章現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)模型市公開課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第一章現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)學(xué)模型第1頁第1頁第一節(jié)現(xiàn)實(shí)世界模型第2頁第2頁在現(xiàn)實(shí)生活中，我們對“模型”（Model）這個(gè)名詞并不陌生。我們經(jīng)常談到“物理模型”、“化學(xué)模型”、“生物模型”等?！霸汀保≒rototype）和“模型”是一對對偶體。原型：是指人們在現(xiàn)實(shí)世界里關(guān)懷、研究或從事生產(chǎn)、管理實(shí)際對象。在科技領(lǐng)域中通常使用系統(tǒng)、過程等詞匯來描述相應(yīng)對象。第3頁第3頁模型：指為了某個(gè)特定目的將原型一部分信息簡縮、提煉而構(gòu)成原型替換物。尤其要闡明是：模型不是原型原封不動復(fù)制品。原型有各個(gè)方面和各個(gè)層次特性，而模型只要求與某種目的相關(guān)那些方面和層次。模型基本特性是由結(jié)構(gòu)模型目的決定。第4頁第4頁一、形象模型依據(jù)某種物體實(shí)際大小，按一定百分比制作模型稱為形象模型。比如汽車模型、建筑模型都是形象模型。形象模型又稱為直觀模型。第5頁第5頁二、物理模型物理模型主要指科研工作者為一定目的依據(jù)相同原理結(jié)構(gòu)模型，它不但能夠能夠顯示原型外形或相同特性，并且能夠用來進(jìn)行模擬試驗(yàn)，間接地研究模型一些規(guī)律。第6頁第6頁三、思維模型思維模型是指人們對原型重復(fù)結(jié)識，將獲取知識以經(jīng)驗(yàn)形式直接存儲于人腦中，從而能夠依據(jù)思維或直覺作出相應(yīng)決議。思維模型特性是容易接受，也能夠在一定條件下或得滿意結(jié)果，但是它往往帶有模糊性、片面性、主觀性、偶然性等缺點(diǎn)。第7頁第7頁四、符號模型用一些比較生動、鮮明符號來刻畫某種事物特性，這種模型稱為符號模型。比如地圖、電路圖、化學(xué)結(jié)構(gòu)表等。第8頁第8頁五、數(shù)學(xué)模型在初等數(shù)學(xué)中，我們就已經(jīng)碰到了數(shù)學(xué)模型詳細(xì)問題，只是那時(shí)并不知道這就是數(shù)學(xué)模型。我們看下面例子。第9頁第9頁例甲乙兩地相距740km，某船從甲地到乙地順?biāo)枰?0小時(shí)，從乙地到甲地逆水需要50小時(shí)，問船速、水速各為多少？分析：在該問題中，兩地之間距離是已知，并且假定在考察問題時(shí)間段中水流速不變，在這樣假設(shè)之下，我們能夠得出問題解。求解設(shè)水流速為，船行駛速度為，則當(dāng)順?biāo)叫袝r(shí)相關(guān)系第10頁第10頁當(dāng)船只逆水航行時(shí)，有即有方程組上式即為原問題數(shù)學(xué)表示式，又稱為數(shù)學(xué)模型。第11頁第11頁容易求出該問題解：。即船速為20km/h，水速為5km/h。第12頁第12頁在上面例中我們看到數(shù)學(xué)模型普通意義：對于現(xiàn)實(shí)世界一個(gè)特定對象，為了一個(gè)特定目，依據(jù)特有內(nèi)在規(guī)律，作出一些必要假設(shè)，利用適當(dāng)數(shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。第13頁第13頁注意：本課程重點(diǎn)并不是單單簡介現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)模型，而主要是簡介建立數(shù)學(xué)模型所有過程和求解過程。建立模型過程就稱為數(shù)學(xué)建模。第14頁第14頁第二節(jié)數(shù)學(xué)建模主要意義第15頁第15頁一、在普通工程領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地。二、在高新技術(shù)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少工具。三、數(shù)學(xué)快速進(jìn)入一些新興領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開拓了許多新處女地。第16頁第16頁四、數(shù)學(xué)建模在國民經(jīng)濟(jì)和社會活動中詳細(xì)表現(xiàn)：1.預(yù)報(bào)與決議；2.