分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理教學(xué)案-高中數(shù)學(xué)

10.1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

教學(xué)目標(biāo)

1.掌握分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題；

2.通過對分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的理解和運(yùn)用，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，開

發(fā)學(xué)生的邏輯思維能力.

3.提高比較分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的異同，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)比較、類比、歸納等數(shù)學(xué)思想方

法和靈活應(yīng)用的能力.

4.通過對兩個原理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生周密思考、細(xì)心分析的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.

教學(xué)建議

(-)教材分析

1.知識結(jié)構(gòu)

2.重點(diǎn)難點(diǎn)分析

重點(diǎn)是分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理內(nèi)容及兩者的區(qū)別.難點(diǎn)是對較為復(fù)雜事件的分類和分步

(1)分類計(jì)數(shù)原理中的“做一件事，完成它可以有丫類辦法”，是對完成這件事的所有方法的一

個分類.分類時，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個分類的標(biāo)準(zhǔn)，然后在確定的分類標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其

次分類時要注意滿足一個基本要求：完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別屬于不同兩類

的兩種方法都是不同的方法，即不重復(fù)也不遺漏.只有滿足這些條件，才能用分類計(jì)數(shù)原理.

(2)分步計(jì)數(shù)原理中的“做一件事，完成它需分成,:類方法”，是指完成這件事的任何一種方法,

都要分成*個步驟.分步時首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定?個分步的標(biāo)準(zhǔn)；其次分步時還要注意滿足完

成件事必須并且只需連續(xù)完成這丫個步驟后這件事才算完成，只有滿足這些條件，才能用分步計(jì)數(shù)

原理.

(3)分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的共同點(diǎn)是它們完成一件事情，共有多少種不同的方法.區(qū)別

在于完成件事情的方式不同：分類計(jì)數(shù)原理是“分類完成”，即任何?種辦法中用任何一個方法都能

獨(dú)立完成這件事：分步計(jì)數(shù)原理是“分步完成”，即這些方法需要分步驟順次相依，且每一個步驟都完

成了，才能完成這件事情.區(qū)分分類還是分步的關(guān)鍵是看經(jīng)過這個過程，有沒有完成整個事情.

(4)透徹理解兩個原理，注意兩個基本原理的區(qū)別及聯(lián)系，在運(yùn)用兩個基本原理解決問題的過程

中，要注意如下思維過程的訓(xùn)練和總結(jié)：由少到多，由具體到抽象，由特殊到一般，由簡單到復(fù)雜，由

形象思維轉(zhuǎn)化為邏輯思維.

(-)教法建議

1.教學(xué)時建議從實(shí)際生活中引入，可以讓學(xué)生先舉身邊的例子，老師然后補(bǔ)充，這樣容易調(diào)動學(xué)

生學(xué)習(xí)的積極主動性.

2.可以與學(xué)生舊有的知識相對比，教師可以根據(jù)實(shí)際學(xué)生情況考慮是否可以將兩個原理與物理中

的串并聯(lián)相聯(lián)系：分類計(jì)數(shù)原理類似于電學(xué)中的并聯(lián)；分步計(jì)數(shù)原理類似于串聯(lián).在處理問題時應(yīng)緊緊

抓住“分類”還是“分步”：“分類”用“加法”，“分步”用“乘法”.

3.關(guān)于兩個計(jì)數(shù)原理的教學(xué)可以分三個層次：

第一是對兩個計(jì)數(shù)原理的認(rèn)識與理解.這里要求學(xué)生理解兩個計(jì)數(shù)原理的意義，并弄清兩個計(jì)數(shù)原

理的區(qū)別.知道什么情況下使用加法計(jì)數(shù)原理，什么情況下使用乘法計(jì)數(shù)原理.(建議利用一課時).

第二是對兩個計(jì)數(shù)原理的使用.可以讓學(xué)生做一下習(xí)題(建議利用兩課時)：

①用0,1,2,……，9可以組成多少個8位號碼；

②用0,1,2,……，9可以組成多少個8位整數(shù)；

③用0,1,2,……，9可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)；

④用0,1,2,……，9可以組成多少個有重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)；

⑤用0,1,2,……，9可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的4位奇數(shù)；

⑥用0,1,2,……，9可以組成多少個有兩個重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)等等.

第三是使學(xué)生掌握兩個計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用，這個過程應(yīng)該貫徹整個教學(xué)中，每個排列數(shù)、組合數(shù)

公式及性質(zhì)的推導(dǎo)都要用兩個計(jì)數(shù)原理，每一道排列、組合問題都可以直接利用兩個原理求解，另外直

接計(jì)算法、間接計(jì)算法都是兩個原理的利體現(xiàn).教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真地分析題意，恰當(dāng)?shù)姆诸?、分?

用好、用活兩個基本計(jì)數(shù)原理.

4.對于較為復(fù)雜的既要用分類計(jì)數(shù)原理，又要用分步計(jì)數(shù)原理的問題，教學(xué)時可以根據(jù)題意恰當(dāng)

合理的畫出示意留或者列出表格，使問題的實(shí)質(zhì)直觀地顯現(xiàn)出來，從而便于解題.

教學(xué)設(shè)計(jì)方案

10.1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

教學(xué)目標(biāo):

掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，并能用這兩個原理分析和解決

一些簡單問題.

乙教具準(zhǔn)備：投影膠片（兩個原理）.

