自動控制原理一八

第三節(jié)對數(shù)頻率特性5/17/20231一、對數(shù)頻率特性曲線（波德圖，Bode圖）Bode圖由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩條曲線組成。⒈波德圖坐標(橫坐標是頻率，縱坐標是幅值和相角)的分度：橫坐標分度(稱為頻率軸)：它是以頻率的對數(shù)值進行線性分度的。但為了便于觀察仍標以的值，因此對而言是非線性刻度。每變化十倍，橫坐標變化一個單位長度，稱為十倍頻程（或十倍頻），用dec表示。類似地，頻率的數(shù)值變化一倍，橫坐標就變化0.301單位長度，稱為“倍頻程”，用oct表示。如下圖所示：由于以對數(shù)分度，所以零頻率線在－∞處。5/17/20232更詳細的刻度如下圖所示ω１2345678910lgω0.0000.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.0005/17/20233縱坐標分度：對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標以表示。其單位為分貝(dB)。直接將值標注在縱坐標上。相頻特性曲線的縱坐標以度或弧度為單位進行線性分度。一般將幅頻特性和相頻特性畫在一張圖上，使用同一個橫坐標（頻率軸）。當幅制特性值用分貝值表示時，通常將它稱為增益。幅值和增益的關(guān)系為：幅值A(chǔ)(w)1.001.261.562.002.513.165.6210.0100100010000對數(shù)幅值20lgA(w)02468101520406080幅值A(chǔ)(w)1.000.790.630.500.390.320.180.100.010.0010.0001對數(shù)幅值20lgA(w)0-2-4-6-8-10-15-20-40-60-805/17/20234使用對數(shù)坐標圖的優(yōu)點：可以展寬頻帶；頻率是以10倍頻表示的，因此可以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相頻特性?？梢詫⒊朔ㄟ\算轉(zhuǎn)化為加法運算。所有的典型環(huán)節(jié)的頻率特性都可以用分段直線（漸進線）近似表示。對實驗所得的頻率特性用對數(shù)坐標表示，并用分段直線近似的方法，可以很容易的寫出它的頻率特性表達式。5/17/20235幅頻特性：；相頻特性：⒈比例環(huán)節(jié)：;對數(shù)幅頻特性：相頻特性：比例環(huán)節(jié)的bode圖5/17/20236⒉積分環(huán)節(jié)的頻率特性：頻率特性：積分環(huán)節(jié)的Bode圖可見斜率為－20/dec當有兩個積分環(huán)節(jié)時可見斜率為－40/dec5/17/20237慣性環(huán)節(jié)的Bode圖⒊慣性環(huán)節(jié)的頻率特性：①對數(shù)幅頻特性：，為了圖示簡單，采用分段直線近似表示。方法如下：低頻段：當時，，稱為低頻漸近線。高頻段：當時，，稱為高頻漸近線。這是一條斜率為-20dB/Dec的直線（表示每增加10倍頻程下降20分貝）。當時，對數(shù)幅頻曲線趨近于低頻漸近線，當時，趨近于高頻漸近線。低頻高頻漸近線的交點為：，得： ，稱為轉(zhuǎn)折頻率或交換頻率?？梢杂眠@兩個漸近線近似的表示慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性。5/17/20238慣性環(huán)節(jié)的Bode圖圖中，紅、綠線分別是低頻、高頻漸近線，藍線是實際曲線。5/17/20239慣性環(huán)節(jié)的Bode圖波德圖誤差分析（實際頻率特性和漸近線之間的誤差）：當時，誤差為：當時，誤差為：最大誤差發(fā)生在處，為wT0.10.20.512510L(w),dB-0.04-0.2-1-3-7-14.2-20.04漸近線,dB0000-6-14-20誤差,dB-0.04-0.2-1-3-1-0.2-0.045/17/202310

②相頻特性：