分析與設(shè)計(jì)；3.控制與優(yōu)化；4.規(guī)劃與管理。第17頁第17頁第三節(jié)數(shù)學(xué)模型例子第18頁第18頁一、椅子放穩(wěn)問題問題一個(gè)有四個(gè)腳方凳能否在地上放穩(wěn)，如能話，給出詳細(xì)辦法。假設(shè)1椅子四個(gè)腳是等長并且四個(gè)腳正好位于一個(gè)四方形頂點(diǎn)上；假設(shè)2地面是一張連續(xù)改變曲面；假設(shè)3在任一時(shí)刻。椅子至少有三只腳落地。第19頁第19頁建模設(shè)椅子四只腳位于點(diǎn)其連線構(gòu)成一正方形，對角線交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對角線為坐標(biāo)軸（坐標(biāo)系統(tǒng)如圖所表示）。設(shè)為兩點(diǎn)椅子腳離開地面距離只和；為兩點(diǎn)椅子腳離開地面距離之和，則由條件得第20頁第20頁注意到：并且椅子四腳落地意味著故不妨假設(shè)則問題歸結(jié)為是否存在使得第21頁第21頁解模由條件對任意，有且令則因第22頁第22頁由閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理知，存在使得注意到條件：椅子四個(gè)腳中在同一時(shí)刻至少有三腳落地，即因此由，即有第23頁第23頁此闡明在問題所設(shè)條件下，椅子能夠放穩(wěn)，并給出了放穩(wěn)詳細(xì)辦法。注若在原問題中，若將一個(gè)四方形椅子改為長方形桌子，則該如何求解？第24頁第24頁二、人口增長預(yù)報(bào)問題伴隨科學(xué)技術(shù)發(fā)展，在近幾種世紀(jì)來，世界人口也得到了快速增長。下面數(shù)據(jù)表反應(yīng)了近幾種世紀(jì)人口增長情況。年1625183019301960人口（億）5102030年197419871999人口（億）405060第25頁第25頁從表中看出，人口每增長十億時(shí)間，由一百多年縮短至十二、三年。常此以往，人口問題將嚴(yán)重困擾世界經(jīng)濟(jì)發(fā)展。第26頁第26頁下表是我國在20世紀(jì)中人口發(fā)展情況：年1908193319531964人口（億）3.04.76.07.2年19821990人口（億）10.311.312.95第27頁第27頁結(jié)識人口數(shù)量改變規(guī)律，建立適當(dāng)人口模型，作出準(zhǔn)確預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長前提。下面簡介兩個(gè)基本人口模型，并利用表1給出近兩個(gè)世紀(jì)美國人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：百萬）對模型作出檢查，最后用它預(yù)報(bào)美國人口。第28頁第28頁年179018001810182018301840人口3.95.37.29.612.917.1年185018601870188018901900人口23.231.438.650.262.976.0年191019201930194019501960人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3年197019801990人口204.0226.5251.4281.4表1美國人口數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)第29頁第29頁⑴指數(shù)增長模型一個(gè)簡樸人口模型是指數(shù)模型：記今年人口為，年增長率為，則以后第年人口為在上面問題中，假定人口增長率是一個(gè)不變常數(shù)。

200多年前，馬爾薩斯基于增長率不變基礎(chǔ)，建立了著名人口指數(shù)模型。⑴第30頁第30頁建模記時(shí)刻時(shí)人口為，并視其為連續(xù)變量，初始時(shí)人口為，從到時(shí)間內(nèi)人口增量為，則有令則得到應(yīng)滿足微分方程：⑵第31頁第31頁由這個(gè)方程容易解得：當(dāng)時(shí)，⑶式表明人口將按指數(shù)規(guī)律無限增長。故稱為指數(shù)增長模型。⑶參數(shù)預(yù)計(jì)：⑶式中和能夠用表1中數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)計(jì)。為了利用簡樸最小二乘法，將⑶式取對數(shù)后得其中：。