2021-2022學(xué)年新疆烏魯木齊四中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年新疆烏魯木齊四中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選（5分×12＝60）1．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z＝2i，則z＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i2．（5分）已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，則＝（）A．1 B．﹣2 C．2 D．3．（5分）如圖Rt△O′A′B′是一平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′＝2，則這個(gè)平面圖形的面積是（）A． B．1 C． D．4．（5分）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A＝“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B＝“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，則A與B的關(guān)系是（）A．互斥 B．互為對(duì)立 C．相互獨(dú)立 D．相等5．（5分）學(xué)校為了解學(xué)生每月購買學(xué)習(xí)用品方面的支出情況，抽取了n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果顯示這些學(xué)生的支出（單位：元）都在[10，50]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[10，30）內(nèi)的學(xué)生有66人，則支出在[40，50]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)是（）A．30 B．40 C．60 D．1206．（5分）甲、乙兩個(gè)元件構(gòu)成一并聯(lián)電路，設(shè)E＝“甲元件故障”，F(xiàn)＝“乙元件故障”，則表示電路是斷路的事件為（）A．E∩F B．E∪F C． D．7．（5分）三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，長分別為a，b，c，則這個(gè)三棱錐的體積為（）A． B． C． D．8．（5分）從n個(gè)正整數(shù)1，2，3，…n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若取出的數(shù)之和等于5的概率為，則n＝（）A．5 B．6 C．7 D．89．（5分）給定下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直．其中，為真命題的是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④10．（5分）下面是關(guān)于復(fù)數(shù)Z＝的四個(gè)命題P1：|Z|＝2P2：Z2＝2iP3：＝1+iP4：Z的虛部為﹣1其中的真命題為（）A．P2，P3 B．P2，P4 C．P1，P2 D．P3，P411．（5分）已知向量，不共線，且向量λ+與+（2λ﹣1）的方向相反，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A．1 B．﹣ C．1或﹣ D．﹣1或﹣12．（5分）已知ω＞0，函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）在（，π）上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是（）A．（0，] B．（0，2] C．[，] D．[，]二、填空（5分×4＝20）13．（5分）已知α為第二象限角，sinα＝，則tan2α＝．14．（5分）一個(gè)正六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為，底面周長為3，那么這個(gè)球的體積是．15．（5分）已知向量，夾角為45°，且||＝1，|2﹣|＝，則||＝．16．（5分）袋子中裝有除顏色外其他均相同的五個(gè)小球，其中白色有2個(gè)，編號(hào)分別為a，b，紅色有3個(gè)，編號(hào)分別為c，d，e，若從中依次任意摸出2個(gè)球，第一個(gè)給小朋友甲，第二個(gè)給小朋友乙，則甲、乙兩名小朋友拿到的球中至少有1個(gè)白球的概率是．三、解答題（17題10分，18～22題各12分）17．（10分）如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測量，已知AB＝50m，BC＝120m，于A處測得水深A(yù)D＝80m，于B處測得水深BE＝200m，于C處測得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．18．（12分）已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，向量，，且．（1）求角A；（2）若，求△ABC的面積．19．（12分）一汽車廠生產(chǎn)A、B、C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如下表（單位：輛）：轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類型分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．（1）求抽取的轎車中，B類轎車的數(shù)量；（2）求z的值；（3）用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本．將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率．20．（12分）我國上是世界嚴(yán)重缺水的國家，城市缺水問題較為突出，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超過x的部分按議價(jià)收費(fèi)，為了了解全市民月用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了100位居民某年的月用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求直方圖中a的值；（Ⅱ）已知該市有80萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；（Ⅲ）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x（噸），估計(jì)x的值，并說明理由．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝cosx（sinx+cosx）﹣．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅱ）若f（α）＝，α∈（），求cos2α的值．22．（12分）如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分別是棱AD，AA1的中點(diǎn)．（1）設(shè)F是棱AB的中點(diǎn)，證明：直線EE1∥平面FCC1；（2）證明：平面D1AC⊥平面BB1C1C．