教學(xué)過程:

［設(shè)置情境］

先看下面的問題：

2002年夏季在韓國與日本舉行的第17屆世界杯足球賽共有32個隊(duì)參賽.它們先分成8個小組進(jìn)

行循環(huán)賽，決出16強(qiáng)，這16個隊(duì)按確定的程序進(jìn)行淘汰賽后，最后決出冠亞軍，此外還決出了第三、

第四名.問?共安排了多少場比賽？

要回答上述問題，就要用到排列、組合的知識.排列、組合是一個重要的數(shù)學(xué)方法，粗略地說，排

列、組合方法就是研究按某一規(guī)則做某事時，一共有多少種不同的做法.

在運(yùn)用排列、組合方法時，經(jīng)常要用到分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，下面我們舉一些例子來說明

這兩個原理.

［探索研究］

引導(dǎo)學(xué)生看下面的問題.（出示投影〉

從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，一天中，火車有3班，汽車有2班.那么一天中，乘

坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

因?yàn)橐惶熘谐嘶疖囉?種走法，乘汽車有2種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所以共有

3+2=5

種不同的走法，如圖所示.

一般地，有如下原理：（出示投影）

分類計(jì)數(shù)原理完成?件事，有類辦法，在第1類辦法中有"種不同的方法，在第2類辦法中有

**＞種不同的方法，…，在第,:類辦法中有網(wǎng)》種不同的方法，那么完成這件事共有：

種不同的方法.

再看下面的問題.（出示投影）

從甲地到乙地，要從甲地選乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地.一天中，火車有3班,

汽車有2班.那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法（如圖）？

這個問題與前一個問題不同.在前一個問題中，采用乘火車或汽車中的任何一種方式，都可以從甲

地到乙地；而在這個問題中，必須經(jīng)過先乘火車、后乘汽車兩個步驟，才能從甲地到乙地.

這里，因?yàn)槌嘶疖囉?種走法，乘汽車有2種走法，所以乘一次火車再接乘一次汽車從甲地到乙地,

共有

3X2=6

種不同的走法.（讓學(xué)生具體列出6種不同的走法）

于是得到如下原理：（出示投影）

分步計(jì)數(shù)原理完成一件事，需要分成七個步驟，做第1步有f種不同的方法，做第2步有f

種不同的方法，…，做第

■號...■

種不同的方法.

教師提出問題：分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理有什么不同？

學(xué)生回答后，教師出示投影：分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理都是涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)

的問題，它們的區(qū)別在于：分類計(jì)數(shù)原理與“分類”有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都

可以完成這件事；分步計(jì)數(shù)原理與“分步”有關(guān)，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事

才算完成.

（出示投影）

例1書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不

同的體育書.

（1）從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

（2）從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？

（解答略）

教師點(diǎn)評：注意區(qū)別“分類”與“分步”.

例2一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共10個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成

多少個四位數(shù)字的號碼？

（解答略）

例3要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？

（解答略）

［演練反饋］

1.有不同的中文書9本，不同的英文書7本，不同的日文書5本.從其中取出不是同一國文字的

書2本，問有多少種不同的取法？

（由?名學(xué)生板演后，教師講評）

2.集合/?{g-3},82M.從后、三中各取1個元素作為點(diǎn)M—）

的坐標(biāo).

（1）可以得到多少個不同的點(diǎn)？

（2）這些點(diǎn)中，位于第一象限的有幾個？

（由名學(xué)生板演后，教師講評）

3.某中學(xué)的一幢5層教學(xué)樓共有3處樓梯，間從1樓到5樓共有多少種不同的走法？

4.某藝術(shù)組有9人，每人至少會鋼琴和小號中的一種樂器，其中7人會鋼琴，3人會小號，從中

選出會鋼琴與會小號的各1人，有多少種不同的選法？

［參考答案］

1.解：取出不是同一國文字的書2本，可以分為三類：中英、中日、英日，而每一類中又都可分

兩步來取，因此有

M-9*7+7x5*9x5-143

種不同的取法.

注意：有些較復(fù)雜的問題往往不是單純的“分類”“分步”可以解決的，而要將“分類”“分步”

結(jié)合起來運(yùn)用.一般是先“分類”，然后再在每一類中“分步”，綜合應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原

理.

2.解：（1）一個點(diǎn)的坐標(biāo)有「、了兩個元素決定，它們中有一個不呵啰表示不同的點(diǎn).可以分為

兩類：二中的元素為工，-中的元素為；或上中的元素為；一,三中的元素為工，共得到

3X4+4X3=24

個不同的點(diǎn).

（2）第一象限內(nèi)的點(diǎn)，即工、r均為正數(shù)，所以只能取上、三中的正數(shù)，共有

2X24-2X2=8

個不同的點(diǎn).

3.解：由于1、2、3、4層每一層到上一層都有3處樓梯，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理

y-3x3x3x3-3,-81

4.解：由題意可知，在藝術(shù)組9人中，有且僅有一人既會鋼琴又會小號（把該人稱為“多面手”），

只會鋼琴的有6人，只會小號的有2人，把會鋼琴、小號各1人的選法分為兩類：

第一類：多面手入選，另一人只需從其他8人中任選一個，故這類選法共有8種.

第二類：多面手不入選，則會鋼琴者只能從6個只會鋼琴的人中選出，會小號的1人也只能從只會

小號的2人中選出，放這類選法共有6X2=12種，因此有

N-8+6X2-20種

故共有20種不同的選法.