⑷第32頁第32頁以1790年到19數(shù)據(jù)擬合⑷式，可得以1790年到所有數(shù)據(jù)擬合⑷式，可得第33頁第33頁1790—1900實(shí)際人口與計(jì)算人口比較計(jì)算人口曲線實(shí)際人口第34頁第34頁1790—實(shí)際人口與計(jì)算人口比較計(jì)算人口曲線實(shí)際人口第35頁第35頁年179018001810182018301840人口3.95.37.29.612.917.1x14.25.57.29.512.516.5x26.07.49.111.113.616.6年185018601870188018901900人口23.231.438.650.262.976.0x121.728.637.649.565.185.6x220.324.930.537.345.755.9表2指數(shù)增長模型擬合美國人口數(shù)據(jù)結(jié)果第36頁第36頁結(jié)果分析用上面得到參數(shù)代入⑶式，將計(jì)算結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)作比較得下表，表中計(jì)算人口是用1790年數(shù)據(jù)擬合結(jié)果；計(jì)算人口是用所有數(shù)據(jù)擬合結(jié)果，用這個(gè)模型基本上能夠描述19世紀(jì)以前美國人口增長情況，但是進(jìn)入20世紀(jì)后，美國人口增長明顯放慢，此時(shí)模型不再適合了。第37頁第37頁年191019201930194019501960人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3x1x268.483.7102.5125.5153.6188.0年197019801990人口204.0226.5251.4281.4x1x2230.1281.7344.8422.1第38頁第38頁從歷史上看，指數(shù)增長模型與十九世紀(jì)以前歐洲一些地域人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)能夠較好地吻合，另外，以此模型作短時(shí)間里人口預(yù)測能夠得到較好地結(jié)果。原因是此時(shí)人口增長率幾乎是一個(gè)不變常數(shù)。但是，從長期看，任何地域、任何國家人口不可能無限增長，這是由于人口增長率事實(shí)上是在不斷地改變。普通情況下，當(dāng)人口較小時(shí)，增長較快；當(dāng)人口達(dá)到一定數(shù)量時(shí)，增長率明顯下降。因而用平均增長率來代替改變增長率，會與實(shí)際結(jié)果有較第39頁第39頁大差距。第40頁第40頁⑵阻滯增長模型（Logistic模型）分析當(dāng)人口增長到一定數(shù)量后，自然資源、環(huán)境條件等原因?qū)θ丝谠鲩L會起到一個(gè)阻滯作用，并且伴隨人口不斷增長，阻滯作用會越來越大。阻滯增長模型就是基于這個(gè)事實(shí)，對指數(shù)增長模型基本假設(shè)進(jìn)行修改后得到。第41頁第41頁建模設(shè)增長率隨人口數(shù)量增長而下降，則關(guān)系式⑵可改寫成⑸其中是減函數(shù)。進(jìn)一步假定，設(shè)是線性函數(shù)，即⑹這里稱為固有增長率。引入，稱為人口容量，即第42頁第42頁當(dāng)時(shí)，人口不再增長，即代入⑹式得于是⑹式為⑺把⑺代入方程⑸，得⑻第43頁第43頁方程⑻右端因子表達(dá)人口本身增長趨勢，因子則表達(dá)了資源和環(huán)境對人口增長阻滯作用。注意到：越大，前一因子越大，而后一因子越小，人口增長是兩個(gè)因子共同作用結(jié)果。以為橫軸，為縱軸作出方程⑻圖形。從該圖形中能夠大體描繪出圖形。第44頁第44頁Logistic模型x—t曲線第45頁第45頁參數(shù)預(yù)計(jì)為了利用簡樸線性最小二乘法預(yù)計(jì)這個(gè)模型參數(shù)和，將方程⑻表為用數(shù)值微分和曲線擬合，利用從1860到1990年數(shù)據(jù)計(jì)算得到/，第46頁第46頁結(jié)果分析：用上面數(shù)據(jù)代入方程解：⑼將計(jì)算結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)加以對比：有下面圖表第47頁第47頁年179018001810182018301840人口3.95.37.29.612.917.1x13.95.06.58.310.713.7年185018601870188018901900人口23.231.438.650.262.976.0x117.522.328.335.845.056.2表3阻滯增長模型擬合美國人口數(shù)據(jù)結(jié)果第48頁第48頁年191019201930194019501960人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3x169.785.5103.9124.5147.2171.3年197019801990人口204.0226.5251.4281.4x1196.2221.2245.3第49頁第49頁阻滯增長型擬合圖形（1790—1990）計(jì)算人口曲線實(shí)際人口第50頁第50頁從數(shù)據(jù)中能夠看出，在阻滯增長模型中即使有一段時(shí)間，數(shù)據(jù)擬合情況不是較好，但在最后一段時(shí)間，吻合得相稱不錯(cuò)。