2020-2021學(xué)年上海中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年上海中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對前6題得4分、后6題得5分，否則一律得零分.1．（4分）角度大小為7弧度的角是第象限角．2．（4分）用弧度制表示所有終邊位于第四象限角平分線的角構(gòu)成的集合．3．（4分）函數(shù)y＝的定義域為．4．（4分）若角α的始邊落在x軸正半軸，終邊落在直線y＝2x上，則sinα＝．5．（4分）已知角x∈[0，π），且滿足，則角x為．6．（4分）已知圓的一段弧長等于其內(nèi)接正三角形的周長，則這段弧所對圓心角的弧度數(shù)是．7．（5分）在△ABC中，∠A＝30°，，BC＝8，則△ABC的面積為．8．（5分）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．9．（5分）已知正六邊形ABCDEF，若，，則用，表示為．10．（5分）已知，則sin2θ＝．11．（5分）已知函數(shù)y＝f（x），x∈R滿足，且時，，則當(dāng)x∈[﹣3π，﹣2π]時，f（x）的最小值為．12．（5分）在銳角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，則tanA+2tanBtanC+tanAtanBtanC的最小值是．二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案．考生必須在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.13．（5分）命題p：“角A小于”是命題q：“角A是第一象限角”的（）條件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要14．（5分）若，的化簡結(jié)果是（）A． B． C． D．15．（5分）現(xiàn)給出以下4個命題：（1）對于任意的向量，都有；（2）已知向量，，，若且，則；（3）已知三個非零向量，，，則與不垂直；（4）已知向量，，則是“，中至少有一個是”的充要條件．其中正確的個數(shù)是（）A．3 B．2 C．1 D．016．（5分）2021年第十屆中國花卉博覽會興辦在即，其中，以“蝶戀花”為造型的世紀(jì)館引人注目（如圖①），而美妙的蝴蝶輪變不僅帶來生活中的賞心悅目，也展示了極致的數(shù)學(xué)美學(xué)世界．?dāng)?shù)學(xué)家曾借助三角函數(shù)得到了蝴蝶曲線的圖像，探究如下：如圖②，平面上有兩定點O，A，兩動點B，Q，且，繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到所形成的角記為θ．設(shè)函數(shù)f（θ）＝4?sign（θ）﹣sin5θ，（﹣π≤θ≤π），其中，，隨著θ的變化，就得到了Q的軌跡，其形似“蝴蝶”．則以下4幅圖中，點Q的軌跡（考慮蝴蝶的朝向）最有可能為（）A． B． C． D．三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17．（14分）已知，兩個向量，，，，求在方向上的投影與數(shù)量投影．18．（14分）已知函數(shù)f（x）＝cos2x﹣sinx+a．（1）f（x）＝0有解時，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)x∈R時，總有，求實數(shù)a的取值范圍．19．（14分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且2cos2A+4cos（B+C）+3＝0．（1）求A；（2）若a＝1，求△ABC的周長l的取值范圍．20．（16分）數(shù)學(xué)建模搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，也是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的基本手段．某中學(xué)程老師根據(jù)實際情境提出如下問題：有一家具，其水平截面如圖①所示（各鄰邊垂直）．一房間的門框?qū)挘捶块T兩邊墻之間距離）為0.9米，門框厚為0.28米，思考能否將家具水平移入房內(nèi)．（注：門框高度及房內(nèi)外空間不受限制，且移動時均不發(fā)生形變）（1）如圖②，MN＝0.28（米），在移動家具時，為順利過門，家具的兩個邊CD，DE緊貼M，N，設(shè)直線AB和直線MN的夾角為θ，家具的初始位置對應(yīng)，N與D重合時可視為移動成功，延長NM交MN于點K，設(shè)AK＝S（米），請寫出S關(guān)于θ的函數(shù)．（2）基于（1），請問家具能否移動成功？并說明理由．21．（18分）對于函數(shù)y＝f（x），x∈R，如果存在一組正常數(shù)t1，t2，…，tk，（其中k為正整數(shù)），滿足）0＜t1＜t2＜?＜tk使得當(dāng)x取任意實數(shù)時，有f（x）+f（x+t1）+f（x+t2）+?+f（x+tk）＝0，則稱函數(shù)y＝f（x）具有“性質(zhì)Pk”．（1）判斷以下函數(shù)是否具有“性質(zhì)P1”，并說明理由：①函數(shù)h（x）＝cosx；②函數(shù)u（x）＝1﹣|x|（﹣2＜x≤2），u（x+4）＝u（x）對任意實數(shù)均成立；（2）證明：h（x）＝cosx具有性質(zhì)P2；（3）設(shè)函數(shù)g（x）＝a+bcos2x+ccos5x+dcos8x，其中b，c，d是不全為0的實數(shù)且存在m∈R，使得g（m）＝4a，證明：存在n∈R，使得g（n）＜0．