注意：像本題中的“多面手”可稱為特殊“對象”，本題解法中按特殊“對象”進(jìn)行“兩分法分

類”是常用的方法.

［總結(jié)提煉］

分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理體現(xiàn)了解決問題時將其分解的兩種常用方法，即分步解決或分類解

決,它不僅是推導(dǎo)排列數(shù)與組合數(shù)計(jì)算公式的依據(jù)，而且其基本思想貫穿于解決本章應(yīng)用問題的始終.要

注意“類”間互相獨(dú)立，“步”間互相聯(lián)系.

布置作業(yè)：課本P87習(xí)題10.12,3.4,5

板書設(shè)計(jì)：

10.1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

(―)圖10-1（二）例題分析（三）練習(xí)

圖10-2例1（四）小結(jié)

兩個原理例2

例3

典型例題

例I在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個?

分析與解：分析個位數(shù)字，可分以下幾類.

個位是9,則十位可以是1,2,3-,8中的一個，故有8個；

個位是8,則十位可以是1,2,3-,7中的一個，故有7個；

與上同樣：

個位是7的有6個；

個位是6的有5個；

個位是2的只有1個.

由分類計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)有

1

l*2*3+4+5+6<-7+-8--X8-36

2（個）.

說明：本題是用分類計(jì)數(shù)原理解答的，結(jié)合本題可加深對“做一件事，完成之可以有〃類辦法”的

理解，所謂“做一件事，完成它可以有〃類辦法”，這里是指對完成這件事情的所有辦法的一個分類.分

類時，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定個適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類：其次分類時

要注意滿足一個基本要求：完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同兩類的兩種

方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類計(jì)數(shù)原理.

例2在由電鍵組A與B所組成的并聯(lián)電路中，如圖，要接通電源，使電燈發(fā)光的

方法有多少種？

解：因?yàn)橹灰仙蠄D中的任一電鍵，電燈即發(fā)光，由于在電鍵組A中有2個電鍵，電鍵組B中有3

個電鍵，應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理，所以共有：

2+3=5種接通電源使燈發(fā)亮的方法。

例3二年級一班有學(xué)生56人，其中男生38人，從中選取一名男生和一名女生作代表，參加學(xué)校

組織的調(diào)查團(tuán)，問選取代表的方法有幾種.

分析與解：男生38人，女生18人，

由分步計(jì)數(shù)原理共有38*18.684（種）

答：選取代表的方法有684種.

說明：本題是用分步計(jì)數(shù)原理解答的，結(jié)合本題可以加深對“做一件事，完

成之需要分成〃個步驟”的理解，所謂“做一件事，完成它需要分成〃個步驟”，

分析時，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)，確定?個分步的可行標(biāo)準(zhǔn)；其次，分步時還要

注意滿足完成這件事情必須并且只需連續(xù)完成這對?：個步驟后，這件事情才算

圓滿完成，這時，才能使用來法原理.

例4在電鍵組A、B組成的串聯(lián)電路中，如圖，要接通電源使燈發(fā)光的方法有幾種？

解：只要在合上A組中兩個電鍵之后，再合上B組中3個電鍵中的任意一-個，才能使電燈的電源接

通，電燈才能發(fā)光，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有：

2X3=6種不同的方法接通電源，使電燈發(fā)光。

例5有10本不同的數(shù)學(xué)書，9本不同的語文書，8本不同的英語書，從中任取兩本不同類的書，

有多少種不同取法？

分析：任取兩本不同類的書，有三類：一、取數(shù)學(xué)、語文各一本；二、取語文、英語各一本；三、

取數(shù)學(xué)、英語各一本.然后求出每類取法，利用分類計(jì)數(shù)原理即可得解.

解：取出兩本書中，一本數(shù)學(xué)一本語文有10*9-90種不同取法，-本語文本英語有

9x8-72種不同取法，-本數(shù)學(xué)，-本英語有80種不同取法.

由分類計(jì)數(shù)原理知：共有90*72*80=242種不同取法.

說明：本例是一個綜合應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理和分類計(jì)數(shù)原理的題目，在處理這類問題時，一定要搞清

哪里是分類，哪里是分步，以確定利用加法或分步計(jì)數(shù)原理.

例6（1993年全國高考題）同室4人各寫1張賀年卡，先集中起來，然后每人從中各拿1張別人送

出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有（）

A.6種B.9種C.11種D.23種

分析：本題完成的具體事情是四個人，每人抽取一張賀卡，問題是按照一定要求，抽取結(jié)果有多少

種不同情況.我們可以把抽卡片的過程分成四步，先是第一人抽，然后第二人，以此類推，但存在的問

題是，我們把四個人記為二、2、r、三，他們的卡片依次記為二、士、,如果第

一步w抽取上，接著三可抽N、0、幺，有三種方法，而三抽r或j,三僅有兩種抽法,

這樣兩步之間產(chǎn)生影響，這樣必須就抽的結(jié)果進(jìn)行分類.

解法1：設(shè)四人A,B,C,D寫的賀年卡分別是a,b,c,d,當(dāng)A拿賀年卡方，則B可拿a,c,d

中的任何一個，即B拿a,C拿"，D拿c或B拿c,D拿a,C拿"或B拿，C拿a,D拿c,所以A拿

。時有三種不同分配方法.同理，A拿c,d時也各有三種不同的分配方式.由分類計(jì)數(shù)原理，四張賀

年卡共有34-3+3=9種分配方式.

