2021-2022學(xué)年北京師大附中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年北京師大附中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{0，1，2，3}，則A∩B＝（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．（4分）命題“?x∈（0，+∞），lnx＝x﹣1”的否定是（）A．?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 B．?x?（0，+∞），lnx＝x﹣1 C．?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．?x?（0，+∞），lnx＝x﹣13．（4分）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增的為（）A．y＝ B．y＝ln|x| C．y＝2﹣x D．y＝1﹣|x|4．（4分）已知a＝3﹣2，b＝log0.52，c＝log23，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b5．（4分）從2020年起，北京考生的高考成績由語文、數(shù)學(xué)、外語3門統(tǒng)一高考成績和考生選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級性考試科目成績構(gòu)成，等級性考試成績位次由高到低分為A、B、C、D、E，各等級人數(shù)所占比例依次為：A等級15%，B等級40%，C等級30%，D等級14%，E等級1%．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從參加歷史等級性考試的學(xué)生中抽取200人作為樣本，則該樣本中獲得B等級的學(xué)生人數(shù)為A、B、C、D、E，各等級人數(shù)所占比例依次為：A等級15%，B等級40%，C等級30%，D等級14%，E等級1%．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從參加歷史等級性考試的學(xué)生中抽取200人作為樣本，則該樣本中獲得B等級的學(xué)生人數(shù)為（）A．30 B．60 C．80 D．286．（4分）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）7．（4分）向量“，不共線”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（4分）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域產(chǎn)卵．記鮭魚的游速為v（單位：m/s），鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q．科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)v與成正比．當(dāng)v＝1m/s時，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為900．當(dāng)v＝2m/s時，其耗氧量的單位數(shù)為（）A．1800 B．2700 C．7290 D．81009．（4分）關(guān)于x的不等式x2+|x|≥a|x|﹣1對任意x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．[﹣1，3] B．（﹣∞，3] C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）10．（4分）已知函數(shù)f（x）＝x，g（x）＝ax2﹣x，其中a＞0，若?x1∈[1，3]，?x2∈[1，3]，使得f（x1）f（x2）＝g（x1）g（x2）成立則a＝（）A． B． C． D．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．（5分）＝．12．（5分）已知甲運動員的投籃命中率為0.7，乙運動員的投籃命中率為0.8，若甲、乙各投籃一次，則恰有一人命中的概率是．13．（5分）已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)已整理成如圖所示的莖葉圖，則甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，乙組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是．14．（5分）已知函數(shù)①當(dāng)a＝1時，函數(shù)f（x）的值域是；②若函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝1只有一個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是．15．（5分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1．設(shè)t＝|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|．①當(dāng)λ1＝λ2＝λ3＝﹣1，λ4＝λ5＝λ6＝1時，t＝；②若λi∈{﹣1，1}，i＝1，2，3，4，5，6，則t的最大值是．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．（14分）已知向量＝（3，4），＝（1，2），＝（﹣2，﹣2）．（Ⅰ）求||，||的值；（Ⅱ）若＝m+n，求實數(shù)m，n的值；（Ⅲ）若（+）∥（﹣+k），求實數(shù)k的值．17．（13分）為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時間（單位：小時），高一年級某班班主任對本班40名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時間進(jìn)行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖所提供的信息：（Ⅰ）求出圖中a的值；（Ⅱ）求該班學(xué)生這個周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的人數(shù)；（Ⅲ）如果用該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間作為樣本去推斷該校高一年級全體學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間，這樣推斷是否合理？說明理由．18．（15分）已知函數(shù)（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；（Ⅱ）當(dāng)a＝2時，求函數(shù)f（x）的值域；（Ⅲ）若對任意x∈R，f（x）≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．