2020-2021學(xué)年上海中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對前6題得4分、后6題得5分，否則一律得零分.1．（4分）角度大小為7弧度的角是第一象限角．【分析】直接由實數(shù)的大小比較判斷角的終邊所在的象限．【解答】解：因為2π＜7＜2π+，所以角度大小為7弧度的角是第一象限角．故答案為：一．【點評】本題考查了象限角、軸線角的概念，是基礎(chǔ)題．2．（4分）用弧度制表示所有終邊位于第四象限角平分線的角構(gòu)成的集合．【分析】直接利用弧度制表示角的集合即可．【解答】解：由已知得，第四象限角平分線的角構(gòu)成的集合為．故答案為：．【點評】本題考查角的表示方法，是基礎(chǔ)題．3．（4分）函數(shù)y＝的定義域為[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．【分析】根據(jù)函數(shù)y＝，可得cosx≥0，再結(jié)合余弦函數(shù)的圖象，求得x的范圍．【解答】解：根據(jù)函數(shù)y＝，可得cosx≥0，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+（k∈Z），故函數(shù)的定義域為[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故答案為：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．【點評】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的特征，解三角不等式，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）若角α的始邊落在x軸正半軸，終邊落在直線y＝2x上，則sinα＝．【分析】由已知利用任意角的三角函數(shù)的定義可求cosα＝sinα，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求值得解．【解答】解：由已知得，終邊落在直線y＝2x上，所以tanα＝＝2，即cosα＝sinα，再由sin2α+cos2α＝1可得．故答案為：．【點評】本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）已知角x∈[0，π），且滿足，則角x為，．【分析】由題意可求，可得，解得，k∈Z，結(jié)合范圍x∈[0，π），即可得解．【解答】解：由已知得，，可得，可得，解得，k∈Z，又因為x∈[0，π），所以，．故答案為：，．【點評】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題．6．（4分）已知圓的一段弧長等于其內(nèi)接正三角形的周長，則這段弧所對圓心角的弧度數(shù)是．【分析】設(shè)正三角形邊長為a，外接圓的半徑為R，由題意利用弧長公式可得α＝，又由題意得R＝a，進(jìn)而即可求解這段弧所對圓心角α的值．【解答】解：設(shè)正三角形邊長為a，外接圓的半徑為R，則l＝3a＝αR，可得α＝，又由題意得＝a，所以這段弧所對圓心角α＝＝3．故答案為：．【點評】本題考查了圓的內(nèi)接正三角形的邊長與半徑的關(guān)系及弧長公式，理解以上知識和計算方法是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．7．（5分）在△ABC中，∠A＝30°，，BC＝8，則△ABC的面積為或．【分析】先利用余弦定理求出AC的長，再由S＝AB?AC?sinA，得解．【解答】解：由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA，∴64＝192+AC2﹣2?8?AC?cos30°，即AC2﹣24AC+128＝0，解得AC＝8或16，∴當(dāng)AC＝8時，△ABC的面積S＝AB?AC?sinA＝×8×8×＝16，當(dāng)AC＝16時，△ABC的面積S＝AB?AC?sinA＝×8×16×＝32，綜上，△ABC的面積為或．故答案為：或．【點評】本題考查解三角形，熟練掌握三角形的面積公式，余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為{x|＜x≤，k∈Z}．【分析】由對數(shù)式的真數(shù)大于0求出函數(shù)的定義域，再求出函數(shù)y＝cosx﹣sinx的增區(qū)間，與函數(shù)定義域取交集得答案．【解答】解：由cosx﹣sinx＞0，得cosx＞sinx，∴，k∈Z；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，即為y＝cosx﹣sinx＝在定義域內(nèi)的增區(qū)間，由，得，k∈Z．取交集可得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為{x|＜x≤，k∈Z}．故答案為：{x|＜x≤，k∈Z}．【點評】本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法，考查運算求解能力，注意函數(shù)定義域是關(guān)鍵，是中檔題．9．（5分）已知正六邊形ABCDEF，若，，則用，表示為．【分析】利用平面向量幾何意義的加減運算運算即可．【解答】解：如圖所示：．故答案為：．【點評】本題考查平面向量基本定理，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．（5分）已知，則sin2θ＝1．