概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案-修訂版-復(fù)旦大學(xué)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案

習(xí)題一

1.略.見(jiàn)教材習(xí)題參考答案.

2.設(shè)A,B,C為三個(gè)事件，試用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件：

(1)A發(fā)生，B,C都不發(fā)生；

(2)A與B發(fā)生，C不發(fā)生；

(3)A,B,C都發(fā)生；

(4)A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生；

(5)A,B,C都不發(fā)生；

(6)A,B,C不都發(fā)生；

(7)A,B,C至多有2個(gè)發(fā)生；

(8)A,B,C至少有2個(gè)發(fā)生.

【解】⑴ABC(2)ABC(3)ABC

(4)AUBUC=ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC=ABC(5)ABC=ABC

(6)ABC(7)ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC=ABC=AUBUC

(8)ABUBCUCA=ABCUABCUABCUABC

3.略.見(jiàn)教材習(xí)題參考答案

4.設(shè)A,B為隨機(jī)事件，且P(A)=0.7,P(AB)=0.3,求P(AB).

【解】P(AB)=1P(AB)=1[P(A)P(AB)]

=1[0.70.3]=0.6

5.設(shè)A,B是兩事件，且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求：

(1)在什么條件下P(AB)取到最大值？

(2)在什么條件下P(AB)取到最小值？

【解】(1)當(dāng)AB=A時(shí)，P(AB)取到最大值為0.6.

(2)當(dāng)AUB=C時(shí)，P(AB)取到最小值為0.3.

6.設(shè)A,B,C為三事件，且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,

P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件發(fā)生的概率.

【解】P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)

=11113++=443124

23.設(shè)P()=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5,求P(BIAU)

【解】P(BAB)

P(AB)PA()PAB()P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.70.510.70.60.54

111,,,求將此密碼破譯出53433.三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能破譯的概率分別為

的概率.

【解】設(shè)Ai=｛第i人能破譯｝(i=l,2,3),則

P(Ai)1P(A1A2A3)1P(A1)P(A2)P(A3)i13

14230.6534

34.甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別是040.5,0.7,若只有一

人

擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.6；若三人都

擊中，則飛機(jī)一定被擊落，求：飛機(jī)被擊落的概率.

【解】設(shè)A={飛機(jī)被擊落},Bi={恰有i人擊中飛機(jī)},i=0,l,2,3

由全概率公式，得

P(A)P(A|Bi)P(Bi)

i03

=(0.4x0.5x0.3+0.6x0.5x03+0.6x0.5x0.7)0.2+

(O.4xO.5xO.3+O.4xO.5xO.7+O.6xO.5xO.7)O.6+O.4xO.5xO.7

=0.458

習(xí)題二

1.一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1,2,3,4,5,在其中同時(shí)取3只，以X表示取出的3

只

球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律.

【解】

X3,4,5

P(X3)

P(X4)10.1C3530.3C3

5

C2

4P(X5)30.6C5

2

故所求分布律為

2.設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣,

以X表示取出的次品個(gè)數(shù)，求：(1)X的分布律；

(2)X的分布函數(shù)并作圖；(3)

133

P{XP{1XP{1XP{1X2}.

222

【解】

X0,1,2.

3

C1322

P(X0)3.

C15352C112

2C13

P(X1)3.

C1535

Cll

P(X2)13.3

C1535

(2)當(dāng)x<O時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X<x)=0

當(dāng)0gx&It;l時(shí),F(x)=P(X<x)=P(X=0)=

2235

當(dāng)lgx<2時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X<x)=P(X=0)+P(X=l)=當(dāng)xN2時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X<x)=1故X

的分布函數(shù)

3435

x00,

22

,0x135F(x)

34,1x235l,x2

(3)

3

1122P(X)F(),

2235333434

P(1X)F()F(l)0

223535

3312

P(1X)P(X1)P(1X)

2235

341

P(1X2)F(2)F(l)P(X2)10.

3535

3.射手向目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行了3次射擊，每次擊中率為0.8,求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的

分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.【解】

設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù).則X=0,1,2,3.

