，當資產(chǎn)數(shù)量增加時，要保證資產(chǎn)之間兩兩完全正（負）相關(guān)是不可能的，因此，一般假設兩種資產(chǎn)之間是不完全相關(guān)（一般形態(tài)）。收益rp風險σp123435目前三十五頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點類似于3種資產(chǎn)構(gòu)成組合的算法，我們可以得到一個月牙型的區(qū)域為n種資產(chǎn)構(gòu)成的組合的可行集。收益rp風險σpn種風險資產(chǎn)的組合二維表示36目前三十六頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點總結(jié)：可行集的兩個性質(zhì)在n種資產(chǎn)中，如果至少存在三項資產(chǎn)彼此不完全相關(guān)，則可行集合將是一個二維的實體區(qū)域可行區(qū)域是向左側(cè)凸出的因為任意兩項資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合都位于兩項資產(chǎn)連線的左側(cè)。為什么？37目前三十七頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點收益rp風險σp不可能的可行集AB38目前三十八頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點2.5風險資產(chǎn)組合的有效集在可行集中，有一部分投資組合從風險水平和收益水平這兩個角度來評價，會明顯地優(yōu)于另外一些投資組合，其特點是在同種風險水平的情況下，提供最大預期收益率；在同種收益水平的情況下，提供最小風險。我們把滿足這兩個條件（均方準則）的資產(chǎn)組合，稱之為有效資產(chǎn)組合；由所有有效資產(chǎn)組合構(gòu)成的集合，稱之為有效集或有效邊界。投資者的最優(yōu)資產(chǎn)組合將從有效集中產(chǎn)生，而對所有不在有效集內(nèi)的其它投資組合則無須考慮。39目前三十九頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點整個可行集中，G點為最左邊的點，具有最小標準差。從G點沿可行集右上方的邊界直到整個可行集的最高點S（具有最大期望收益率），這一邊界線GS即是有效集。例如：自G點向右上方的邊界線GS上的點所對應的投資組合如Ｐ，與可行集內(nèi)其它點所對應的投資組合（如Ａ點）比較起來，在相同風險水平下，可以提供最大的預期收益率；而與Ｂ點比較起來，在相同的收益水平下，Ｐ點承擔的風險又是最小的。40目前四十頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點總結(jié)A、兩種資產(chǎn)的可行集完全正相關(guān)是一條直線完全負相關(guān)是兩條直線完全不相關(guān)是一條拋物線其他情況是界于上述情況的曲線B、兩種資產(chǎn)的有效集左上方的線C、多個資產(chǎn)的有效邊界可行集：月牙型的區(qū)域有效集：左上方的線41目前四十一頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點2.6馬克維茨的數(shù)學模型*均值-方差（Mean-variance）模型是由哈里·馬克維茨等人于1952年建立的，其目的是尋找有效邊界。通過期望收益和方差來評價組合，投資者是理性的：害怕風險和收益多多益善。因此，根據(jù)上一章的占優(yōu)原則這可以轉(zhuǎn)化為一個優(yōu)化問題，即（1）給定收益的條件下，風險最小化（2）給定風險的條件下，收益最大化42目前四十二頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點43目前四十三頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點對于上述帶有約束條件的優(yōu)化問題，可以引入拉格朗日乘子λ和μ來解決這一優(yōu)化問題。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)如下上式左右兩邊對wi求導數(shù)，令其一階條件為0，得到方程組44目前四十四頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點和方程45目前四十五頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點這樣共有n＋2方程，未知數(shù)為wi（i＝1，2,…,n）、λ和μ，共有n＋2個未知量，其解是存在的。注意到上述的方程是線性方程組，可以通過線性代數(shù)加以解決。例：假設三項不相關(guān)的資產(chǎn)，其均值分別為1，2，3，方差都為1，若要求三項資產(chǎn)構(gòu)成的組合期望收益為2，求解最優(yōu)的權(quán)重。46目前四十六頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點47目前四十七頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點課外練習：假設三項不相關(guān)的資產(chǎn)。其均值分別為1，2，3，方差都為1，若要求三項資產(chǎn)構(gòu)成的組合期望收益為1，求解最優(yōu)的權(quán)重。由此得到組合的方差為48目前四十八頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點（三）最優(yōu)風險資產(chǎn)組合由于假設投資者是風險厭惡的，因此，最優(yōu)投資組合必定位于有效集邊界上，其他非有效的組合可以首先被排除。雖然投資者都是風險厭惡的，但程度有所不同，因此，最終從有效邊界上挑選那一個資產(chǎn)組合，則取決于投資者的風險規(guī)避程度。度量投資者風險偏好的無差異曲線與有效邊界共同決定了最優(yōu)的投資組合。49目前四十九頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點理性投資者對風險偏好程度的描述——無差異曲線同一條無差異曲線,給投資者所提供的效用（即滿足程度）是無差異的，無差異曲線向右上方傾斜,高風險被其具有的高收益所彌補。