【分析】由題意將已知等式切化弦后，進(jìn)而積化和差即可求解．【解答】解：由，切化弦得，，∴，再由積化和差可得，∴sin2θ＝1．故答案為：1．【點評】本題考查三角函數(shù)恒等變換在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練記憶有關(guān)公式，是中檔題．11．（5分）已知函數(shù)y＝f（x），x∈R滿足，且時，，則當(dāng)x∈[﹣3π，﹣2π]時，f（x）的最小值為．【分析】利用迭代遞推可得，從而得到f（x）的表達(dá)式，然后分，兩種情況，分別求解f（x）的最小值，即可得到答案．【解答】解：由，由迭代遞推可得，所以f（x）＝πk?f（x+kπ），①當(dāng)時，則，所以，故f（x）的最小值；②當(dāng)時，則，所以，，故f（x）的最小值為．綜上所述，當(dāng)x∈[﹣3π，2π]時，f（x）的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查了三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，三角函數(shù)最值的求解，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的運用，考查了分類討論思想的運用，邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．12．（5分）在銳角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，則tanA+2tanBtanC+tanAtanBtanC的最小值是16．【分析】結(jié)合兩角和的正弦公式、同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，推出tanB+tanC＝2tanBtanC，再由誘導(dǎo)公式與兩角和的正切公式，得tanA＝﹣，采用換元法，令m＝tanBtanC，將所求問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的函數(shù)的最小值，然后結(jié)合分離常數(shù)法與基本不等式，得解．【解答】解：由已知得，sinA＝sin（B+C）＝2sinBsinC，∴sinBcosC+sinCcosB＝2sinBsinC，兩邊同除cosBcosC，得tanB+tanC＝2tanBtanC，∴tanA＝﹣tan（B+C）＝﹣＝﹣，設(shè)m＝tanBtanC，則tanA＝，∵△ABC為銳角三角形，∴m＞0，∴tanA+2tanBtanC+tanAtanBtanC＝+2m+?m＝＝＝4（m﹣1）+8+≥8+2＝16，當(dāng)且僅當(dāng)4（m﹣1）＝，即m＝2時，等號成立，此時tanA＝4，∴tanA+2tanBtanC+tanAtanBtanC的最小值為16．故答案為：16．【點評】本題考查三角恒等變換與基本不等式的綜合，熟練掌握兩角和差的正弦、正切公式，分離常數(shù)法，以及基本不等式是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案．考生必須在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.13．（5分）命題p：“角A小于”是命題q：“角A是第一象限角”的（）條件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要【分析】利用舉反例，再結(jié)合充要條件的定義判斷即可．【解答】解：取屬于第四象限角，則滿足命題p，不滿足命題q，取屬于第一象限角，則滿足命題q，不滿足命題p，∴命題p是命題q的既不充分也不必要條件，故選：D．【點評】本題考查了充要條件的判定，利用舉反例是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）若，的化簡結(jié)果是（）A． B． C． D．【分析】由已知可求范圍，可得，進(jìn)而利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡所求即可得解．【解答】解：由，可得，可得，可得．故選：C．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）現(xiàn)給出以下4個命題：（1）對于任意的向量，都有；（2）已知向量，，，若且，則；（3）已知三個非零向量，，，則與不垂直；（4）已知向量，，則是“，中至少有一個是”的充要條件．其中正確的個數(shù)是（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】由零向量的性質(zhì)可判斷（1）；由向量不滿足消去率可判斷（2）；由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，可判斷（3）；由向量的模的性質(zhì)可判斷（4）．【解答】解：對于（1），對于任意的向量，都有?＝0，所以（1）錯誤；對于（2），已知向量，，，若?＝?且，即有?（﹣）＝0，不一定有，故（2）錯誤；對于（3），[（?）﹣（?）]?＝（?）（?）﹣（?）（?）＝0，則與垂直，故（3）錯誤；對于（4），||+||＝|||﹣|||?，中至少有一個是，故（4）正確．故選：C．【點評】本題考查向量數(shù)量積的運算和性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．16．