2021-2022學(xué)年新疆烏魯木齊四中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選（5分×12＝60）1．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z＝2i，則z＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【分析】根據(jù)所給的等式兩邊同時(shí)除以1﹣i，得到z的表示式，進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，整理成最簡形式，得到結(jié)果．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z滿足z（1﹣i）＝2i，∴z＝＝﹣1+i故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查代數(shù)形式的除法運(yùn)算，是一個(gè)基礎(chǔ)題，這種題目若出現(xiàn)一定是一個(gè)送分題目，注意數(shù)字的運(yùn)算．2．（5分）已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，則＝（）A．1 B．﹣2 C．2 D．【分析】根據(jù)兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，可得要求的式子為，再根據(jù)兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，運(yùn)算求得結(jié)果．【解答】解：由于在邊長為2的正方形ABCD中，，又∵E為CD的中點(diǎn)，∴＝＝＝4+0﹣0﹣＝2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．3．（5分）如圖Rt△O′A′B′是一平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′＝2，則這個(gè)平面圖形的面積是（）A． B．1 C． D．【分析】根據(jù)所給的直觀圖是一個(gè)等腰直角三角形且斜邊長是2，得到直角三角形的直角邊長，做出直觀圖的面積，根據(jù)平面圖形的面積是直觀圖的2倍，得到結(jié)果．【解答】解：∵Rt△O'A'B'是一平面圖形的直觀圖，斜邊O'B'＝2，∴直角三角形的直角邊長是，∴直角三角形的面積是，∴原平面圖形的面積是1×2＝2故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面圖形的直觀圖，考查直觀圖與平面圖形的面積之間的關(guān)系，考查直角三角形的面積，是一個(gè)基礎(chǔ)題，這種題目可以出現(xiàn)在高考卷的選擇或填空中．4．（5分）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A＝“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B＝“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，則A與B的關(guān)系是（）A．互斥 B．互為對(duì)立 C．相互獨(dú)立 D．相等【分析】根據(jù)互斥，對(duì)立，獨(dú)立事件的定義判斷即可．【解答】解：由題可知，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，第一枚和第二枚出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的分類情況如下，①（奇數(shù)，奇數(shù)），②（奇數(shù)，偶數(shù)），③（偶數(shù)，奇數(shù)），④（偶數(shù)，偶數(shù)），事件A＝“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”＝{①，②}，事件B＝“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”＝{②，④}，兩個(gè)事件不相等，排除D，A∩B≠?，所以不是互斥事件，排除A，B，C選項(xiàng)，事件A＝“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，P（A）＝＝，事件B＝“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，P（B）＝＝，事件AB＝“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，P（AB）＝＝，滿足P（AB）＝P（A）?P（B），所以事件A和事件B是相互獨(dú)立事件，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查事件關(guān)系，判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立，利用定義法，滿足P（AB）＝P（A）?P（B）即獨(dú)立，本題屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）學(xué)校為了解學(xué)生每月購買學(xué)習(xí)用品方面的支出情況，抽取了n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果顯示這些學(xué)生的支出（單位：元）都在[10，50]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[10，30）內(nèi)的學(xué)生有66人，則支出在[40，50]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)是（）A．30 B．40 C．60 D．120【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，利用頻率＝即可求出對(duì)應(yīng)的數(shù)值．【解答】解：根據(jù)頻率分布直方圖得，支出在[10，30）內(nèi)的頻率為（0.01+0.023）×10＝0.33，所以樣本容量為＝200，則支出在[40，50]內(nèi)的頻率為1﹣0.33﹣0.37＝0.30，所對(duì)應(yīng)的學(xué)生人數(shù)是200×0.30＝60．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．6．（5分）甲、乙兩個(gè)元件構(gòu)成一并聯(lián)電路，設(shè)E＝“甲元件故障”，F(xiàn)＝“乙元件故障”，則表示電路是斷路的事件為（）A．E∩F B．E∪F C． D．【分析】根據(jù)題意，若電路是斷路，則甲和乙都要有故障即甲有故障且乙有故障，從而求出電路是斷路的事件的表示方法．【解答】解：∵是并聯(lián)電路，∴若電路是斷路，則甲和乙都要有故障即甲有故障且乙有故障，∴表示電路是斷路的事件為E∩F，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了隨機(jī)事件的表示，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，長分別為a，b，c，則這個(gè)三棱錐的體積為（）A． B． C． D．【分析】直接利用三棱錐的體積公式能求出這個(gè)三棱錐的體積．【解答】解：∵三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，長分別為a，b，c，則這個(gè)三棱錐的體積為：V＝＝＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐的體積的求法，考查三棱錐的體積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8．（5分）從n個(gè)正整數(shù)1，2，3，…n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若取出的數(shù)之和等于5的概率為，則n＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由取出的數(shù)之和等于5的概率為，列出方程P＝＝，由此能求出結(jié)果．