解法2：讓四人A,B,C,D依次拿?張別人送出的賀年卡.如果A先拿有3種，此時寫被A拿走

的那張賀年卡的人也有3種不同的取法.接下來，剩下的兩個人都各只有一種取法.由分步計(jì)數(shù)原理，

四張賀年卡不同的分配方式有3x3xlx1-9種.

應(yīng)選B.

注意：（1）本題從不同的角度去思考，從而得到不同的解答方法，解法1是用分類計(jì)數(shù)原理解答

的，解法2是用分步計(jì)數(shù)原理解答的.在此有必要再進(jìn)一步對兩個原理加以理解：

如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計(jì)數(shù)原理.

如果完成?件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完

成這件事的方法數(shù)時，使用分步計(jì)數(shù)原理.

（2）分類計(jì)數(shù)原理、來法原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、組合問題

的基本思想方法，這兩個原理十分重要必須認(rèn)真學(xué)好，并正確地靈活加以應(yīng)用.

（3）如果把四個人依次抽取的結(jié)果用一個圖表體現(xiàn)出來，就顯得更加清楚.

共有9種不同結(jié)果.

這個圖表我們稱之為“樹形圖”，在解決此類問題往往很有效，通過它可以把各種不同結(jié)果直觀地

表現(xiàn)出來.

擴(kuò)展資料

排列組合問題的來源

排列組合問題，最早見于我國的《易經(jīng)》一書.所謂“四象”就是每次取兩個爻的排列，“八卦”

是每次取三個爻的排列.在漢代數(shù)學(xué)家徐岳的《數(shù)術(shù)記遺》（公元2世紀(jì)）中，也曾記載有與占卜有關(guān)

的“八卦算”，即把卦按不同的方法在八個方位中排列起來.它與“八個人圍一張圓桌而坐，間有多少

種不同坐法”這一典型的排列問題類似.11世紀(jì)時，邵雍還進(jìn)一步研究了六十四卦的排列問題.

唐朝僧人一行曾經(jīng)研究過圍棋布局的總數(shù)問題.古代的棋盤共有17路，289個點(diǎn)，后來發(fā)展到19

路361個點(diǎn).一行曾計(jì)算過一切可能擺出的棋局總數(shù).后來，17世紀(jì)，北宋時期沈括在《夢溪筆談》

中，進(jìn)?步討論了圍棋布局總數(shù)問題.他利用?些排列、組合的辦法對?行的計(jì)算作了分析.沈括指出，

0000

當(dāng)361個棋子全用上時，棋局總數(shù)達(dá)到l?的數(shù)量級.

（選自《中學(xué)數(shù)學(xué)思想史》）

抽屜原理

原理1：多于上個的元素，按任確定方式分成上個集合，則至少有?個集合中含有至少二個元

素.

原理2：摩+5個元素，分成個集合，則至少有一個集合中含有至少p+1個元

素.

原理3：無窮多個元素分成個集合，則至少有一個集合中含有無窮多個元素.

【例1】求證：任意三個整數(shù)中，至少有兩個整數(shù)的和為2的倍數(shù).

證明將任意三個整數(shù)分成兩類

A：2A,B：2A+1（共中AZ）

則至少有兩個整數(shù)在同一類，

■其和必為偶數(shù)，即為2的倍數(shù).

【例2】坐標(biāo)平面上任意五個整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)）中，必有兩點(diǎn)，其連線的中點(diǎn)也是整點(diǎn).

證明將坐標(biāo)平面上全體整點(diǎn)分成四類

A：奇，奇；B：奇，偶；C：偶，奇；D：偶，偶

則任意五個整點(diǎn)中，必有兩點(diǎn)在同一類.

奇+奇奇+奇］

2

（2J,該點(diǎn)必為整點(diǎn).

同理可證，兩點(diǎn)同在二、U、一類時，結(jié)論成立，綜上結(jié)論成立.

對稱原理

“對稱”在生活中隨處可見，其例子舉不勝舉，數(shù)學(xué)上的對稱問題，要用對稱法解決，其特點(diǎn)是計(jì)

算量大大減少.

定義一將一個式子的某個字母互換，若所得式子與原式恒等，則稱此式子關(guān)于這兩個字母對稱.

定義二若某式子的所有字母按確定的順序排成一列后，將第一個字母用第二個字母代替，第二個

字母用第三個字母代替，…最后一個字母用第一個字母代替，如果所得式子與原式恒等，那么稱此式子

為關(guān)于這些字母的這種順序的輪換對稱式.

【例如】分解因式：/

分析此式為*的輪換對稱式，六N最高次數(shù)為明因此只能解如下三種形式之

(X+7+MXAT5+曠+Q5)

(x+C*

,■*於：A*項(xiàng)系數(shù)為i,...前兩式必有,不可能有因此只能

是第三式正確，X、X工必須系數(shù)為1,且兩"+”，兩，根據(jù)輪換對稱有

(*+了+或*-廠%-z-%

排序原理

排序原理的思想：在解答數(shù)學(xué)問題時常常涉步到一些可以比較大小的量，它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定

大小順序，那么在解答問題時，不妨可以將它們按?定順序排列起來，往往十分有助于解題，它在不等

式中應(yīng)用尤為廣泛.