以該數(shù)據(jù)來預(yù)測人口情況，我們有與實(shí)際數(shù)據(jù)有約誤差，能夠認(rèn)為該模型是能夠令人滿意。將數(shù)據(jù)加入，能夠預(yù)測到在年美國人口將達(dá)到百萬。第51頁第51頁三、傳染病蔓延問題問題當(dāng)某種傳染病流行時(shí)，得病者人數(shù)是如何改變？在何時(shí)病人增長率最大？相關(guān)部門應(yīng)如何控制傳染病蔓延？第52頁第52頁模型一假設(shè)：病人是通過與別人接觸而將病菌傳染給別人。進(jìn)一步地假設(shè)，在單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)病人能傳染人數(shù)為定量，記作，稱其為傳染系數(shù)。建模設(shè)時(shí)刻，有病人數(shù)，且初始時(shí)再設(shè)從時(shí)刻屆時(shí)刻時(shí)間段中病人增量為從而有第53頁第53頁令則有微分方程，并有初始條件⑴從而問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)常微分方程初值問題.第54頁第54頁解模方程⑴為一階線性齊次常系數(shù)微分方程，方程通解為再由初始條件得初值問題解為⑵⑵式表明，病人數(shù)將按指數(shù)規(guī)律無限制地增長，即第55頁第55頁實(shí)際問題是，一個(gè)地域人口總數(shù)是一個(gè)有限數(shù)，故上面模型并不合用.第56頁第56頁模型二假設(shè)1.在傳染病流行地域里，總?cè)丝跀?shù)是不變;

2.在單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)病人能傳染健康人數(shù)量是個(gè)變量.由于伴隨病人數(shù)增長，健康人數(shù)量在減少，從而也會減少.為此假定與健康人數(shù)量成正比,其百分比系數(shù)為，仍然稱為傳染系數(shù).第57頁第57頁建模設(shè)時(shí)刻時(shí)有病人數(shù)健康人數(shù)。初始時(shí)刻時(shí)有病人數(shù).由假定1，有在時(shí)刻到時(shí)間段中，病人數(shù)增量為⑶兩邊同除以，并令其趨于零，則有微分方程第58頁第58頁⑶如此，把問題轉(zhuǎn)變成一個(gè)微分方程.第59頁第59頁解模此方程是一個(gè)一階可分離變量微分方程，容易解出:兩邊積分，得第60頁第60頁再由初始條件，得因此方程解為變形后有第61頁第61頁即因此第62頁第62頁從而原方程解為⑷曲線大體圖形下列：分析：當(dāng)時(shí)，此表明所有人都將成為病人，這也是不合理.由于最后病人數(shù)將趨于零.第63頁第63頁此模型一個(gè)應(yīng)用是，利用該模型能夠預(yù)測該傳染病何時(shí)會達(dá)到最大值.對⑶式求導(dǎo)并令其為零，則有⑸由方程⑶第64頁第64頁從而方程⑸意味著即在病人數(shù)達(dá)到總?cè)藬?shù)二分之一時(shí)，病人數(shù)增長率達(dá)到最大.⑹將⑹代入⑷,得最傳染病高峰時(shí)刻為第65頁第65頁模型三假設(shè):1.在傳染病流行區(qū)域內(nèi)，總?cè)丝跀?shù)是不變;

2.在單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)病人能傳染健康人數(shù)量成正比，其百分比系數(shù)記為，稱為傳染系數(shù)。3.在單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)病人通過治療或其它過程能夠不再成為病人也許性記為，稱為恢復(fù)系數(shù)。第66頁第66頁建模設(shè)時(shí)刻有病人人，健康人，免疫者人，初始時(shí)刻有病人及免疫人數(shù)為0.由假設(shè)1及3得⑺⑻從時(shí)刻屆時(shí)刻時(shí)段中病人數(shù)增量為第67頁第67頁其中為免疫者數(shù)量增量。把除以上式兩邊，并令其趨于零，則有微分方程：再由⑺式得因此第68頁第68頁⑼⑽如此，模型三歸結(jié)為求解一階非線性微分方程組初值問題.