P(X0)(0.2)30.008

2

P(X1)C130.8(0.2)0.096

P(X2)C(0.8)0.20.384P(X3)(0.8)30.512

2

3

2

x00,

0.008,0x1

F(x)0.104,1x2

0.488,2x3

x31,P(X2)P(X2)P(X3)0.896

4.(1)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

P{X=k}=a

k

k!

其中k=0,1,2,,,,心＞0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.

(2)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

P{X=k}=a/N,k=l,2,N,

試確定常數(shù)a.【解】(1)由分布律的性質(zhì)知

1P(Xk)a

k0

k0

k

k!

ae

4

故ae

(2)由分布律的性質(zhì)知

NN

1P(Xk)kIklaaN

即a1.

5.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求:

(1)兩人投中次數(shù)相等的概率；

(2)甲比乙投中次數(shù)多的概率.

【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則X?b(3,0.6),Y-b(3,0.7)

(1)P(XY)P(X0,Y0)P(X1,Y1)P(X2,Y2)

P(X3,Y3)

212(0.4)3(03)3Cl

30.6(0.4)C30.7(0.3)+

22C3(0.6)20.4C3(0.7)20.3(0.6)3(0.7)3

0.32076

(2)P(XY)P(X1,Y0)P(X2,Y0)P(X3,Y0)

P(X2,Y1)P(X3,Y1)P(X3,Y2)

23223Cl

30.6(0.4)(03)C3(0.6)0.4(0.3)

22(0.6)3(0.3)3C3(0.6)20.4Cl

30.7(0.3)

2322(0.6)3Cl

30.7(0.3)(0.6)C3(0.7)0.3

=0.243

6.設(shè)某機(jī)場(chǎng)每天有200架飛機(jī)在此降落，任一飛機(jī)在某一時(shí)刻降落的概率設(shè)為0.02,且設(shè)

各飛機(jī)降落是相互獨(dú)立的.試問(wèn)該機(jī)場(chǎng)需配備多少條跑道，才能保證某一時(shí)刻飛機(jī)需立即降

落而沒(méi)有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機(jī)降落)？

【解】設(shè)X為某一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù)，則X?b(200,0.02),設(shè)機(jī)場(chǎng)需配備N條跑道,

則有

P(XN)0.01

即

利用泊松近似kN1C200k200(0.02)k(0.98)200k0.01

np2000.024.

5

e44k

P(XN)0.01k!kN1

查表得NN9.故機(jī)場(chǎng)至少應(yīng)配備9條跑道.

7.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過(guò)，設(shè)每輛車在一天的某時(shí)段出事故的概率為

0.0001,在某天的該時(shí)段p13

4所以P(X4)C5()l

34210.3243

9.設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3,當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào),

(1)進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；

(2)進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.

【解】(1)設(shè)X表示5次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則X?6(5,03)

kP(X3)C5(0.3)k(0.7)5k0.16308

k35

(2)令Y表示7次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則Y?b(7,0.3)

kP(Y3)C7(0.3)k(0.7)7k0.35293

k37

10.某公安局在長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔(2)P(X1)1P(X0)1e,k=0,l,2

5211.設(shè)P{X=k}=C2P(1p)

P{Y=m}=C4p(lp)mm4m2k,m=0,l,2,3,4

分別為隨機(jī)變量X,Y的概率分布，如果已知P{X*}=5,試求P{YN1}.9

6

【解】因?yàn)镻(X1)54,故P(X1).99

而P(X1)P(X0)(1p)2

4,9

1即p.3故得

(1P)2

從而P(Y1)1P(Y0)1(1p)4650.8024781

12.某教科書(shū)出版了2000冊(cè)，因裝訂等原因造成錯(cuò)誤的概率為0.001,試求在這2000冊(cè)書(shū)

中

恰有5冊(cè)錯(cuò)誤的概率.

【解】令X為2000冊(cè)書(shū)中錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù)，則X?b(2000,0.001).利用泊松近似計(jì)算，

np20000.0012

e225

0.0018得P(X5)5!

13.進(jìn)行某種試驗(yàn)，成功的概率為31,失敗的概率為.以X表示試驗(yàn)首次成功所需試驗(yàn)的次

44

數(shù)，試寫出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率.

【解】X1,2,,k,

13P(Xk)()k144

P(X2)P(X4)P(X2k)

131313()3()2k1444444

I

3141(1)25

4

14.有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn).在一年中每個(gè)人死亡

的概率為0.002,每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保

險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：

(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率；

(2)保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.

