分位數(shù)回歸方法及其應(yīng)用

分位數(shù)回歸（QR）方法及其應(yīng)用陳建寶廈門大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院計(jì)統(tǒng)系廈門大學(xué)宏觀經(jīng)濟(jì)研究中心第一部分：方法介紹

主要包括分位數(shù)回歸的概念，分位數(shù)回歸系數(shù)的估計(jì)方法及其性質(zhì)、分位數(shù)回歸系數(shù)的檢驗(yàn)方法、模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、分位數(shù)回歸的優(yōu)良性（與最小二乘法做比較）。分位數(shù)回歸（QR）產(chǎn)生的根源MostellerandTukey’s(1977)remark：Whattheregressioncurvedoesisgiveagrandsummaryfortheaveragesofthedistributionscorrespondingtothesetofxs.Wecouldgofurtherandcomputeseveraldifferentregressioncurvescorrespondingtothevariouspercentagepointsofthedistributionsandthusgetamorecompletepictureoftheset.Ordinarilythisisnotdone,andsoregressionoftengivesaratherincompletepicture.Justasthemeangivesanincompletepictureofasingledistribution,sotheregressioncurvegivesacorrespondinglyincompletepictureforasetofdistribution.

分位數(shù)回歸的思想Howto“gofurther”?分位數(shù)回歸的思想最早是由KoenkerandBassett(1978)提出的。它是對(duì)古典條件均值模型為基礎(chǔ)的最小二乘的拓展。普通最小二乘法是利用因變量的條件均值來建模，通過使殘差平方和達(dá)到最小來獲得回歸參數(shù)的估計(jì)。分位數(shù)回歸則利用因變量的條件分位數(shù)來建模，通過最小化加權(quán)的殘差絕對(duì)值之和來估計(jì)回歸參數(shù)。它可以稱之為“加權(quán)的最小一乘回歸法”。分位數(shù)的概念定義：設(shè)隨機(jī)變量

Y的分布函數(shù)為

則

Y的第

分位數(shù)為

其中中位數(shù)可以表示為

。分位數(shù)回歸思想的數(shù)學(xué)公式化對(duì)于

Y的一組隨機(jī)樣本

，樣本均

值是

的最優(yōu)解。樣本中位數(shù)是最小化殘差絕對(duì)值和的解，即對(duì)于其他的第

分位數(shù),我們可以求解下式：等價(jià)的表示為：其中，為示性函數(shù)。對(duì)于一般線性條件均值函數(shù)

，通過求解

得到參數(shù)估計(jì)值。而一般線性條件分位數(shù)函數(shù)為

，通過求解

得到參數(shù)估計(jì)值對(duì)于任意的

，估計(jì)

稱為第分位數(shù)下的回歸系數(shù)估計(jì)。分位數(shù)回歸參數(shù)的估計(jì)方法（點(diǎn)估計(jì)）求解等價(jià)于求解以下個(gè)線性規(guī)劃問題：其中

e為單位向量。目前對(duì)上式的算法主要有如下幾種:1.單純形算法(SimplexMethod)：該算法估計(jì)出來的參數(shù)具有很好的穩(wěn)定性，但是在處理大型數(shù)據(jù)時(shí)運(yùn)算的速度會(huì)顯著的降低（見Koenker

andOrey，1993)。2.內(nèi)點(diǎn)算法(InteriorPointMethod)：內(nèi)點(diǎn)算法對(duì)于那些具有大量觀察值和少量變量的數(shù)據(jù)集運(yùn)算效率很高（見Portnoy

andKoenker,1997)。3.平滑算法(SmoothingMethod)：平滑算法在理論上比較簡單，它適合處理具有大量觀察值以及很多變量的數(shù)據(jù)集(見Chen,2004)。

其他方法:如adaptivemethod等。依據(jù)目前的文獻(xiàn)，區(qū)間估計(jì)方法也可分為三種：1.直接估計(jì)法(DirectEstimationMethod)，見Koenker和Bassett

(1982)以及Koenker和Machado(1999)。該方法依據(jù)估計(jì)出來的回歸分位系數(shù)的漸進(jìn)正態(tài)性來計(jì)算置信區(qū)間。比較有代表性的是Sparsity算法，它是一種最直接且運(yùn)算速度也最快的算法，但該算法得到的估計(jì)值對(duì)于隨機(jī)項(xiàng)為獨(dú)立同分布這一假設(shè)十分敏感。2.秩得分法(RankScoreMethod)，見Koenker(1994)。秩得分法算法比較簡單，但是對(duì)于大型數(shù)據(jù)處理效率較慢。3.重復(fù)抽樣法(Resamplingmethod)，見He和Hu

(2002)。該方法使用了MCMB(MarkovChainMarginalBootstrap)算法，這種算法能夠進(jìn)行高效率的運(yùn)算，大大節(jié)省了運(yùn)算時(shí)間。重復(fù)抽樣法能夠克服直接法和秩得分法的缺陷，但是對(duì)于小樣本時(shí)計(jì)算出的參數(shù)估計(jì)值不夠穩(wěn)定。分位數(shù)回歸參數(shù)的估計(jì)方法（區(qū)間估計(jì)）分位數(shù)回歸參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)方法在分位數(shù)回歸模型中，設(shè)Koenker與Machado（1999）提出了檢驗(yàn)假設(shè)（其中）的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：