【弓I例】設(shè)有■■:個彼此不等的正數(shù)巧巧,作出某一切可能的和數(shù)，證明得到的和數(shù)中至

-

少有2由1*2+.“*/!得到.

證明不妨設(shè)，則

1個數(shù)的和不等的有巧,共,:個:

2個數(shù)的和不等的有,共3+1）個：

3個數(shù)的和不等的有■+,共8-2）個;

G*-l）個數(shù)的和不等的有°1+?"+，共2個；

’：個數(shù)的和不等有的,+…*.，共1個

1*2+3+…***1）

和數(shù)中至少有2個兩兩不相等.

排序原理：

設(shè)匕），色）是兩個非負(fù)序列，?則

。也++…?/&+—4aA/邛^*—<^6,

（反序）（亂序）（同序）

探究活動

某西餐館三明治餐柜有這樣的菜單：

今日的選擇

白面包火腿蕃茄

加上或雞蛋加上

或腌菜

或黑或奶酪或腌苣

或酸制酵母

問能買到多少種不同的三明治，并調(diào)查研究，列出你自己的菜單（包括價格）.

習(xí)題精選

一、選擇題

1.將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有（）.

---j-I.-

A.種B.--種C.-種D.--種

2.將4個不同的小球放入3個不同的盒子，其中每個盒子都不空的放法共有（）.

A.丁種B.丁種C.18種D.36種

3.已知集合"—{L-L3},”?{一4.5,6.一力，從兩個集合中各取一個元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則

這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個數(shù)是（）.

A.18B.10C.16D.14

4.用1,2,3,4四個數(shù)字在任取數(shù)（不重復(fù)?。┳骱?，則取出這些數(shù)的不同的和共有（）.

A.8個B.9個C.10個D.5個

二、填空題

1.由數(shù)字2,3,4,5可組成個三位數(shù)，個四位數(shù)，個五位數(shù).

2.用1,2,3…，9九個數(shù)字，可組成______個四位數(shù)，________個六位數(shù).

3.商店里有15種上衣，18種褲子，某人要買一件上衣或一條褲子，共有種不同的選法.要

買上衣、褲子各一件，共有種不同的選法.

4.大小不等的兩個正方體玩具，分別在各面上標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,則向上的面標(biāo)著的

兩個數(shù)字之積不小于20的情形有種.

三、解答題

1.從1,2,3,4,7,9中任取不相同的兩個數(shù)，分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，能得到多少個不同

的對數(shù)值？

2.在連結(jié)正八邊形的三個頂點(diǎn)組成的三角形中，與正八邊形有公共邊的有多少個？

參考答案：

一、選擇題：1.B2.D3.D4.A

二、填空題：1.州2./：/3,33；2704.5

三、解答題:

1.注意到1不能為底數(shù)，1的對數(shù)為0,以2,3,4,7,9中任取兩個不同數(shù)為真數(shù)、底數(shù)，可有

個值，但％尹-?鵬*

5x45.9%，49Hs2-1og?4log42-logt3

所以對數(shù)值共有5x4-4+14-n（個）.

2.與正八邊形有兩個公共邊的有8個，有一個公共邊的有4x8.32個，所以共有40個.

10.2排列

教學(xué)目標(biāo)

（1）正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列；

（2）了解排列和排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列：

（3）掌握排列數(shù)公式，并能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列數(shù)：

（4）會分析與數(shù)字有關(guān)的排列問題，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；

（5）通過對排列應(yīng)用問題的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生通過對具體事例的觀察、歸納中找出規(guī)律，得出結(jié)論，

培養(yǎng)學(xué)生解決應(yīng)用問題的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。

教學(xué)建議

（-）教材分析

1.知識結(jié)構(gòu)

2.重點(diǎn)難點(diǎn)分析

重點(diǎn)是排列的定義、排列數(shù)及排列數(shù)的公式，并運(yùn)用這個公式解決有關(guān)排列數(shù)的應(yīng)用問題.難點(diǎn)是

導(dǎo)出排列數(shù)的公式和解有關(guān)排列的應(yīng)用題.突破重點(diǎn)、難點(diǎn)的關(guān)鍵是對分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的

掌握和運(yùn)用，并將這兩個原理的基本思想方法貫穿在解決排列應(yīng)用問題當(dāng)中.

(1)教材對兩個實(shí)例分析的目的在于：

①給出排列概念的感性認(rèn)識，為引進(jìn)排列定義作準(zhǔn)備.舍去具體內(nèi)容，可以看出問題的共同特點(diǎn)是：

若干個對象(元素)，按?定的順序排成?列.這正是排列概念的本質(zhì).

②分析了具體問題排列數(shù)的計(jì)算方法，為推導(dǎo)一般的排列數(shù)公式作準(zhǔn)備.

③列出了排列的框圖或樹圖，使學(xué)生初步看出，圖形的直觀性強(qiáng)，易于找出解題途徑，具有啟發(fā)作

用.

④指出具體寫出全部排列的方法，要求不重復(fù)、不遺漏.加深學(xué)生對排列概念的認(rèn)識.

(2)排列的定義中包含兩個基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”.

從定義知，只有當(dāng)元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同?個排列，元素完全

不同，或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列.兩個相同排

列，當(dāng)且僅當(dāng)他們的元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同.

在定義中“一定順序”就是說與位置有關(guān)，在實(shí)際問題中，要由具體問題的性質(zhì)和條件來決定，這

一點(diǎn)要特別注意，這也是與后面學(xué)習(xí)的組合的根本區(qū)別.