【解】以“年”為單位來(lái)考慮.

(1)在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為2500x12=30000元.

設(shè)1年中死亡人數(shù)為X,則X?b(2500,0.002),則所求概率為

P(2000X30000)P(X15)1P(X14)

由于n很大，p很小，X=np=5,故用泊松近似，有

7

e55k

P(X15)I0.000069k!14k0

(2)P(保險(xiǎn)公司獲利不少于10000)

P(300002000X10000)P(X10)10

e55k

0.986305

kOk!

即保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率在98%以上

P(保險(xiǎn)公司獲利不少于20000)P(300002000X20000)P(X5)

5

e55k

kOk!0.615961

即保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率約為62%

15.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

f(x)=Ae|x|,co<x<4-oo,

求：⑴A值;(2)P{O<X<l};(3)F(x).

【解】⑴由

fi(x)dx1得

1Ae|x|dx2

OAexdx2A

故A1

2.(2)p(0X1)1

21

Oexdx112(1e)

(3)當(dāng)x<O時(shí)，F(xiàn)(x)xl

2exdx1

2ex

當(dāng)xK)時(shí)，F(xiàn)(x)xl

2e|x|dx01

2xdxxl

02exdx

11x

2e

Ixx0

故F(x)2e,

11

2ex

x0

16.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為

100

f(x)=x2,x100,

0,x100.

求：(1)在開(kāi)始150小時(shí)內(nèi)沒(méi)有電子管損壞的概率；

(2)在這段時(shí)間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；

8

(3)F(x).

【解】

lOOldx.100x23

28pl[P(X150)]3()3327

41122(2)p2C3()339(1)P(X150)150

(3)當(dāng)x<100時(shí)F(x)=0

當(dāng)xNlOO時(shí)F(x)

x100f(t)dtf(t)dtxlOOxf(t)dtlOOlOOt1100t2x

100,x1001故F(x)xx00,

17.在區(qū)間[0,a]上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)這質(zhì)點(diǎn)落在[0,中

任意小區(qū)間由題意知X~U[0,a],密度函數(shù)為

1,0xaf(x)a其他0,

故當(dāng)x<O時(shí)F(x)=0

當(dāng)OMx%時(shí)F(x)

當(dāng)x>a時(shí)，F(xiàn)(x)=1

即分布函數(shù)xf(t)dtf(t)dtOxxOlxtaa

0,xF(x),

a

l,x00xaxa

18.設(shè)隨機(jī)變量X在[2,5]上服從均勻分布.現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次的觀

測(cè)

值大于3的概率.

【解】X~U[2,5],即

1,2x5f(x)3其他0,

9

P(X3)

故所求概率為5312dx33

2320222IpC3()C3()333327

19.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(以分鐘計(jì))服從指數(shù)分布E().某顧客在窗口

等待服務(wù)，若超過(guò)10分鐘他就離開(kāi).他一個(gè)月要到銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到

服務(wù)而離開(kāi)窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布律，并求P{YN1}.

【解】依題意知X?E(),即其密度函數(shù)為

x15e,x0f(x)50,x01515

該顧客未等到服務(wù)而離開(kāi)的概率為

xl5P(X10)edxe2105

Y~b(5,e2),即其分布律為

kP(Yk)C5(e2)k(le2)5k,k0,1,2,3,4,5

P(Y1)1P(Y0)1(1e)0.516725

20.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間X

服

從N(40,102)；第二條路程較長(zhǎng)，但阻塞少，所需時(shí)間X服從N(50,42).

(1)若動(dòng)身時(shí)離火車開(kāi)車只有1小時(shí)，問(wèn)應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？

(2)又若離火車開(kāi)車時(shí)間只有45分鐘，問(wèn)應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些?

【解】(1)若走第一條路，X?N(40,102),則

x406040P(X60)P(2)0.977271010

若走第二條路，X?N(50,42),則

X506050P(X60)P(2.5)0.9938-H-44

故走第二條路乘上火車的把握大些.

(2)若X?N(40,102),則

X404540P(X45)P(0.5)0.69151010

若X?N(50,42),則

X504550P(X45)P(1.25)44

10

1(1.25)0.1056

故走第一條路乘上火車的把握大些.