第69頁第69頁上面方程組求解是極為困難。我們從另一個(gè)角度來進(jìn)行討論.引入量，稱為特性系數(shù)，則微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)棰洗朔匠虨樽兞靠煞蛛x微分方程，分離變量后求解：第70頁第70頁得由此得到初值問題⑾解為⑿第71頁第71頁解分析由于故解曲線⑿必定在下述一個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)：由⑽知即隨時(shí)間增長，健康人數(shù)將減少。再由⑾知當(dāng)時(shí)，此時(shí)病人數(shù)達(dá)到了極大值再來看當(dāng)初間在增長時(shí)病人數(shù)和健康人數(shù)極值情況。第72頁第72頁由于由極限存在準(zhǔn)則：故極限值存在，且由于故極限值存在。從而由式⑺式知極限值必存在，且第73頁第73頁另一方面，假定則由⑻當(dāng)相稱大時(shí)，有此與存在性矛盾，因此從圖中能夠看出，在健康人數(shù)初始值條件下，當(dāng)初間時(shí)，健康人數(shù)量減少，而病人數(shù)先增長，在達(dá)到極大值后再減少；而在健康人數(shù)初始值條件下，第74頁第74頁當(dāng)初間增長時(shí)，健康人數(shù)量減少，病人數(shù)量也減少。結(jié)論：只有當(dāng)時(shí)傳染病才會蔓延。數(shù)量稱為閥值。顯然越大則越不容易使傳染病蔓延。由定義知，欲使增大，可使恢復(fù)系數(shù)增大和傳染系數(shù)值減少。其實(shí)際意義是：提升醫(yī)療水平及提升衛(wèi)生保健水平，是預(yù)防傳染病蔓延良好路徑。第75頁第75頁從以上分析中能夠看到，模型三還是比較符合實(shí)際情況。第76頁第76頁應(yīng)用應(yīng)用模型三，我們來預(yù)計(jì)一次傳染病流行過程中被傳染者總數(shù)。第77頁第77頁若一次被傳染病流行后健康人數(shù)量為，則被傳染者總數(shù)為顯然，應(yīng)當(dāng)滿足⑿中時(shí)形式⒀由于普通有故代入⒀、⒁，得近似方程，⒁⒂第78頁第78頁又由于由冪級數(shù)展開式，⒂為略去較高項(xiàng)，有解出，得⒃第79頁第79頁若記健康人數(shù)量超出閥值部分為，即⒄則被傳染者總數(shù)為⒅第80頁第80頁尤其地，當(dāng)健康人數(shù)量初始值超出閥值部分很小時(shí)，即時(shí)，就有⒆從上面幾種式中能夠看到，在閥值提升后，值將變小，于是，一次傳染病流行過程中被傳染者總數(shù)也會變小。第81頁第81頁在上面討論中，參數(shù)能夠由實(shí)際數(shù)據(jù)預(yù)計(jì)得到。因初始值從而故由⒁得從而⒆第82頁第82頁檢驗(yàn)所建立模型在應(yīng)用于實(shí)踐前，還必須用已往一些經(jīng)驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)資料做一番檢查。假如它與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合，則該模型能夠用于實(shí)際應(yīng)用；假如它與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得不好，則該模型還不能做定量應(yīng)用。在后一個(gè)情況下，則需要對模型做進(jìn)一步地修改，直到模型與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合為止。第83頁第83頁假設(shè)有一組數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)反應(yīng)是某醫(yī)院每七天傳染病病人病愈和死亡情況：（時(shí)間單位為一周）時(shí)間1234…N治愈人數(shù)…今以這組數(shù)據(jù)來檢查模型三。為此首先求出與關(guān)系：由關(guān)系⑺，⑻，得微分方程第84頁第84頁⒇該初值問題解為代入⑺式得到第85頁第85頁由于病愈和死亡人數(shù)將指數(shù)函數(shù)按冪級數(shù)展開：代入到上式，并略去高階項(xiàng)后得：(21)第86頁第86頁用分離變量法求得上面方程解其中由前式得到第87頁第87頁當(dāng)則上式成為(22)(23)其中，(24)第88頁第88頁下面簡介參數(shù)擬定辦法：當(dāng)參數(shù)各取定某個(gè)數(shù)值時(shí)，對于由公式(23)可擬定相應(yīng)理論值：結(jié)構(gòu)理論值和實(shí)際值間誤差平方和函數(shù)下列：第89頁第89頁通過在一