（5分）2021年第十屆中國花卉博覽會興辦在即，其中，以“蝶戀花”為造型的世紀(jì)館引人注目（如圖①），而美妙的蝴蝶輪變不僅帶來生活中的賞心悅目，也展示了極致的數(shù)學(xué)美學(xué)世界．?dāng)?shù)學(xué)家曾借助三角函數(shù)得到了蝴蝶曲線的圖像，探究如下：如圖②，平面上有兩定點O，A，兩動點B，Q，且，繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到所形成的角記為θ．設(shè)函數(shù)f（θ）＝4?sign（θ）﹣sin5θ，（﹣π≤θ≤π），其中，，隨著θ的變化，就得到了Q的軌跡，其形似“蝴蝶”．則以下4幅圖中，點Q的軌跡（考慮蝴蝶的朝向）最有可能為（）A． B． C． D．【分析】直接利用信息題中實際問題的處理和賦值法的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：本題比較抽象，考慮特殊情況．先考慮與共線的蝴蝶身方向，令θ＝0，±π，要滿足，故排除A，C；再考慮與垂直的方向，令，要滿足，故排除D，故選：B．【點評】本題考查的知識要點：信息題，實際問題的處理，賦值法，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17．（14分）已知，兩個向量，，，，求在方向上的投影與數(shù)量投影．【分析】直接利用向量的數(shù)量積，向量的夾角，向量的投影的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：由題意得，所以；則在方向上的投影：，在方向上的數(shù)量投影：【點評】本題考查的知識要點：向量的數(shù)量積，向量的夾角，向量的投影，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．18．（14分）已知函數(shù)f（x）＝cos2x﹣sinx+a．（1）f（x）＝0有解時，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)x∈R時，總有，求實數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換的應(yīng)用和二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果；（2）利用函數(shù)的恒成立問題的應(yīng)用求出參數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）由已知得，f（x）＝cos2x﹣sinx+a＝0所以a＝sinx﹣cos2x＝sin2x+sinx﹣1＝（sinx+）2﹣∈[﹣，1]；（2）由已知得恒成立，則，另a≤sinx﹣cos2x+＝sin2x+sinx+＝[（sinx+）2+3]min＝3，所以實數(shù)a的取值范圍為[2，3]．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．19．（14分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且2cos2A+4cos（B+C）+3＝0．（1）求A；（2）若a＝1，求△ABC的周長l的取值范圍．【分析】（1）直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，三角函數(shù)的值的應(yīng)用求出結(jié)果．（2）直接利用余弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（1）2cos2A+4cos（B+C）+3＝2（2cos2A﹣1）﹣4cosA+3＝4cos2A﹣4cosA+1＝（2cosA﹣1）2＝0，所以，所以：．（2）由已知得，a＝1，，l＝a+b+c＞2a＝1，，∴b2+c2﹣1＝bc，∴（b+c）2≤4，∴b+c≤2，∴2＜l≤3．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，三角函數(shù)的值，余弦定理，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．20．（16分）數(shù)學(xué)建模搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，也是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的基本手段．某中學(xué)程老師根據(jù)實際情境提出如下問題：有一家具，其水平截面如圖①所示（各鄰邊垂直）．一房間的門框?qū)挘捶块T兩邊墻之間距離）為0.9米，門框厚為0.28米，思考能否將家具水平移入房內(nèi)．（注：門框高度及房內(nèi)外空間不受限制，且移動時均不發(fā)生形變）（1）如圖②，MN＝0.28（米），在移動家具時，為順利過門，家具的兩個邊CD，DE緊貼M，N，設(shè)直線AB和直線MN的夾角為θ，家具的初始位置對應(yīng)，N與D重合時可視為移動成功，延長NM交MN于點K，設(shè)AK＝S（米），請寫出S關(guān)于θ的函數(shù)．（2）基于（1），請問家具能否移動成功？并說明理由．【分析】（1）直接利用題意的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式；（2）利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出函數(shù)的值，進(jìn)一步利用數(shù)據(jù)的關(guān)系求出結(jié)果．【解答】解：（1）S＝0.28cosθ+0.48cotθ+0.48，（2）由已知得，添加輔助線，要使家具能白移入房間內(nèi)，則要求外拋角點A到一邊門框厚度MN的距離AH≤0.9（m），設(shè)點