【解答】解：從n個(gè)正整數(shù)1，2，3，…n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，取出的數(shù)之和等于5的概率為，則P＝＝，解得n＝8．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．9．（5分）給定下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直．其中，為真命題的是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④【分析】從直線與平面平行與垂直，平面與平面平行與垂直的判定與性質(zhì)，考慮選項(xiàng)中的情況，找出其它可能情形加以判斷，推出正確結(jié)果．【解答】解：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；如果這兩條直線平行，可能得到兩個(gè)平面相交，所以不正確．②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；這是判定定理，正確．③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；可能是異面直線．不正確．④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直．正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面垂直的判定，平面與平面平行的判定，是基礎(chǔ)題．10．（5分）下面是關(guān)于復(fù)數(shù)Z＝的四個(gè)命題P1：|Z|＝2P2：Z2＝2iP3：＝1+iP4：Z的虛部為﹣1其中的真命題為（）A．P2，P3 B．P2，P4 C．P1，P2 D．P3，P4【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡Z，然后逐一判斷四個(gè)命題得答案．【解答】解：∵Z＝＝．∴|Z|＝，故P1為假命題；Z2＝（﹣1﹣i）2＝2i，故P2為真命題；，故P3為假命題；Z的虛部為﹣1，故P4為真命題．∴真命題是P2，P4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．11．（5分）已知向量，不共線，且向量λ+與+（2λ﹣1）的方向相反，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A．1 B．﹣ C．1或﹣ D．﹣1或﹣【分析】根據(jù)題意可得出：存在μ＜0，使得，然后根據(jù)平面向量基本定理可得出，從而解出λ的值即可．【解答】解：與的方向相反，且不共線，∴存在μ＜0，使，∴，解得或1（舍去）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了共線向量和平面向量基本定理，向量的數(shù)乘運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）已知ω＞0，函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）在（，π）上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是（）A．（0，] B．（0，2] C．[，] D．[，]【分析】由題意利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得+≥，且ωπ+≤，由此求得ω的取值范圍．【解答】解：∵已知ω＞0，函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）在（，π）上單調(diào)遞減，可得+≥，且ωπ+≤，求得≤ω≤，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．二、填空（5分×4＝20）13．（5分）已知α為第二象限角，sinα＝，則tan2α＝．【分析】由已知求出cosα，進(jìn)一步得到tanα，代入二倍角公式得答案．【解答】解：∵α為第二象限角，且sinα＝，∴cosα＝，則tanα＝．∴tan2α＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及二倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．14．（5分）一個(gè)正六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為，底面周長為3，那么這個(gè)球的體積是．【分析】先利用正六棱柱的結(jié)構(gòu)特征求得該球的半徑，進(jìn)而即可求得該球的體積．【解答】解：設(shè)正六棱柱ABCDEF﹣A′B′C′D′E′F′正六邊形的周長為3，則邊長為，則，矩形ADD'A'經(jīng)過球心，AD'就是外接球的直徑，，外接球的半徑，則外接球的體積為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查球與多面體的切接問題，空間想象能力的培養(yǎng)等知識(shí)，屬于中等題．15．（5分）已知向量，夾角為45°，且||＝1，|2﹣|＝，則||＝．【分析】利用數(shù)量積的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵向量，夾角為45°，且||＝1，|2﹣|＝．∴＝，化為＝10，化為，∵，解得||＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)量積的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）袋子中裝有除顏色外其他均相同的五個(gè)小球，其中白色有2個(gè)，編號(hào)分別為a，b，紅色有3個(gè)，編號(hào)分別為c，d，e，若從中依次任意摸出2個(gè)球，第一個(gè)給小朋友甲，第二個(gè)給小朋友乙，則甲、乙兩名小朋友拿到的球中至少有1個(gè)白球的概率是．【分析】設(shè)事件A為甲、乙兩名小朋友拿到的球中至少有1個(gè)白球，則事件為甲、乙兩名小朋友拿到的球都是紅球，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式、古典概型能求出結(jié)果．【解答】解：袋子中裝有除顏色外其他均相同的五個(gè)小球，其中白色有2個(gè)，編號(hào)分別為a，b，紅色有3個(gè)，編號(hào)分別為c，d，e，從中依次任意摸出2個(gè)球，第一個(gè)給小朋友甲，第二個(gè)給小朋友乙，設(shè)事件A為甲、乙兩名小朋友拿到的球中至少有1個(gè)白球則事件為甲、乙兩名小朋友拿到的球都是紅球，，n（Ω）＝5×4＝20，∴，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型、排列組合、對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．三、解答題（17題10分，18～22題各12分）17．（10分）如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測量，已知AB＝50m，BC＝120m，于A處測得水深A(yù)D＝80m，于B處測得水深BE＝200m，于C處測得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．【分析】分別在Rt△DMF中和Rt△DNE中利用勾股定理，求得DF＝10m，DE＝130m．再算出EF＝150m，在△DEF中利用余弦定理，可算出cos∠DEF的值．【解答】解：過點(diǎn)D作DM∥AC，分別交CF、BE于M、N，則Rt△DMF中，DF＝＝＝10mRt△DNE中，DE＝＝＝130m△DEF中，EF＝＝＝150m由余弦定理，得cos∠DEF＝＝＝．答：∠DEF的余弦值等于．