在排列的定義中.,如果皿〈稚有的書上叫選排列，如果,此時叫全排列.

(3)要分清“排列”和“排列數(shù)”這兩個不同的概念:一個排列是指從n個不同元素中任取m(mWn)

個元素，按照一定的順序排成一列的一種具體排法，它不是數(shù)：而排列數(shù)是指指從n個不同元素中任取

m(m?n)個元素的所有不同排列的種數(shù),它是一個數(shù)。如：元素的所有排列的個數(shù)，它是一個數(shù)；又

如從“田中任取兩個元素的排列可以有以下6種：血段每一種都是一個排列，

而6就是排列數(shù)。

(4)公式口-例)1是在引出全排列數(shù)公式4后，將排列數(shù)公式變形后得到的公

式.對這個公式指出兩點(diǎn)：(1)在一般情況"要計(jì)算具體的排列數(shù)的值，常用前一個公式，而要對

含有字母的排列數(shù)的式子進(jìn)行變形或作有關(guān)的論證，要用到這個公式，教材中第230頁例2就是用這個

公式證明的問題；(2)為使這個公式在部=*時也能成立，規(guī)定a=i,如同時-

樣，是一種規(guī)定，因此，不能按階乘數(shù)的原意作解釋.

(5)排列應(yīng)用問題一般分為兩類，即無限制條件的排列問題和帶限制條件的排列問題。常見題型

有：排隊(duì)問題、數(shù)字問題、與幾何有關(guān)的問題。

解排列應(yīng)用問題時應(yīng)注意以卜幾點(diǎn):

①認(rèn)真審題，根據(jù)題意分析它屬什么數(shù)學(xué)問題，題目中的事件是什么，有無限制條件，通過怎樣的

程序完成這個事件，用什么計(jì)算方法；

②弄清問題的限制條件，注意研究問題，確定特殊元素和特殊的位置?？紤]問題的原則是特殊元素、

特殊位置優(yōu)先，必要時可通過試驗(yàn)、畫圖、小數(shù)字簡化等手段幫助思考。

③恰當(dāng)分類，合理分步。

（6）解排列應(yīng)用題的基本思路：

①基本思路：

直接法：即從條件出發(fā)，直接考慮符合條件的排列數(shù)；

間接法：即先不考慮限制條件，求出所有排列數(shù)，然后再從中減去不符合條件的排列數(shù)。

②常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，排除法（也稱去雜法），對稱分析法，捆綁法，插空擋

法，構(gòu)造法等。

（7）關(guān)于排列的應(yīng)用題，教材共有3個例題（例3、例4、例5）.

例3是一個最簡單的沒有限制條件的排列問題.教學(xué)時應(yīng)注意通過問題的分析，使學(xué)生確認(rèn)它是一

個排列問題.這是因?yàn)閱栴}的本質(zhì)是“每一張車票對應(yīng)著2個車站的一個排列”.對于簡單問題，應(yīng)分

析如下三個問題：（1）問題的結(jié)果是否與順序有關(guān)，也就是能否歸納為排列問題來解；（2）在問題中，

"個元素指的是什么，0個元素指的是什么；（3）從〃個元素每次取出次個元素的一個排列對應(yīng)著的事

件是什么.根據(jù)分析，作出正確的判斷，然后直接運(yùn)用排列數(shù)公式算出結(jié)果.

例4也是一個沒有限制條件的排列問題，但比例3要復(fù)雜一點(diǎn).講解時，先指出由于表示信號時可

以掛一面，兩面或三面旗子，所以表示信號的方法能分為三類，接著分析每一類的方法數(shù)，然后根據(jù)加

法原理解出本題.對于信號兵用旗子表示信號的方法，學(xué)生如果感到生疏的話，也可以舉一個類似的例

題來說明：”由1,2,3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？”

例5是一個有限制條件的排列問題，由于思路不同，可以有不同的解法.用不同的方法去解同一個

問題，可以開拓思路，提高分析問題的能力.有時還能起到核對答數(shù)，避免差錯的作用.

對于有限制條件的排列問題，大致有兩種不同的計(jì)算方法：

（1）直接計(jì)算法：把符合限制條件的排列數(shù)直接計(jì)算出來；

（2）間接計(jì)算法：先不考慮限制條件，把所有排列種數(shù)算出，再從中減去全部不符合條件的排列

種數(shù)，間接得出符合條件的排列種數(shù).

這兩種方法都應(yīng)要求學(xué)生領(lǐng)會、能運(yùn)用.

例5的解法1與解法3都是直接計(jì)算法.解法1是對排列方法進(jìn)行分步，采用乘法原理.這是基本

的方法；解法3是對排列方法進(jìn)行分類，采用加法原理.對解法1,教材上是分成兩個步驟的，教學(xué)中

也可以讓學(xué)生考慮分成三個步驟的解法，即先排百位數(shù)字，再排十位數(shù)字，后排個位數(shù)字，得排列法的

種數(shù)是片'片又秸?648,然后比較-下兩種分步驟的方法，說明它們都是合理的，但是分為兩

個步驟比較簡潔.對于解法3,教材上是分為三類的，它也可以分為兩類，第?類是三位數(shù)中不含有數(shù)

字o的，第二類是含有數(shù)字。的.在第一類中，有君個三位數(shù)，在第二類中無論十位數(shù)字是o或者個

位數(shù)字是o,都有岑個，所以有2耳個三位數(shù)，由此得所求的三位數(shù)的個數(shù)是痞+*

例5的解法2是間接計(jì)算法.一般地說，一個排列問題可以用直接計(jì)算法計(jì)算，也可以用間接計(jì)算

法計(jì)算，比較兩者的繁簡，可采用較簡潔的方法即可.