19．（14分）空氣質(zhì)量指數(shù)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量指數(shù)的值越高，就代表空氣污染越嚴(yán)重，其分級如表：空氣質(zhì)量指數(shù)0～5051～100101～150151～200201～300＞300空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染現(xiàn)分別從甲、乙兩個城市12月份監(jiān)測的空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取6天的數(shù)據(jù)，記錄如表：甲486510413216679乙806710815020562（Ⅰ）估計甲城市12月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率；（Ⅱ）分別從甲、乙兩個城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，求這兩個數(shù)據(jù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染的概率；（Ⅲ）記甲城市這6天空氣質(zhì)量指數(shù)的方差為s02．從甲城市12月份空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中再隨機(jī)抽取一個記為a，若a＝99，與原有的6天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為s12；若a＝169，與原有的6天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為s22，試比較s02，s12，s22的大?。ńY(jié)論不要求證明）20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝2x﹣2﹣x．（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義給出證明；（Ⅱ）解不等式：；（Ⅲ）若關(guān)于x的方程只有一個實根，求實數(shù)m的取值范圍．21．（14分）設(shè)n是不小于3的正整數(shù)，集合Sn＝{（a1，a2，…，an）|ai∈{0，1}，i＝1，2，…，n}，對于集合Sn中任意兩個元素A＝（a1，a2，…，an），B＝（b1，b2，…，bn）．定義1：A?B＝n﹣（|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|）．定義2：若A?B＝0，則稱A＝（a1，a2，…，an），B＝（b1，b2，…，bn）互為相反元素，記作，或．（Ⅰ）若n＝3，A＝（0，1，0），B＝（1，1，0），試寫出，，以及A?B的值；（Ⅱ）若A，B∈Sn，證明：；（Ⅲ）設(shè)k是小于n的正奇數(shù)，至少含有兩個元素的集合M?Sn，且對于集合M中任意兩個不相同的元素A＝（a1，a2，…，an），B＝（b1，b2，…，bn），都有A?B＝n﹣k，試求集合M中元素個數(shù)的所有可能值．

2021-2022學(xué)年北京師大附中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{0，1，2，3}，則A∩B＝（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}【分析】進(jìn)行交集的運算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2}．故選：C．【點評】本題考查了描述法、列舉法的定義，交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）命題“?x∈（0，+∞），lnx＝x﹣1”的否定是（）A．?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 B．?x?（0，+∞），lnx＝x﹣1 C．?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．?x?（0，+∞），lnx＝x﹣1【分析】利用特稱命題的否定是全稱命題，寫出結(jié)果即可．【解答】解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以，命題“?x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1”的否定是：?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1．故選：A．【點評】本題考查特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題．3．（4分）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增的為（）A．y＝ B．y＝ln|x| C．y＝2﹣x D．y＝1﹣|x|【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和基本初等函數(shù)的單調(diào)性，逐項進(jìn)行判斷即可．【解答】解：y＝為奇函數(shù)，不符合題意，y＝2﹣x為非奇非偶函數(shù)，不符合題意，y＝1﹣|x|為偶函數(shù)，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不符合題意，y＝ln|x|為偶函數(shù)，且x＞0時，y＝lnx單調(diào)遞增，符合題意．故選：B．【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的定義，以及基本初等函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）已知a＝3﹣2，b＝log0.52，c＝log23，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b【分析】容易得出0＜3﹣2＜1，log0.52＜0，log23＞1，從而可得出a，b，c的大小關(guān)系．【解答】解：∵0＜3﹣2＜1，log0.52＜log0.51＝0，log23＞log22＝1，∴c＞a＞b．故選：D．【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)和減函數(shù)的定義，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）從2020年起，北京考生的高考成績由語文、數(shù)學(xué)、外語3門統(tǒng)一高考成績和考生選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級性考試科目成績構(gòu)成，等級性考試成績位次由高到低分為A、B、C、D、E，各等級人數(shù)所占比例依次為：A等級15%，B等級40%，C等級30%，D等級14%，E等級1%．