和在原假設(shè)下都服從

從而，它們都可能用來檢驗(yàn)回歸系數(shù)的顯著性。分位數(shù)回歸模型的擬合優(yōu)度Koenker與Machado（1999）依據(jù)最小二乘回歸中擬合優(yōu)度

的計(jì)算思想，提出了分位數(shù)回歸中擬合優(yōu)度的計(jì)算方法，定義為

，且

。最小二乘回歸中的

依據(jù)殘差平方和度量了回歸平方和占總離差平方和的比重，而

則按照殘差絕對(duì)值的加權(quán)和，度量了在某個(gè)分位數(shù)

下分位數(shù)回歸的擬合效果。因此不像

反映的是整個(gè)分布的擬合情況，

描述的是在某個(gè)分位數(shù)下的局部擬合效果。線性分位數(shù)回歸模型的估計(jì)

分位數(shù)回歸的基本性質(zhì)分位數(shù)回歸的漸近性質(zhì)

分位數(shù)回歸的漸近性質(zhì)與普通線性最小二乘回歸方法的比較1.在模型假設(shè)方面：OLS法要求滿足經(jīng)典假設(shè)的幾個(gè)條件；QR法只要求擾動(dòng)項(xiàng)的條件下。2.在計(jì)算方面：OLS法求解簡單；QR法復(fù)雜，但由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，其不難完成。3.在估計(jì)的優(yōu)良性方面：兩者都有各自的優(yōu)良性。由于QR法在模型的假設(shè)方面要求較少，較容易得到滿足。特別是其估計(jì)方法（加權(quán)最小一乘估計(jì)方法）決定了其估計(jì)具有較強(qiáng)的穩(wěn)鍵性。第二部分：應(yīng)用實(shí)例分析主要結(jié)合應(yīng)用實(shí)例，介紹如何利用統(tǒng)計(jì)軟件實(shí)現(xiàn)分位數(shù)回歸，如何對(duì)研究結(jié)果進(jìn)行解釋和分析。分位數(shù)回歸模型的軟件計(jì)算目前，計(jì)算分位數(shù)回歸的統(tǒng)計(jì)軟件主要有SAS以及R。EstimationinSAS：EstimationinR（)Example—RiskfactorsforlowbirthweightLowbirthweightisknowntobeassociatedwith*Higherinfantmortality(Abreveya,2001).*Higherhealth-carecost(Lewitetal.1995).*aWiderangeofsubsequenthealthproblems(Hacketal.,1995).*long-termeducationalattainmentandevenlabormarketoutcomes(CormanandChaikind,1998).Investigatethefacotrsinfluencingbirthweight,especiallytheonesthatmayhelpreducetheincidenceoflowbirthweightinfants.Example—Riskfactorsforlowbirthweight

?

Theresearchquestioncanberephrasedasexploringthecovariateeffectsonthelowerquantilesofbirthweight.

?

Potentialcovariatesinclude?Mother’seducation?Mother’sprenatalcare?Mother’sage?Mother’sweightgain?...

?

Covariateeffectsonlowerquantilesmaydifferfromthoseonthemeanormedianbirthweight.

?

Reference:Abreveya(2001)andKoenkerandHallock(2001).Example:Exploringtheriskfactorsoflow

birthweightExample--ExploringtheriskfactorsoflowbirthweightAquantileregressionmodelforbirthweightSAScodesforthebirthweightmodelSomeconclusionsforexampleAnEngelCurvesforFood:ThisfigureplotsdatatakenfromErnstEngel's(1857)studyofthedependenceofhouseholds'foodexpenditureonhouseholdincome

第三部分:分位數(shù)回歸的發(fā)展和應(yīng)用分位數(shù)回歸的發(fā)展最小二乘方法最早是由Adrien-Marie（1806）提出的。QR法最早是由Koenker和Bassett（1978）提出的。

從1978-1994年，

從1994-1997年，

從1997-2004年，Lessthan370articlesonQRpublished446articlesonQRpublished506articlesonQRpublishedHeteroscedasticityRobustnessCensoringSampleselectionBinaryresponsemodelsPaneldataTimeseries分位數(shù)回歸的發(fā)展分位數(shù)回歸的發(fā)展NoparametricmodelsNon-linearmodelsExtremesMultivariatequantileregression…………..分位數(shù)回歸的應(yīng)用在環(huán)境科學(xué)研究方面:Chock，Winkler和Chen(2000)使用非參數(shù)分位數(shù)回歸法研究了匹茲堡這座城市中日死亡率和空氣污染集中度的相互關(guān)系；Hilary和Andrzej(2002)運(yùn)用分位數(shù)回歸對(duì)天氣數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析。在生態(tài)學(xué)研究方面：KoenkerandSchorfheide(1994)分析了上世紀(jì)全球氣候改變的過程；Dunham，Cade和Terrell(2002)研究了不同的河流對(duì)鮭魚密度的影響。在生存分析研究方面：Koenker和Hallock(2001)研究了諸多因數(shù)對(duì)于新生兒出體重的影響；Cole和Green(1992)以及Royston和Altman(1994)還討論了分位數(shù)回歸在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用。分位數(shù)回歸的應(yīng)用在勞動(dòng)力市場研究方面：Buchinsky(1996)研究了美國的勞動(dòng)力市場；Schultz和Mwabu(1998)研究了南非的勞動(dòng)力市場；Montenegro(1998)分析了智利的情況；Fithzenberger、Hujer、Macurdy和