在分析應(yīng)用題的解法時，教材上先畫出框圖，然后分析逐次填入時的種數(shù)，這樣解樣比較直觀，教

學(xué)上要充分利用，要求學(xué)生作題時也應(yīng)盡量采用.

(二)教法建議

(1)建議從實(shí)際生活中的排列問題引入，例如排隊(duì)問題、數(shù)字問題和彩票問題等，讓學(xué)生先有一?

定的感性認(rèn)識后，在引入排列的概念，進(jìn)入理性認(rèn)識階段，這樣既提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，乂提高教學(xué)效

果。

(2)注意相近概念之間的區(qū)別和聯(lián)系。這一節(jié)要注意向?qū)W生講清排列和排列數(shù)這兩個不同的概念。

(3)要注意與舊有的知識(兩個原理)相聯(lián)系，讓學(xué)生明白，排列問題也可以用兩個原理來解決,

只不過有時可能復(fù)雜，讓學(xué)生體會知識間的聯(lián)系。

(4)要借助形象思維來證明抽象問題.排列數(shù)的公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原理，可以借助框圖的

直視解釋來講解.要重點(diǎn)分析好已-D的推導(dǎo)。課本上用的是不完全歸納法，先推導(dǎo)胃，

W，…，再推廣到片，這樣由特殊到，般，由具體到抽象的講法，學(xué)生是不難理解的.

導(dǎo)出公式/&*必*D后要分析這個公式的構(gòu)成特點(diǎn)，以便幫助學(xué)生

正確地記憶公式，防止學(xué)生在“〃"、比較復(fù)雜的時候把公式寫錯.這個公式的特點(diǎn)可見課本第

229頁的一段話：“其中，公式右邊第一個因數(shù)是"，后面每個因數(shù)都比它前面一個因數(shù)少1,最后一

個因數(shù)是■-癡*1,共〃個因數(shù)相乘.”這實(shí)際是講三個特點(diǎn)：第一個因數(shù)是什么？最后一個因數(shù)

是什么？一共有多少個連續(xù)的自然數(shù)相乘.

(5)講解有關(guān)排列的應(yīng)用問題時，教學(xué)時要注意選擇例題要進(jìn)行分類，題目難度要有層次。在例

題講解過程中，不斷地總結(jié)排列應(yīng)用題的類型和解題的基本思路，最后，教師和學(xué)生一塊總結(jié)。

(6)在教學(xué)排列應(yīng)用題時，開始應(yīng)要求學(xué)生寫解法要有簡要的文字說明，防止單純的只寫?個排

列數(shù)，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的分析問題的能力，在基本掌握之后，可以逐漸地不作這方面的要求.建議應(yīng)

充分利用樹形圖對問題進(jìn)行分析，這樣比較直觀，便于理解.

教學(xué)設(shè)計(jì)方案一

10.2排列第一課時

教學(xué)目標(biāo):

使學(xué)生理解排列的意義，并且能在理解題意的基礎(chǔ)上，識別出排列問題，并能用“樹形圖”寫出

一個排列中所有的排列.

教具準(zhǔn)備：投影膠片或多媒體的幻燈片.

教學(xué)過程：

【設(shè)置情境】

看下面的問題：

問題1從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加某天的一項(xiàng)活動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，

1名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的方法？

這個問題，就是從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名，按照參加上午的活動在前，參加下午的活動在

后的順序排列，求一共有多少種不同排法的問題.

【探索研究】

解決這個問題需分2個步驟.第1步，確定參加上午活動的同學(xué)，從3人中任選1人有3種方法；

第2步，確定參加下午活動的同學(xué)，只能從余卜?的2人中選，有2種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有

3X2=6

種不同的方法.

如圖所示為所有的排列.（出示投影）

甲

甲

丙甲丙

甲甲

再

甲丙甲

丙

我們把上面問題中被取的對象叫做元素.于是所提出的問題就是從3個不同的元素中任取2個，按

照一定的順序排成一列，求一共有多少種不同的排法.

我們再看下面的問題:

問題2從a、b、c、d這四個字母中，取出3個按照順序排成一列，共有多少種不同的挑法？

解決這個問題，需分3個步驟:

第1步，先確定左邊的字母，在4個字母中任取1個，有4種方法；

第2步，確定中間的字母，從余下的3個字母中去取，有3種方法；

第3步，確定右邊的字母，只能從余下的2個字母中去取，有2種方法.

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有

4X3X2=24

種不同的排法，如圖所示.（出示投影）

/aNzbK

bcdacd

八八八八八\\

cdbdbccdadac

由此可以寫出所有的排列（出示投影）：

abeabdacbacd

adbadcbacbad

bcabedbdabdc

cabcadcbacbd

edaedbdabdac

dbadbcdcadeb

一般地，從〃個不同元素中取出加（辰〃）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從〃個不同元

素中取出0個元素的一個排列.

教師指出：我們所研究的排列問題，是不同元素的排列，這里既沒有重復(fù)元素，也沒有重復(fù)抽取相

同的元素.