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從參加歷史等級性考試的學(xué)生中抽取200人作為樣本，則該樣本中獲得B等級的學(xué)生人數(shù)為A、B、C、D、E，各等級人數(shù)所占比例依次為：A等級15%，B等級40%，C等級30%，D等級14%，E等級1%．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從參加歷史等級性考試的學(xué)生中抽取200人作為樣本，則該樣本中獲得B等級的學(xué)生人數(shù)為（）A．30 B．60 C．80 D．28【分析】根據(jù)分層抽樣原理計算B等級應(yīng)抽取的人數(shù)．【解答】解：根據(jù)分層抽樣原理知，B等級應(yīng)抽取200×40%＝80（人）．故選：C．【點評】本題考查了分層抽樣方法的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．6．（4分）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【分析】求出函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點判定定理進(jìn)行判斷．【解答】解：f（x）定義域為{x|x≠0}，∵在（0，+∞）上是減函數(shù)，y＝2x在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴在（0，+∞）上是減函數(shù)．∵f（1）＝4﹣2＝2＞0，f（2）＝2﹣4＜0，函數(shù)在（0，+∞）連續(xù)，根據(jù)函數(shù)的零點判定定理可知，∴f（x）的零點所在的區(qū)間是（1，2）．故選：B．【點評】本題考查了函數(shù)的零點判定定理，屬于基礎(chǔ)題．7．（4分）向量“，不共線”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)向量三角形的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：當(dāng)向量“，不共線”時，由向量三角形性質(zhì)得“”成立，即充分性成立，反之當(dāng)向量“，方向相反時，滿足“”，但此時兩個向量共線，即必要性不成立，即向量“，不共線”是“”的充分不必要條件，故選：A．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合向量三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題、8．（4分）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域產(chǎn)卵．記鮭魚的游速為v（單位：m/s），鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q．科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)v與成正比．當(dāng)v＝1m/s時，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為900．當(dāng)v＝2m/s時，其耗氧量的單位數(shù)為（）A．1800 B．2700 C．7290 D．8100【分析】根據(jù)正比例函數(shù)關(guān)系設(shè)v＝k，代入v＝1，Q＝900可求出k，進(jìn)而可求出v＝2時，Q的值【解答】解：根據(jù)題意設(shè)v＝k，把v＝1，Q＝900代入可得k＝，所以v＝，當(dāng)v＝2時，代入得2＝，解得Q＝8100，故選：D．【點評】本題考查函數(shù)模型的實際應(yīng)用，運用待定系數(shù)法進(jìn)行解析式的求解是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．9．（4分）關(guān)于x的不等式x2+|x|≥a|x|﹣1對任意x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．[﹣1，3] B．（﹣∞，3] C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）【分析】由題意，分x＝0與x≠0兩類討論，后者可分離參數(shù)a，利用基本不等式求得a的范圍，最后取交集可得答案．【解答】解：?x∈R，x2+|x|≥a|x|﹣1恒成立，①當(dāng)x＝0時，0≥﹣1成立，a∈R；②當(dāng)x≠0時，原不等式可化為a≤|x|++1，∵|x|++1≥2+1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)|x|＝，即x＝±1時取等號，∴a≤3，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，3]，故選：B．【點評】本題考查函數(shù)恒成立問題與絕對值不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．10．（4分）已知函數(shù)f（x）＝x，g（x）＝ax2﹣x，其中a＞0，若?x1∈[1，3]，?x2∈[1，3]，使得f（x1）f（x2）＝g（x1）g（x2）成立則a＝（）A． B． C． D．【分析】由題意可得ax1﹣1＝成立，判斷當(dāng)0＜a≤1時不成立，考慮a＞1，由題意可得在[1，3]內(nèi)，ax1﹣1的值域為的值域的子集，解a的不等式可得a的值．【解答】解：?x1∈[1，3]，?x2∈[1，3]，使得f（x1）f（x2）＝g（x1）g（x2）成立，即為＝，即ax1﹣1＝成立，顯然當(dāng)0＜a≤1時，y＝＝ax﹣1在[1，3]的值域為[a﹣1，3a﹣1]，而a﹣1∈（﹣1，0]，即y＝ax﹣1的函數(shù)值中出現(xiàn)0，不成立，0＜a≤1舍去；則a＞1，可得ax1﹣1在[1，3]的值域為[a﹣1，3a﹣1]．在[1，3]的值域為[，]，由題意可得在[1，3]內(nèi)，ax1﹣1的值域為的值域的子集，可得≤a﹣1＜3a﹣1≤，可得（a﹣1）（3a﹣1）＝1，解方程可得a＝，故選：B．【點評】本題考查函數(shù)的值域求法，以及恒成立與有解問題解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)的單調(diào)性，考查化簡運算能力和推理能力，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．（5分）＝．【分析】根據(jù)冪指數(shù)及對數(shù)運算性質(zhì)計算即可．