作圖時先用計算器計算幾個特殊點：由圖不難看出相頻特性曲線在半對數(shù)坐標系中對于(w0,-45°)點是斜對稱的，這是對數(shù)相頻特性的一個特點。當時間常數(shù)T變化時，對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性的形狀都不變，僅僅是根據(jù)轉(zhuǎn)折頻率1/T的大小整條曲線向左或向右平移即可。而當增益改變時，相頻特性不變，幅頻特性上下平移。慣性環(huán)節(jié)的波德圖wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.45/17/202311⒋振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性：討論時的情況。當K=1時，頻率特性為：振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性幅頻特性為：相頻特性為：對數(shù)幅頻特性為：低頻段漸近線：高頻段漸近線：兩漸進線的交點稱為轉(zhuǎn)折頻率。斜率為-40dB/Dec。5/17/202312相頻特性：幾個特征點：由圖可見：對數(shù)相頻特性曲線在半對數(shù)坐標系中對于(w0,-90°)點是斜對稱的。對數(shù)幅頻特性曲線有峰值。振蕩環(huán)節(jié)的波德圖5/17/202313對求導(dǎo)并令等于零，可解得的極值對應(yīng)的頻率。該頻率稱為諧振峰值頻率?？梢?，當時，。當時，無諧振峰值。當時，有諧振峰值。諧振頻率，諧振峰值當，，。因此在轉(zhuǎn)折頻率附近的漸近線依不同阻尼系數(shù)與實際曲線可能有很大的誤差。5/17/202314振蕩環(huán)節(jié)的波德圖左圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性圖。上圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對數(shù)幅頻特性實際曲線與漸近線之間的誤差曲線。5/17/202315⒌微分環(huán)節(jié)的頻率特性：微分環(huán)節(jié)有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數(shù)分別為：頻率特性分別為：微分環(huán)節(jié)的頻率特性5/17/202316純微分環(huán)節(jié)的波德圖①純微分：5/17/202317②一階微分：這是斜率為+20dB/Dec的直線。低、高頻漸進線的交點為相頻特性：幾個特殊點如下相角的變化范圍從0到。低頻段漸進線：高頻段漸進線：對數(shù)幅頻特性（用漸近線近似）：一階微分環(huán)節(jié)的波德圖5/17/202318一階微分環(huán)節(jié)的波德圖5/17/202319幅頻和相頻特性為：③二階微分環(huán)節(jié)：低頻漸進線：高頻漸進線：轉(zhuǎn)折頻率為：，高頻段的斜率+40dB/Dec。相角：可見，相角的變化范圍從0~180度。二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性5/17/202320二階微餅分環(huán)節(jié)腎的波德替圖5/4桐/20助2321⒍延遲柱環(huán)節(jié)靜的頻贊率特亭性：傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：延遲載環(huán)節(jié)邁的奈魯氏圖5/4跟/20止2322小結(jié)比例環(huán)速節(jié)和積側(cè)分環(huán)節(jié)豎的頻率瓣特性慣性釀環(huán)節(jié)榨的頻雕率特城性—低頻、遠高頻漸噴進線，顫斜率-2啄0，轉(zhuǎn)喪折頻古率振蕩刺環(huán)節(jié)呈的頻蠅率特片性—波德姨圖：求低頻拾、高榮頻漸貓進線站，斜金率-4倡0，轉(zhuǎn)折善頻率微分環(huán)貧節(jié)的頻波率特性—有三足種形線式：岔純微障分、校一階姑微分搜和二旅階微同分。承分別熄對應(yīng)兔積分嘗、一吉階慣纏性和喝振蕩半環(huán)節(jié)延遲胞環(huán)節(jié)悅的頻釣率特數(shù)性5/益4/責(zé)20膏2323二、開環(huán)系統(tǒng)的Bo絞de圖5/鳥4/溫20網(wǎng)2324三、最小職相位司系統(tǒng)緩和非錦最小雙相位籮系統(tǒng)最小相票位系統(tǒng)醒和非最銷小相位元系統(tǒng)定義：恢在右半S平面上謀既無極尖點也無鞋零點，凝同時無雞純滯后射環(huán)節(jié)的真系統(tǒng)是最小相獄位系統(tǒng)，相牙應(yīng)的袋傳遞扮函數(shù)貸稱為鞋最小躲相位緊傳遞炒函數(shù)縫；反迫之，應(yīng)在右漸半S平面上灣具有極踐點或零遠點，或響有純滯慮后環(huán)節(jié)撲的系統(tǒng)安是非最詞小相圣位系禁統(tǒng)，相應(yīng)占的傳遞激函數(shù)稱胸為非最番小相位挖傳遞函箭數(shù)。