【點(diǎn)評(píng)】本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求∠DEF的余弦值．主要考查了運(yùn)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問題，考查了三角形問題中勾股定理、余弦定理的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．18．（12分）已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，向量，，且．（1）求角A；（2）若，求△ABC的面積．【分析】（1）由已知可得，可得，從而可求A；（2）由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，可求c，進(jìn)而可求△ABC的面積．【解答】解：（1）∵．∴，由正弦定理可得，又∵2RsinB≠0，∴即，∴A＝60°；（2）由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴7＝4+c2﹣4c?cos60°，∴c2﹣2c﹣3＝0，∴（c﹣3）（c+1）＝0，又∵c＞0，∴c＝3，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正余弦定理，以及三角形的面積公式，屬中檔題．19．（12分）一汽車廠生產(chǎn)A、B、C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如下表（單位：輛）：轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類型分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．（1）求抽取的轎車中，B類轎車的數(shù)量；（2）求z的值；（3）用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本．將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率．【分析】（1）利用分層抽樣滿足每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，建立等式，即可求抽取的轎車中，B類轎車的數(shù)量；（2）求出抽取的轎車中，C類轎車的數(shù)量，即可求z的值；（3）先利用分層抽樣滿足每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，求出抽取一個(gè)容量為5的樣本舒適型轎車的輛數(shù)，利用列舉的方法求出至少有1輛舒適型轎車的基本事件，利用古典概型的概率公式求出概率．【解答】解：（1）設(shè)抽取的轎車中，B類轎車的數(shù)量為x，則＝，∴x＝15；（2）抽取的轎車中，C類轎車的數(shù)量為50﹣10﹣15＝25，則，∴z＝400；（3）設(shè)所抽樣本中有m輛舒適型轎車，因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒ㄔ贑類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本，所以，解得m＝2也就是抽取了2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，分別記作S1，S2；B1，B2，B3，則從中任取2輛的所有基本事件為（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3）（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（（S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10個(gè)，其中至少有1輛舒適型轎車的基本事件有7個(gè)基本事件：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3）（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（（S1，S2），所以從中任取2輛，至少有1輛舒適型轎車的概率為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分層抽樣，考查求古典概型的事件的概率，確定各個(gè)事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是關(guān)鍵．20．（12分）我國上是世界嚴(yán)重缺水的國家，城市缺水問題較為突出，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超過x的部分按議價(jià)收費(fèi)，為了了解全市民月用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了100位居民某年的月用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求直方圖中a的值；（Ⅱ）已知該市有80萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；（Ⅲ）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x（噸），估計(jì)x的值，并說明理由．【分析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖中小矩形的面積之和為1，能求出a．（Ⅱ）由頻率分布直方圖求出100位居民每人月用水量不低于3噸的人數(shù)的頻率，由此能估計(jì)全市80萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)．（Ⅲ）求出前6組的頻率之和為0.88＞0.85，前5組的頻率之和為0.73＜0.85，從而得到2.5≤x＜3，由此能估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)．【解答】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖，可得（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5＝1，解得a＝0.30．（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知，100位居民每人月用水量不低于3噸的人數(shù)為（0.12+0.08+0.04）×0.5＝0.12，由以上樣本頻率分布，可以估計(jì)全市80萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為800000×0.12＝96000．（Ⅲ）∵前6組的頻率之和為（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30）×0.5＝0.88＞0.85，而前5組的頻率之和為（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52）×0.5＝0.73＜0.85，∴2.5≤x＜3由0.3×（x﹣2.5）＝0.85﹣0.73，解得x＝2.9，因此，估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝cosx（sinx+cosx）﹣．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅱ）若f（α）＝，α∈（），求cos2α的值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得結(jié)果．（Ⅱ）由題意求得cos（2α+）的值，再利用兩角和差的余弦公式，求得cos2α＝cos[（2α+）﹣]的值．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）＝cosx（si