Schnabe(2001)討論了德國勞動(dòng)力市場的情況；值得一提的是Machado與Mata(2001)擴(kuò)展了Oaxaca的分解法，并提出了一種依據(jù)分位數(shù)回歸過程來模擬邊際分布的方法來研究葡萄牙的勞動(dòng)力市場；Yu，Philippe和Zhang（2005)使用貝葉斯分位數(shù)回歸研究了英國1991-2001年間的工資結(jié)構(gòu)的分布情況；Angrist,Chernozhukov和Fernandez-val(2006)使用分位數(shù)回歸方法研究了美國的工資結(jié)構(gòu)的分布情況；Papapetrou(2006)則研究了希臘公私企業(yè)中的工資差距情況。分位數(shù)回歸的應(yīng)用在需求分析研究方面：Deaton(1997)利用分位數(shù)回歸分析了巴基斯坦的Engel曲線；Hendricks與Koenker(1992)使用分位數(shù)回歸研究了電力消費(fèi)需求情況；Manning，BlumbergandMoulton(1995)討論了酒精使用的需求情況；Taylor

(2007)運(yùn)用指數(shù)加權(quán)分位數(shù)回歸來預(yù)測超級(jí)市場的日銷售情況。分位數(shù)回歸的應(yīng)用在收入不平等問題研究方面：Gosling，MachinandMeghir（1996）研究了英國家庭的收入和財(cái)富的分布狀況；ConleyandGalenson（1998）探討了美國的幾個(gè)城市在19世紀(jì)中期財(cái)富的累積情況；Trede（1998）andMorillo（2000）比較了美國與德國的收入機(jī)動(dòng)性。分位數(shù)回歸的應(yīng)用在金融資產(chǎn)組合研究方面：BassettandChen（2000,2001）運(yùn)用分位數(shù)回歸來評(píng)估共同基金的投資類型；Barnes和Hughes(2002)研究了美國資本市場的CAMP模型；Ma和Pohlman(2005)運(yùn)用分位數(shù)回歸討論了資產(chǎn)收益預(yù)測與最優(yōu)資產(chǎn)組合的構(gòu)造。分位數(shù)回歸的應(yīng)用在金融風(fēng)險(xiǎn)研究方面：在金融市場的風(fēng)險(xiǎn)管理中，VaR已經(jīng)成為其標(biāo)志性指標(biāo)。VaR能夠?qū)⒔鹑跈C(jī)構(gòu)面臨的所有種類各異、形式多樣的風(fēng)險(xiǎn)加總成為一個(gè)簡單的數(shù)字。EngleandManganell（2004）首次在VaR的基礎(chǔ)上提出了條件VaR模型（CAViaR），并使用分位數(shù)回歸的方法來估計(jì)參數(shù)，通過對(duì)數(shù)據(jù)的模擬得出了這一模型對(duì)于厚尾數(shù)據(jù)的表現(xiàn)為最優(yōu)的結(jié)論；Taylor（1999）使用分位數(shù)回歸的方法來估計(jì)多期收益的風(fēng)險(xiǎn)值VaR；ChernozhukovandUmantsev（2001）使用分位數(shù)回歸深入研究了CVaR的模型與估計(jì)方面的問題；Chen和Chen(2003)分別用分位數(shù)回歸方法和方差-協(xié)方差法計(jì)算日經(jīng)225指數(shù)的VaR值，實(shí)證結(jié)果為前者很大程度上優(yōu)于后者；GeorgiosandLeonidas（2005）使用CAViaR模型估計(jì)了美國和希臘證券市場中的市場風(fēng)險(xiǎn)值。我們?cè)诜治粩?shù)研究方面發(fā)表的論文1.陳建寶、段景輝：中國性別工資差異的分位數(shù)回歸分析,數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2009.10,pp.87-97.2.段景輝、陳建寶：城鄉(xiāng)家庭收入差異影響因素的分位數(shù)回歸解析,經(jīng)濟(jì)學(xué)家,2009.9.No.129,pp.46-53.3.陳建寶、杜小敏：基于分位數(shù)回歸的我國居民收入和消費(fèi)的實(shí)證分析，統(tǒng)計(jì)與信息論壇,2009,Vol.24,No.7,pp.44-50.4.丁軍軍、陳建寶：基于CAViaR模型的股票風(fēng)險(xiǎn)實(shí)證分析.數(shù)據(jù)分析（臺(tái)灣）,2007，Vol.2,No.4:65-78.5.陳建寶、丁軍軍：分位數(shù)回歸技術(shù)綜述.統(tǒng)計(jì)與信息論壇,200