在幅頻比特性相拳同的一六類系統(tǒng)故中，最鴉小相位虹系統(tǒng)的俘相位移掉最小，棄并且最小相繞位系統(tǒng)因的幅頻剖特性的板斜率和章相頻特萬性的角皇度之間言具有內(nèi)物在的關(guān)最系。對最祝小相斥位系蛾統(tǒng)：w=0時j(w)齊=-9鐮0°×積分環(huán)灘節(jié)個數(shù)；w=∞時j(w雷)=雨-9琴0°慎×(n-袖m)。不滿足園上述條欺件一定臉不是最春小相位允系統(tǒng)。滿足剪上述齒條件筑卻不愁一定架是最撈小相償位系漏統(tǒng)。5/4紋/20鍋2325最小相吐位系統(tǒng)稼和非最撓小相位慎系統(tǒng)例：漆有五疾個系疊統(tǒng)的茶傳遞悼函數(shù)芝如下加。系統(tǒng)的熊幅頻特像性相同羊。5/剛4/迅20庭2326最小次相位食系統(tǒng)獸和非照最小駁相位舍系統(tǒng)設(shè)，可計算出下表，其中為對數(shù)坐標中與的幾何中點。w1/10T11/T11/T210/T2j1(w)-5.1°-39.3°-54.9°-39.3°-5.1°j2(w)-6.3°-50.7°-90°-129.3°-173.7°j3(w)6.3°50.7°90°129.3°173.7°j4(w)5.1°39.3°54.9°39.3°5.1°j5(w)-5.7°-45°-73°-96.6°-578.1°5/念4/增20皂2327由圖吧可知暴最小羊相位庫系統(tǒng)戶是指山在具網(wǎng)有相說同幅堂頻特爭性的六一類性系統(tǒng)適中，酸當w從0變化技至∞時，系仁統(tǒng)的相付角變化萬范圍最福小，且恥變化的侮規(guī)律與脅幅頻特漂性的斜混率有關(guān)左系(如j1(w))。而非筍最小編相位顆系統(tǒng)儉的相孕角變秤化范信圍通船常比抖前者鞠大(如j2(w災(zāi))、j3(w)、j5(w))；或者相頭角變化惰范圍雖影不大，閉但相角刺的變化噴趨勢與顛幅頻特惕性的變彼化趨勢銹不一致(如j4(w))。最小相皮位系統(tǒng)揪和非最愁小相位澇系統(tǒng)5/利4/已20孕2328最小畫相位襖系統(tǒng)通和非偏最小雕相位芝系統(tǒng)在最府小相圈位系堆統(tǒng)中臣，對羊數(shù)頻帽率特裹性的腳變化活趨勢氏和相騎頻特粉性的袋變化艷趨勢教是一摩致的趴（幅刷頻特魄性的嚷斜率簽增加妄或者民減少薯時，鑒相頻稍特性羨的角幸度也勿隨之軟增加臨或者謎減少朵），派因而蘆由對都數(shù)幅幅頻特碧性即吸可唯蛛一地世確定膊其相床頻特映性。伯德證凳明，對深于最小揪相位系脹統(tǒng)，對答數(shù)相頻企特性在謹某一頻頂率的相恨位角和況對數(shù)幅串頻特性脖之間存同在下述名關(guān)系：式中j0(w錯)為系精統(tǒng)相也頻特翁性在蔬觀察添頻率w0處的皂數(shù)值賢，單光位為慕弧度油；u=l撫n(w/w0)為標準孝化頻率柜；A=ln|G(jw)|；dA/du為系丘統(tǒng)相檔頻特膠性的乘斜率鞏，當L(w)的斜率裂等于20dB凳/d難ec時，dA/du=1劍；函數(shù)為加舊權(quán)函畢數(shù)，飛曲線騎如圖5/惑4/送20榜2329最小相掃位系統(tǒng)持和非最嚇小相位需系統(tǒng)上述贈公式因稱為鑼伯德柱公式毯。該宿式說沉明對抓于最暴小相時位系隱統(tǒng)，懶其幅衫頻特會性與塞相頻扔特性禮緊密聚聯(lián)系校的，丟當給況定了壓幅頻劑特性遼，其寺相頻嚼特性皮也隨判之而云定，伶反之靠亦然信。因攜此，家可只槐根據(jù)股幅頻絮特性氣（或久只根遷據(jù)相扣頻特宵性）目對其沃進行恐分析垂或綜員合；訴而非臟最小能相位搶系統(tǒng)木則不程然，勇在進滿行分職析或趕綜合彎時，撫必須蝕同時擴考慮秤其幅霸頻特膊性與線相頻觀特性只。在u=0(w=w0)時；在u=±2.3，即在w0上下十倍頻程處，；偏離素此點紙，函錢數(shù)衰倉減很范快。即相謙頻特蛛性在w0處的揭數(shù)值之主要濁決定閃于在w0附近的防對數(shù)幅逢頻特性蕉的斜率薦。在u=±0.69（在w0上下倍頻程處，；5/4濱/20隊2330最小相悟位系統(tǒng)達和非最顯小相位鴉系統(tǒng)例：已弓知最小主相位系統(tǒng)狐的漸略近幅榴頻特陰性如慚圖所澡示，試確軌定系影統(tǒng)的糕傳遞則函數(shù)過，并寫表出系詢統(tǒng)的土相頻多特性款表達進式。解：⒈由于跪低頻欣段斜象率為-20dB/何dec所以休有一挨個積葡分環(huán)綁節(jié)；⒉在w=1處，L(w)=1岡5dB賺，可得20lg