21.設(shè)X?N(3,22),

(1)求P{2<XW5},P{4<X<10},P{IXI>2},P{X>3};

(2)確定c使P{X>c}=P{X<c}.

【解】(1)P(2X5)P23X353222

11(1)(1)122

0.841310.69150.5328

43X3103P(4X10)P222

770.999622

P(|X|2)P(X2)P(X2)

X323X323PP2222

1515

12222

0.691510.99380.6977

P(X3)P(X33-3)1(0)0.522

(2)c=3

22.由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度(cm)X?N(10.05,0.062)，規(guī)定長(zhǎng)度在10.05±0.12內(nèi)為合格

品，求一螺栓為不合格品的概率.【解】P(|X10.05|0.12)PX10.050.12

0.060.06

1(2)(2)2[1(2)]

0.0456

23.一工廠生產(chǎn)的電子管壽命X(小時(shí))服從正態(tài)分布N(160,a2),若要求P{120<X<200}

>0.8,允許。最大不超過(guò)多少？【解】

P(120X200)P120160X160200160

11

404040

210.8

故40

1.2931.25

24.設(shè)隨機(jī)變量X分布函數(shù)為

F(x)=ABext,x0,

0,x0.(0),

(1)求常數(shù)A,B；

(2)求P{XW2},P{X>3}；

(3)求分布密度f(wàn)(x).

limF(x)1

【解】(1)由x得

xlim0F(x)AIxlim0F(x)B1

(2)P(X2)F(2)1e2

P(X3)1F(3)1(1e3)e3

(3)f(x)F(x)ex,x0

0,x0

25.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

0x1,

f(x)=x,

2x,lx2,

0淇他

求X的分布函數(shù)F(x),并畫(huà)出f(x)及F(x).

【解】當(dāng)x<0時(shí)F(x)=0

0<x<l時(shí)F(x)xx

f(t)dt0f(t)dt0f(t)dt

xx2

Otdt2

當(dāng)lgx<2時(shí)F(x)x

f(t)dt

Of(t)dt1x

Of(t)dtlf(t)dt

1

Otdtxl(2t)dt

12xx23

222

x2

22x1

當(dāng)x>2時(shí)F(x)

f(t)dt1

x00x1

0,2x,2

故F(x)2

x2x1,21,

1x2x2

26.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

(1)f(x)=ae|x|,X>O;

bxOx1,(2)f(x)=,1

1x2,x2,

0,

其他.

試確定常數(shù)a,b,并求其分布函數(shù)F(x).

【解】⑴由

f(x)dx1知1ae|x|dx2aexd2a

故a

2

即密度函數(shù)為f(x)2

ex

,x02

exx0當(dāng)xgO時(shí)F(x)

fi(x)dx

2xdx12

ex當(dāng)x>O時(shí)F(x)

f(x)dx0

2

x

dx

x

2

dx

1

1x

2

e故其分布函數(shù)

11x

F(x)2

e,x01

2

ex,x0(2)由1

f(x)dx1bxdx2

IbO

1

x2dx21

2

得b=l

即X的密度函數(shù)為

13

0x1x,1f(x)2,1x2

x

其他0,

當(dāng)x<0時(shí)F(x)=0

xOx當(dāng)0<x<1時(shí)F(x)f(x)dxf(x)dxOf{x}dx

x

Odxx2x2

當(dāng)lgx<2時(shí)F(x)x

f(x)dxOOdxIxdxxl0lx2dx

3

21

x

當(dāng)x>2時(shí)F(x)=1

故其分布函數(shù)為

0,x0

x2

,0x1

F(x)2

31

,1x2

2x

l,x2

27.求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)，

(1)=0.01,求z;

(2)=0.003,求z,z12.

【解】⑴P(Xz)0.01

即1(z)0.01即(z)0.09故

z2.33

(2)由P(Xz)0.003得

1(z)0.003

即(z)0.997查表得z2.7514

由P(Xz/2)0.0015得

1(z/2)0.0015

即(z/2)0.9985

查表得z/22.96

求Y=X的分布律.