排列的定義中包含兩個基本內(nèi)容：一是“取出元素”；二是“按照一定順序排列”.“一定順序”

就是與位置有關(guān)，這也是判斷一個問題是不是排列問題的重要標(biāo)志.

根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個排列的元素完全相同，而且元素的排列順序也完

全相同.也就是說，如果兩個排列所含的元素不完全一樣，那么就可以肯定是不同的排列；如果兩個排

列所含的元素完全一樣，但擺的順序不同，那么也是不同的排列.

上面定義的排列里，如果這樣的排列（也就是只選一部分元素作排列），叫做選排列；如

果0=3,這樣的排列（也就是取出所有元素作排列），叫做全排列.

例題寫出從a、6、。三個元素中取出兩個元素的全部排列.

為了使寫出的排列既不重復(fù)又不遺漏，教師應(yīng)介紹一般的方法.

解：所有排列是

abacbebacacb

教師指出：在問題2中，先畫“圖”，再寫出所有排列的方法一“樹形圖”法，可以保證有條不

紊、不重不漏地寫出一個排列問題中所有的排列.

【演練反饋】

1.下列問題中哪些是排列問題？如果是在題后括號內(nèi)打“，'，否則打“X”.

（1）20位同學(xué)互通一封信，問共通多少封信？（）

（2）20位同學(xué)互通一次電話，問共通多少次？（）

（3）20位同學(xué)互相握一次手，問共握手多少次？（）

（4）從e,n,5,7,10五個數(shù)中任意取出2個數(shù)作為對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，問共有幾種不同的對

數(shù)值？（）

（5）以圓上的10個點(diǎn)為端點(diǎn)，共可作多少條弦？（）

（6）以圓上的10個點(diǎn)為起點(diǎn)，且過其中另一個點(diǎn)的射線共可作多少條？（）

2.在月、B、C、。四位候選人中，選舉正、副班長各一人，共有幾種不同的選法？寫出所有可能的

選舉結(jié)果.

【參考答案】

1.略.

2.解：選舉過程可以分為兩個步驟.第1步選正班長，4人中任何一人可以當(dāng)選，有4種選法：

第2步選副班長，余下的3人中任一人都可以當(dāng)選，有3種選法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的選法有

4X3=12（種）.

其選舉結(jié)果是：

ABACADBCBDCD

BACADACBDBDC

【總結(jié)提煉】

排列問題，是取出個元索后，還要按一定的順序排成一列，取出同樣的0個元素，只要排列順

序不同，就視為完成這件事的兩種不同的方法（兩個不同的排列）.

由排列的定義可知，排列與元素的順序有關(guān)，也就是說與位置有關(guān)的問題才能歸結(jié)為排列問題.當(dāng)

元素較少時，可以根據(jù)排列的意義寫出所有的排列.

布置作業(yè)：

課本P941.

板書設(shè)計(jì)：

10.2排列（一）

（-）設(shè)置情境（三）例題分析（四）練習(xí)

問題1例題（五）小結(jié)

問題2

（二）排列的概念

教學(xué)設(shè)計(jì)方案二

10.2排列第二課時

教學(xué)目標(biāo)：

進(jìn)一步理解排列的意義，掌握排列數(shù)的概念及其計(jì)算公式與推導(dǎo)過程，并能應(yīng)用.

教具準(zhǔn)備：直尺與投影膠片.

教學(xué)過程:

【設(shè)置情境】

上節(jié)課我們做了這樣一道作業(yè)題：寫出從5個元素a,b,c,d,e中任取2個元素的所有排列.

解決辦法是先畫“樹形圖”，再由此寫出所有的排列，共20個.

若把這題改為：寫出從5個元素.a,b,c,d,e中任取4個元素的所有排列，結(jié)果如何呢？

方法同上，共120個，數(shù)字較大，排列寫起來挺“煩”，若再把這題改為：寫出從8個元素a,b,

c,d,e,f,g,力中任取4個元素的所有排列，結(jié)果又如何呢？

方法仍然照用，但數(shù)字將更大，寫起來更“啰嗦”.

師問：研究一個排列問題，往往只需知道所有排列的個數(shù)而無需一一寫出所有的排列，那么能否不

通過-一寫出所有的排列而直接“得”出所有排列的個數(shù)呢？這節(jié)課我們就來共同探討這個問題：排列

數(shù)及其公式.

【探索研究】

1.排列數(shù)的定義

從〃個不同元素中取出m（底n）個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從〃個不同元素中取出0個元素

的排列數(shù)，記作人：.

教師應(yīng)當(dāng)指出，注意區(qū)別“一個排列”與“排列數(shù)”的不同：“一個排列”是指“從。個不同元素

中，任取?個元素按照一定的順序排成一列”，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指“從。個不同元素中取出?個

元素的所有排列的個數(shù)”，是一個數(shù).因此符號分只代表排列數(shù)，而不表示具體的排列.

2.排列數(shù)公式

AaA"

求排列數(shù)?"1?可以這樣來考慮：先求排列數(shù)〃?，閱讀教材第90頁相關(guān)內(nèi)容，再思考解決八?.

假定有排好順序的0個空位，從〃個不同元素“1,*3，…，,中任意取用個去填，一個空位

填一個元素，每一種填法就對應(yīng)著一個排列；反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到.因此,

所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù)八?.

第一代第二位第三位1tBi位

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