2022年廣西壯族自治區(qū)桂林市白石中學高三數(shù)學理期末試卷含解析

2022年廣西壯族自治區(qū)桂林市白石中學高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知數(shù)列的通項公式（為常數(shù)），若與兩項中至少有一項是的最小值，則的取值范圍是（

）A.

B.C.

D.參考答案：A略2.已知函數(shù)，則使方程有解的實數(shù)的取值范圍是（

）A．（1，2） B．

C．

D．參考答案：D3.等差數(shù)列的前項和為30，前項和為100，則它的前項和是(

)A.130

B.170

C.210

D.260參考答案：C略4.若,則的元素個數(shù)為(

)0

1

2

3參考答案：C5.下列各進制數(shù)中值最小的是(

)A．85(9)

B．210(6)

C．1000(4)

D．111111(2)參考答案：D略6.過雙曲線(a>0,b>0)的左焦點F(-c,0)作圓的切線，切點為E，延長FE交拋物線于點P，O為原點，若，則雙曲線的離心率為

A．

B．

C．

D．參考答案：A略8.一幾何體的三視圖如右所示，則該幾何體的體積為A.200+9πB.200+18πC.140+9πD.140+18π

參考答案：A8.從中隨機選取一個數(shù)為a從中隨機選取一個數(shù)b，則的概率是A. B. C. D.參考答案：C從兩個集合中各選1個數(shù)有15種，滿足的數(shù)有，共有6個，所以的概率是，選C.9.設(shè)，，則是的(A)充分不必要條件

(B)必要不充分條件(C)充要條件

(D)既不充分也不必要條件參考答案：B略10.設(shè)，向量且，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若實數(shù)、滿足且的最小值為3，則實數(shù)=

參考答案：12.已知拋物線的焦點為F，過F作直線交C于A，B兩點，過A，B分別向C的準線作垂線，垂足為，已知與的面積分別為9和1，則的面積為_____．參考答案：6【分析】設(shè)設(shè)，，直線，聯(lián)立直線方程和拋物線方程可得，從而，，用表示，用表示（該值為9），化簡后得到的值.【詳解】設(shè)直線，由可得，整理得到：，設(shè)，，則，故，，又，，，整理得到即，故，而，填6.【點睛】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標代數(shù)式化為關(guān)于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關(guān)系式，該關(guān)系中含有或，最后利用韋達定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可解求值問題.13.在正三棱錐V﹣ABC內(nèi)，有一個半球，其底面與正三棱錐的底面重合，且與正三棱錐的三個側(cè)面都相切，若半球的半徑為2，則正三棱錐的體積的最小時，其底面邊長為．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】由于正三棱錐的側(cè)面為全等的等腰三角形，故側(cè)面與球的切點在棱錐的斜高上，利用等積法得出棱錐的高與棱錐底面邊長的關(guān)系，得出棱錐的體積關(guān)于高h的函數(shù)V（h），利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值得關(guān)系計算V（h）的極小值點，然后轉(zhuǎn)化為底面邊長得答案．【解答】解：設(shè)△ABC的中心為O，取AB中點D，連結(jié)OD，VD，VO，設(shè)OD=a，VO=h，則VD==．AB=2AD=2a．過O作OE⊥VD，則OE=2，∴S△VOD=OD?VO=VD?OE，∴ah=2，整理得a2=（h＞2）．∴V（h）=S△ABC?h=××a2h=a2h=．∴V′（h）=4×=4×．令V′（h）=0，得h2﹣12=0，解得h=2．當2＜h＜2時，V′（h）＜0，當h＞2時，V′（h）＞0，∴當h=2，即a=，也就是AB=時，V（h）取得最小值．故答案為：．【點評】本題考查了球與外切多面體的關(guān)系，棱錐的體積計算，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值，屬于中檔題．14.已知橢圓的右焦點F到雙曲線E：（a＞0，b＞0）的漸近線的距離小于，則雙曲線E的離心率的取值范圍是

．參考答案：1＜e＜2【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求出橢圓+=1的右焦點F的坐標，雙曲線的漸近線方程，由點到直線的距離公式，可得a，b的關(guān)系，再由離心率公式，計算即可得到．【解答】解：橢圓+=1的右焦點F為（2，0），雙曲線E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線為bx+ay=0，則焦點到漸近線的距離d=＜，即有2b＜c，∴4b2＜3c2，∴4（c2﹣a2）＜3c2，∴e＜2，∵e＞1，∴1＜e＜2．故答案為1＜e＜2．【點評】本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運用，考查點到直線的距離公式，考查離心率的求法，屬于中檔題．15.在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，，則

．參考答案：16.有3輛汽車、6名售票員、3名司機，每輛汽車配1名司機兩名售票員就可以工作，所有的安排方法數(shù)是

參考答案：54017.在等差數(shù)列{an}中，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，d為數(shù)列{an}的公差，若對任意n∈N*，都有Sn＞0，且a2a4=9，則d的取值范圍為．參考答案：【考點】等差數(shù)列的通項公式．【分析】對任意n∈N*，都有Sn＞0，可得：a1＞0，d≥0．由于a2a4=9，化為3d2+4a1d+﹣9=0，△＞0，而且兩根之和=﹣4d＜0，而必須至少有一個正實數(shù)根．可得3d2﹣9≤0，d≥0，解出即可得出．【解答】解：對任意n∈N*，都有Sn＞0，∴a1＞0，d≥0．∵a2a4=9，∴（a1+d）（a1+3d）=9，化為+4a1d+3d2﹣9=0，△=16d2﹣4（3d2﹣9）=4d2+36＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，并且兩根之和為﹣4d＜0，而必須至少有一個正實數(shù)根．d=時，a1=0，舍去．則d的取值范圍為．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）如圖，已知點M在圓O：上運動，MN⊥y軸（垂足為N），點Q在NM的延長線上，且．（Ⅰ）求動點Q的軌跡方程；（Ⅱ）直線與（Ⅰ）中動點Q的軌跡交于兩個不同的點A和B，圓O上存在兩點C、D，滿足，．（?。┣髆的取值范圍；（ⅱ）求當取得最小值時直線l的方程．

參考答案：解析：（Ⅰ）設(shè)動點，點，因為點在圓上，所以，因為，所以，，把，代入得動點Q的軌跡方程為．·····4分（Ⅱ）（?。┞?lián)立直線l與（Ⅰ）中的軌跡方程得∴，由于有兩個交點A、B，故，解得，

①··························5分設(shè)，，AB的中點，由根與系數(shù)的關(guān)系得故AB的垂直平分線方程為，即．······6分由圓O上存在兩點C、D，滿足，，可知AB的垂直平分線與圓O交于C、D兩點，由直線與圓的位置關(guān)系可得，解得，②由①、②解得，m的取值范圍是．···················8分（ⅱ）由（?。┲?，·············10分又直線與圓的相交弦，···11分，由（?。?，故當時，取得最小值，·12分故直線l方程為．13分19.如圖，在三棱柱中，，.（1）證明：；（2）若，求三棱柱的余弦值.參考答案：（Ⅰ）證明：設(shè)點為的中點，連接，，由，，知△與△均為等邊三角形，點為的中點，可得，，，相交于點，所以平面，又平面，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知△與△均是邊長為是等邊三角形，，又在△中，，，由余弦定理得，所以，故，又，，以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系．可得，，，，，，，設(shè)為平面的一個法向量，則，得，同理可得平面的一個法向量為，由，所以，二面角的余弦值為．

20.如圖所示，正方形與直角梯形所在平面互相垂直，，，.(1)求證：平面；（2）求四面體的體積.參考答案：21.