【解】Y可取的值為0,1,4,9

P(Y0)P(X0)

1

5

11761530P(Y1)P(X1)P(X1)1P(Y4)P(X2)5

I1P(Y9)P(X3)30

故Y的分布律為

29.設(shè)P{X=k}=(k),k=l,2,,,,令2

1,當(dāng)X取偶數(shù)時(shí)Y1,當(dāng)X取奇數(shù)時(shí).

求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y的分布律.

【解】P(Y1)P(X2)P(X4)P(X2k)

111()2()4()2k222111()/(1)443

P(Y1)1P(Y1)

30.設(shè)X?N(0,1).

(1)求丫=?*的概率密度；

(2)求Y=2X2+1的概率密度；

(3)求Y=IXI的概率密度.

1523

【解】(1)當(dāng)yWO時(shí)，F(xiàn)Y(y)P(Yy)0

當(dāng)y>O時(shí)，F(xiàn)Y(y)P(Yy)P(exy)P(XIny)

Iny

fX(x)dx

故

ftiFY(y)lln2y/

Y(y)dyyf(lny)2

x,y0

(2)P(Y2X2I1)1

當(dāng)ySl時(shí)FY(y)P(Yy)0當(dāng)y>1時(shí)FY(y)P(Yy)P(2X21y)

PX2y1P2X

fX(x)dx

故

fHY(y)fdyFY(y)Xf

X

(yD/4,y1

⑶P(Y0)1

當(dāng)y<0時(shí)FY(y)P(Yy)0當(dāng)y>0時(shí)FY(y)P(|X|y)P(yXy)

y

yfX(x)dx故fd

Y(y)dyFY(y)fX(y)fX(

y)

y2

/2,y0

31.設(shè)隨機(jī)變量X~U(0,1),試求：

(1)Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù);

(2)Z=21nx的分布函數(shù)及密度函數(shù).

【解】(1)P(0X1)116

故P(1YeXe)1當(dāng)y1時(shí)FY(y)P(Yy)0當(dāng)l<y<e時(shí)

FY(y)P(eXy)P(XIny)

Iny

OdxIny

當(dāng)yNe時(shí)FY(y)P(eXy)1即分布函數(shù)

0,y1

F

Y(y)lny,lye

l,ye

故Y的密度函數(shù)為

1

Ry)y,iyeY

o淇他

(2)由P(0<X<l)=1知

P(Z0)1

當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)Z⑵P(Zz)0當(dāng)z>O時(shí)，F(xiàn)Z⑵P(Zz)P(21nXz)

P(lnXz)P(Xez/2

2)

1

ez/2dx1ez/2

即分布函數(shù)

F)0,z0Z(zl-e-z/2,z0

故Z的密度函數(shù)為

f(z)1

2ez/2,z0

Z

0,z0

32.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

fi[x)=2x

兀2,0xn,

0淇他.

17

試求Y=sinX的密度函數(shù).

【解】P(0Y1)1

當(dāng)ySO時(shí)，F(xiàn)Y(y)P(Yy)0

當(dāng)0<y<l時(shí)，F(xiàn)Y(y)P(Yy)P(sinXy)

P(0Xarcsiny)P(兀arcsinyX兀)

兀2x2xdx0兀27tarcsiny兀2dx

11222arcsiny)1-2兀-arcsiny)im

2arcsinynarcsiny

當(dāng)心1時(shí),FY(y)1

故Y的密度函數(shù)為

20y17tfY(y)0,其他

33.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)如下：

1,F(x)1x2

(2),

試填上⑴，⑵,⑶項(xiàng).

【解】由limF(x)1知②填1。xx(l)x,(3).

F(x)F(x0)1知x00,故①為0。由右連續(xù)性lim+xxO

從而③亦為0。即

l,x0F(x)1x2

x01,

34.同時(shí)擲兩枚骰子，直到一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止，求拋擲次數(shù)X的分布律.

【解】設(shè)Ai=｛第i枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)｝。(i=l,2),P(Ai)=

拋擲出現(xiàn)6點(diǎn)｝。則1.且A1與A2相互獨(dú)立。再設(shè)C=｛每次6

P(C)P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)

18

111111666636

11故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布。36

35.隨機(jī)數(shù)字序列要多長(zhǎng)才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9?