對于每一個投資者,無差異曲線位置越高，該曲線上對應證券組合給投資者提供的滿意程度越高。50目前五十頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點不同理性投資者具有不同風險厭惡程度目前五十一頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點最優(yōu)組合的確定最優(yōu)資產(chǎn)組合位于無差異曲線I2與有效集相切的切點Ｏ處。由G點可見，對于更害怕風險的投資者，他在有效邊界上的點具有較低的風險和收益。52目前五十二頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點資產(chǎn)組合理論的優(yōu)點首次對風險和收益進行精確的描述，解決對風險的衡量問題，使投資學從一個藝術(shù)邁向科學。分散投資的合理性為基金管理提供理論依據(jù)。單個資產(chǎn)的風險并不重要，重要的是組合的風險。從單個證券的分析，轉(zhuǎn)向組合的分析53目前五十三頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點資產(chǎn)組合理論的缺點當證券的數(shù)量較多時，計算量非常大，使模型應用受到限制。解的不穩(wěn)定性。重新配置的高成本。因此，馬克維茨及其學生夏普就可是尋求更為簡便的方法，這就是CAPM。54目前五十四頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點在前面，我們討論了由風險資產(chǎn)構(gòu)成的組合，但未討論資產(chǎn)中加入無風險資產(chǎn)的情形。假設無風險資產(chǎn)的具有正的期望收益，且其方差為0。將無風險資產(chǎn)加入已經(jīng)構(gòu)成的風險資產(chǎn)組合（風險基金）中，形成了一個無風險資產(chǎn)+風險基金的新組合，則可以證明：新組合的有效前沿將是一條直線。風險資產(chǎn)與無風險資產(chǎn)間的配置

3.1資本配置線（CAL)55目前五十五頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點命題3：一種無風險資產(chǎn)與風險組合構(gòu)成的新組合的有效邊界為一條直線。56目前五十六頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點一種風險資產(chǎn)與無風險資產(chǎn)構(gòu)成的組合，其標準差是風險資產(chǎn)的權(quán)重與標準差的乘積。報酬與波動率比率（Reward-to-variabilityratio)資本配置線（Capitalallocationline,CAL）目前五十七頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點58目前五十八頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點59目前五十九頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點60目前六十頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點61目前六十一頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點投資者試圖通過選擇風險資產(chǎn)的最優(yōu)配置y來使自己的效應最大化

用數(shù)學語言可以表述為：62目前六十二頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點63目前六十三頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點6.3.2總結(jié)與思考64目前六十四頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點65目前六十五頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點66目前六十六頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點67目前六十七頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點68目前六十八頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點69目前六十九頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點70目前七十頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點71目前七十一頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點72目前七十二頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點73目前七十三頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點為什么可以分步進行？74目前七十四頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點3.3分離定理無論投資者的偏好如何，資產(chǎn)配置線上的點就是最優(yōu)投資組合，形象地，該直線將無差異曲線與風險資產(chǎn)組合的有效邊界分離了。分離定理（Separationtheorem）：投資者對風險的規(guī)避程度與該投資者風險資產(chǎn)組合的最優(yōu)構(gòu)成是無關(guān)的。所有的投資者，無論他們的風險規(guī)避程度如何不同，都會將切點組合（風險組合）與無風險資產(chǎn)混合起來作為自己的最優(yōu)風險組合。因此，無需先確知投資者偏好，就可以確定風險資產(chǎn)最優(yōu)組合。風險厭惡較低的投資者可以多投資風險資產(chǎn)，少投資無風險證券，反之亦反。75目前七十五頁\總數(shù)八十二頁\編于十九點分離定理對