【解答】解：＝+log3＝﹣1＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查冪指數(shù)及對數(shù)運算性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）已知甲運動員的投籃命中率為0.7，乙運動員的投籃命中率為0.8，若甲、乙各投籃一次，則恰有一人命中的概率是0.38．【分析】利用獨立事件的概率乘法公式求解．【解答】解：設(shè)甲運動員命中為事件A，乙運動員命中為事件B，則P（A）＝0.7，P（B）＝0.8所以恰有一人命中的概率P＝P（A）+P（）P（B）＝0.7×（1﹣0.8）+（1﹣0.7）×0.8＝0.38，故答案為：0.38．【點評】本題主要考查了獨立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)已整理成如圖所示的莖葉圖，則甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是45，乙組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是35．【分析】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，分別找出甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和乙組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)．【解答】解：根據(jù)莖葉圖知，甲組數(shù)據(jù)按從小到大排列為28，31，39，42，45，55，57，58，66；排在中間的一位是中位數(shù)，是45；乙組數(shù)據(jù)從小到大排列為29，34，35，42，46，48，53，55，67；計算9×25%＝2.25，所以25%分位數(shù)是第3個數(shù)，為35．故答案為：45；35．【點評】本題考查了中位數(shù)與百分位數(shù)的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．14．（5分）已知函數(shù)①當(dāng)a＝1時，函數(shù)f（x）的值域是（﹣∞，1]；②若函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝1只有一個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（﹣1，1]．【分析】①a＝1，代入解析式可求出f（x）的值域；②根據(jù)f（x）的圖象與直線y＝1只有一個公共點，則有2﹣a≥1且20﹣a＜2，進(jìn)而可求出a的取值范圍【解答】解：①當(dāng)a＝1時，f（x）＝，則此時當(dāng)x＞1時，f（x）＝2﹣x＜1，當(dāng)x≤1時，f（x）≤1，所以f（x）的值域為（﹣∞，1]；②根據(jù)解析式可知，當(dāng)x＞1時，f（x）＝2﹣x＜1；當(dāng)x≤1時，f（x）＝2x﹣a≤2﹣a，若函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝1只有一個公共點，則2﹣a≥1且20﹣a＜2，解得﹣1＜a≤1，則實數(shù)a的取值范圍是（﹣1，1]．故答案為（﹣∞，1]；（﹣1，1]．【點評】本題考查分段函數(shù)值域問題，涉及函數(shù)單調(diào)性等知識點，屬于中檔題．15．（5分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1．設(shè)t＝|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|．①當(dāng)λ1＝λ2＝λ3＝﹣1，λ4＝λ5＝λ6＝1時，t＝0；②若λi∈{﹣1，1}，i＝1，2，3，4，5，6，則t的最大值是．【分析】建立直角坐標(biāo)系，向量坐標(biāo)化求模長的最值即可．【解答】解：建立如圖所示坐標(biāo)系：則A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），故＝（2，0），＝（0，1）＝（﹣2，0），＝（0，﹣1），＝（2，1），＝（﹣2，1），①當(dāng)λ1＝λ2＝λ3＝﹣1，λ4＝λ5＝λ6＝1時，＝﹣（2，0）﹣（0，1）﹣（﹣2，0）+（0，﹣1）+（2，1）+（﹣2，1）＝（0，0），所以t＝0；②由題意若使模長最大，則λ1﹣λ3＝±2，λ2﹣λ4＝±2，不妨設(shè)為λ1﹣λ3＝2，λ2﹣λ4＝2，則＝（4+2λ5﹣2λ6，2+λ5+λ6），當(dāng)λ5+λ6＝2，λ5﹣λ6＝0時模長最大為，故答案為：①．【點評】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算，模長的最值問題，屬于中檔題．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．（14分）已知向量＝（3，4），＝（1，2），＝（﹣2，﹣2）．（Ⅰ）求||，||的值；（Ⅱ）若＝m+n，求實數(shù)m，n的值；（Ⅲ）若（+）∥（﹣+k），求實數(shù)k的值．【分析】（Ⅰ）根據(jù)坐標(biāo)運算求出||，||的值即可；（Ⅱ）分別求出，m和n的坐標(biāo)，根據(jù)向量相等得到關(guān)于m，n的方程組，解出即可；（Ⅲ）根據(jù)共線向量的定義得到關(guān)于k的方程，解出即可．【解答】解：（I）∵＝（3，4），＝（1，2），∴|a|＝＝5，，（II）∵＝m+n，∴（3，4）＝m（1，2）+n（﹣2，﹣2）＝（m﹣2n，2m﹣2n），∴，得，故m＝1，n＝﹣1；（III）﹣+k＝（﹣1﹣2k，﹣2﹣2k），+＝（4，6），∵（﹣+k）∥（+），∴6（﹣1﹣2k）＝4（﹣2﹣2k），解得．【點評】本題考查了求向量的模，考查共線向量的定義以及向量的坐標(biāo)運算，是基礎(chǔ)題．17．（13分）為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時間（單位：小時），高一年級某班班主任對本班40名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時間進(jìn)行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖所提供的信息：（Ⅰ）求出圖中a的值；（Ⅱ）求該班學(xué)生這個周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的人數(shù)；（Ⅲ）如果用該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間作為樣本去推斷該校高一年級全體學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間，這樣推斷是否合理？說明理由．【分析】（I）由頻率分布直方圖列方程，能求出a．（II）由圖求出該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的頻率，由此能求出40名學(xué)生中周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的人數(shù)．