【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包含n個(gè)數(shù)字，則

X-b(n,0.1)

OnP(X1)1P(X0)ICO

n(0.1)(0.9)0.9

即(0.9)n0.1

得n>22

即隨機(jī)數(shù)字序列至少要有22個(gè)數(shù)字。

36.已知

0,IF(x)=x,21,x0,10x,21x.2

則F(x)是()隨機(jī)變量的分布函數(shù).

(A)連續(xù)型；(B)離散型；

(C)非連續(xù)亦非離散型.

【解】因?yàn)镕(x)在(oo,+oo)上單調(diào)不減右連續(xù)，且limF(x)Ox

xlimF(x)1,所以F(x)是一個(gè)分布函數(shù)。

但是F(x)在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F(x)是非連續(xù)亦非離散型隨機(jī)變

量的分布函數(shù)。選(C)

37.設(shè)在區(qū)間［a,b］上，隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=sinx,而在［a,b］外，f(x)=O,則區(qū)間［a,b］

等于()

(A)［0,7t/2］;(B)［0,7t］;

(C)［7t/2,0］;(D)［0,

【解】在［0,］上sinxNO,且

在［0㈤上

在［3兀］.2兀2n/20sinxdx1.故f(x)是密度函數(shù)。nOsinxdx21.故f(x)不是密度函數(shù)。

TT,O］±sinx0,故f(x)不是密度函數(shù)。2

33在［0,兀］上，當(dāng)兀x兀時(shí)，sinx<O,f(x)也不是密度函數(shù)。22

故選(A)。

19

38.設(shè)隨機(jī)變量X?N(0,c2),問(wèn)：當(dāng)。取何值時(shí)，X落入?yún)^(qū)間(1,3)的概率最大？

【解】因?yàn)閄~N(0,),P(1X3)P(21

3X3)()()令g()1

利用微積分中求極值的方法，有

g()(3

311)()022

9/2221/2221/28/2[13e]0令得024,則

0ln3又g(0)0

故0

X落入?yún)^(qū)間(1,3)的概率最大。故當(dāng)

39.設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)X服從泊松分布P(X),每個(gè)顧客購(gòu)買某種物

品的概率為P，并且各個(gè)顧客是否購(gòu)買該種物品相互獨(dú)立，求進(jìn)入商店的顧客購(gòu)買這種物

品的人數(shù)Y的分布律.em

,m0,1,2,【解】P(Xm)m!

設(shè)購(gòu)買某種物品的人數(shù)為Y,在進(jìn)入商店的人數(shù)X=m的條件下，Y?b(m,p),即

kmkP(Yk|Xm)Ck,k0,1,,mmp(1p)

由全概率公式有

P(Yk)P(Xm)P(Yk|Xm)

mk

20

em

kkCmp(lp)mk

m!mk

e

emkk!(mk)!p(p)k

k!mk(lp)mk[(1p)]mk(mk)!mk

(P)k

(1p)eek!

(P)k

pe,k0,1,2,k!

此題說(shuō)明：進(jìn)入商店的人數(shù)服從參數(shù)為入的泊松分布，購(gòu)買這種物品的人數(shù)仍服從泊松分

布，但參數(shù)改變?yōu)榧?

40.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.證明：Y=1e2X在區(qū)間(0,1)上服從均

勻分布.

【證】X的密度函數(shù)為

2e2x,x0fX(x)x00,

由于P(X>0)=1,故0<le2X<l,即P(0<Y<l)=1

當(dāng)yWO時(shí)，F(xiàn)Y(y)=0

當(dāng)yNl時(shí),FY(y)=1

當(dāng)0<y<l時(shí)，F(xiàn)Y(y)P(Yy)P(e2x1y)

1P(Xln(ly))2

即Y的密度函數(shù)為1ln(ly)202e2xdxy

1,0y1fY(y)0淇他

即Y~U(0,1)

41.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

13,0x1,

2f(x尸,3x6,

9其他.0,

若k使得P{XNk}=2/3,求k的取值范圍.(2000研考)

【解】由P(X>k)=21知P(X<k)=33

若k<0,P(X<k)=0

21

Ikldx0333

1當(dāng)k=l時(shí)P(X<k)=3

Uki若lWkW3時(shí)P(X<k)=dxOdx0313

Uk2211若3<k06,則P(X<k)=dxdxk0339933若0<k<l,P(X<k)=k

若k>6,則P(X<k)=1

故只有當(dāng)l<k<3時(shí)滿足P(X>k)=

42.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為2.3

x1,0,0.4,1x1,F(x)=

0.8,1x3,

x3.1,

求X的概率分布.(1991研考)

【解】由離散型隨機(jī)變量X分布律與分布函數(shù)之間的關(guān)系，可知X的概率分布為

43.設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相等.若已知A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27,

求A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.

【解】令X為三次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，若設(shè)P(A)=p，則X?b(3,p)

由P(X>1)=

故p=198知P(X=0)=(1p)3=272713

44.若隨機(jī)變量X在(1,6)上服從均勻分布，則方程y2+Xy+l=0有實(shí)根的概率是多少？

【解】

1,1x6f(x)50,其他

P(X240)P(X2)P(X2)P(X2)

45.若隨機(jī)變量X~N(2,G2),且P{2<X<4}=0.3,則

P{X.【解】0.3P(2X4)P(4522

X2

42

)

22()(0)()0.5

22

故(2

)0.8

X2因此P(X0)P(

202)(2)1()0.2

46.假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率0.7可以直接出廠；以概率0.3需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)

調(diào)

試后以概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n(nN2)臺(tái)儀

器(假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立).求

(1)全部能出廠的概率a；

(2)其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率供

(3)其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率0.

【解】設(shè)人=｛需進(jìn)一步調(diào)試｝,B=｛儀器能出廠｝,則

A=｛能直接出廠｝,AB=｛經(jīng)調(diào)試后能出廠｝

由題意知B=AUAB,且

P(A)0.3,P(B|A)0.8

P(AB)P(A)P(B|A)0.30.80.24

P(B)P(A)P(AB)0.70.240.94

令X為新生產(chǎn)的n臺(tái)儀器中能出廠的臺(tái)數(shù)，則X?6(n,0.94),

故

P(Xn)(0.94)n

n2P(Xn2)C2(0.06)2n(0.94)

P(Xn2)1P(Xn1)P(Xn)

1n(0.94)n10.06(0.94)n

47.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語(yǔ)成績(jī)(百分制)近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)?/p>

72

分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率.

【解】設(shè)X為考生的外語(yǔ)成績(jī)，則X~N(72,c2)

24X7296720.023P(X96)P1()

故(

查表知

從而X-N(72,12)

故P(60X84)P224)0.977242,即o=126072X728472

121212

23

(1)(1)2(1)1

0.682

48.在電源電壓不超過(guò)200V、200V?240V和超過(guò)240V三種情形下，某種電子元件損壞的

概

率分別為0.1,0.001和0.2(假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N(220,252)).試求：

(1)該電子元件損壞的概率a;

(2)該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200?240V的概率。

【解】設(shè)Al=｛電壓不超過(guò)200V｝,A2=｛電壓在200?240V｝,

A3=｛電壓超過(guò)240V｝,B=｛元件損壞｝。

由X?N(220,252)知

P(A1)P(X200)

X220200220P2525

(0.8)1(0.8)0.212

P(A2)P(200X240)

200220X220240220P

252525

(0.8)(0.8)0.576

P(A3)P(X240)10.2120.5760.212

由全概率公式有

P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.0642

i13

由貝葉斯公式有

P(A2|B)P(A2)P(B|A2)0.009P(B)

49.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(1,2)上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量Y=e2X的概率密度f(wàn)Y(y).

【解】fX(x)1,1x20淇他

因?yàn)镻(l<X⁢2)=1,故P(e2<Y<e4)=1

當(dāng)y<e2時(shí)FY(y)=P(Y<y)=0.

當(dāng)e2<y<e4時(shí)，F(xiàn)Y(y)P(Yy)P(e

P(1X

1lny2

12Xy)liny)2

dxliny1224

當(dāng)yNe4時(shí)，F(xiàn)Y(y)P(Yy)1

0,ye2

1即F24Y(y)21nyl,eye

l,ye4

故f1,e2ye4

Y(y)2y

0,其他

50.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

f(x)=ex,x0,

X0,x0.

求隨機(jī)變量Y=eX的密度函數(shù)fY(y).

【解】P(Y>1)=1

當(dāng)y<l時(shí)，F(xiàn)Y(y)P(Yy)0當(dāng)y>l時(shí)，F(xiàn)Y(y)P(Yy)P(eXy)P(XIny)

Inyx

Oedx1ly

即F11

y,y>i

Y(y)

O,y1

1

故f)y2,y>l

Y(y

O,y1

51.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

fl

X(x)=7t(1x2),

求Y=1x的密度函數(shù)fY(y).

【解】FY(y)P(Yy)P(ly)P(X(1y)3)(1995研考)

25

1Idxx(ly)37t(1X2)TI

(1y)3

1兀3arctg(1y)n2

3(1y)2

故fY(y)Til(1y)6

52.假設(shè)一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為t的時(shí)間FT(t)t00,

即間隔時(shí)間T服從參數(shù)為X的指數(shù)分布。

e16

8(2)QP(T16|T8)P(T16)/P(T8)8ee

53.設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于1,P{X=1}=1/8,P{X=l}=l/4.在事件{l<X<l}

出現(xiàn)的條

件下，*在{1,1}(1997研考)

【解】顯然當(dāng)x<1時(shí)F(x)=0；而近1時(shí)F(x)=l由題知P(1X1)1115

848

x12當(dāng)l&[t;x<l時(shí)，P(Xx|1X1)

此時(shí)F(x)P(Xx)

P(X,1XI)P(Xx,X1)P(Xx,X1)

P(Xx,1X1)P(Xx,x1)

P(Xx|1X1)P(1X1)P(X1)

X15151(x1)288168

18當(dāng)乂=1時(shí)，F(xiàn)(x)P(Xx)P(X1)

故X的分布函數(shù)

26

x10,

51

F(x)(x1),-1x<l

816

x11,

54.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分N(gl,ol2),Y服從正態(tài)分布N(p2,o22),且

P||X-nl|<l}>P{|Y-g2|<l}，試比較Q1與。2的大小.

(2006研考)解：依題意

X1

1

N(0,l),

Y2

2

N(0,l),貝lj

P{X11}P{

X1

1

Y2

1

P{Y21}P{

因?yàn)镻X11}PY21},即

2

2

P{

X1

1

1

}P{

Y1

2

1

2

｝，

所以有

1

1

2

，即12.

習(xí)題三

1.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)

出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律.

2.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的

只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律.27

3.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為

TUTsinxsiny,0x,0yF(x，y)=22

其他.0,

求二維隨機(jī)變量(X,Y)在長(zhǎng)方形域0x

【解】如圖P{0Xm,y467r內(nèi)的概率.37nnt,Y}公式(3.2)463

兀兀皿蟲(chóng),)F(,)F(0,)F(0,)434636

TtmtrnmsinsinsinsinsinOsinsinOsin4346361).

題3圖

說(shuō)明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。

4.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布密度

Ae(3x4y),x0,y0,f(x,y)=其他.0,

求：(1)常數(shù)A；

(2)隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)；

(3)P{O<X<l,0<Y<2}.

28

【解】(1)由

f(x,y)dxdy00Ae-(3x4y)dxdyA12l得A=12

(2)由定義，有

F(x,y)yx

f(u,v)dudv

yy(3u4v)dudv(1e3x

0012e)(1e4y)y0,x0,

0,0淇他

⑶P{0X1,0Y2}

P)0X1,0Y2}1)

02(3x4y012edxdy(1e3)(1e8)0.9499.

5.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

f(x,y)=k(6xy),0x2,2y4,

0,其他.

(1)確定常數(shù)k；

(2)求P{X<1,Y<3}；

(3)求P{X<1.5}；

(4)求P(X+Y<4}.

【解】(1)由性質(zhì)有

4f(x,y)dxdy202k(6xy)dydx8k1,故R

(2)P{X1,Y3}13

f(x,y)dydx

131

028k(6xy)dydx3

8(3)P(X1.5}f(x,y)dxdy如圖a

x1.5f(x,y)dxdyDI

1.541

Odx28(6xy)dy27

32.(4)P{XY4}f(x,y)dxdy如圖b

XY4f(x,y)dxdyD2

24xl

Odx28(6xy)dy2

3.

29

題5圖

6.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在