（III）不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有代表性．【解答】解：（I）由頻率分布直方圖得：（a+0.040+0.050+0.045+0.030+0.015）×5＝1，解得a＝0.020．（II）由圖可知，該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的頻率為：（0.03+0.015）×5＝0.225，則40名學(xué)生中周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的人數(shù)為40×0.225＝9．（III）不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有代表性．【點評】本題考查頻率、頻數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．18．（15分）已知函數(shù)（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；（Ⅱ）當(dāng)a＝2時，求函數(shù)f（x）的值域；（Ⅲ）若對任意x∈R，f（x）≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【分析】（Ⅰ）利用偶函數(shù)的定義f（﹣x）＝f（x）可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；（Ⅱ）當(dāng)a＝2時，，由及對數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)f（x）的值域；（Ⅲ）依題意，得恒成立，對對數(shù)的底數(shù)a分a＞1與0＜a＜1兩類討論，即可求得對任意x∈R，f（x）≥1恒成立時，實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（I）因為函數(shù)f（x）的定義域為R，所以x∈R時，﹣x∈R．………（1分）又因為，所以是偶函數(shù)．……（4分）（II）當(dāng)a＝2時，．因為|x|≥0，所以|x|+2≥2．所以…………（7分）所以，，即f（x）≤﹣1．……（8分）所以當(dāng)a＝2時，函數(shù)f（x）的值域為（﹣∞，﹣1]，…………（9分）（III）因為f（x）≥1恒成立，即恒成立，所以恒成立．………………（10分）①當(dāng)a＞1時，即恒成立．因為，所以當(dāng)a＞1時不合題意，…………（11分）②當(dāng)0＜a＜1時，即恒成立．因為，所以．………（14分）所以對任意x∈R，f（x）≥1恒成立時，實數(shù)a的取值范圍為．……（15分）【點評】本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想和分類討論思想的應(yīng)用，考查運算能力，屬中檔題．19．（14分）空氣質(zhì)量指數(shù)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量指數(shù)的值越高，就代表空氣污染越嚴(yán)重，其分級如表：空氣質(zhì)量指數(shù)0～5051～100101～150151～200201～300＞300空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染現(xiàn)分別從甲、乙兩個城市12月份監(jiān)測的空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取6天的數(shù)據(jù)，記錄如表：甲486510413216679乙806710815020562（Ⅰ）估計甲城市12月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率；（Ⅱ）分別從甲、乙兩個城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，求這兩個數(shù)據(jù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染的概率；（Ⅲ）記甲城市這6天空氣質(zhì)量指數(shù)的方差為s02．從甲城市12月份空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中再隨機(jī)抽取一個記為a，若a＝99，與原有的6天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為s12；若a＝169，與原有的6天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為s22，試比較s02，s12，s22的大?。ńY(jié)論不要求證明）【分析】（Ⅰ）根據(jù)甲城市這6天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的有2天，即可得到答案；（Ⅱ）先確定總的基本事件數(shù)，再求出符合條件的基本事件數(shù)，利用概率的計算公式求解即可；（Ⅲ）直接比較即可．【解答】解：（Ⅰ）甲城市這6天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的有2天，則估計甲城市12月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率為．（Ⅱ）由題意，分別從甲、乙兩個城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，因為（48，80），（48，67），（48，108），（48，150），（48，205），（48，62），（65，80），（65，67），（65，108），（65，150），（65，205），（65，62），（104，80），（104，67），（104，108），（104，150），（104，205），（104，62），（132，80），（132，67），（132，108），（132，150），（132，205），（132，62），（166，80），（166，67），（166，108），（166，150），（166，205），（166，62），（79，80），（79，67），（79，108），（79，150），（79，205），（79，62），所以基本事件數(shù)一共有36種，A表示“這兩個數(shù)據(jù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染”，則A＝{（104，108），（104，150），（132，108），（132，150）}，包含4個樣本點，則．（Ⅲ）．【點評】本題考查了概率和統(tǒng)計的綜合應(yīng)用，涉及了列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，解題的關(guān)鍵是正確表示出總的基本事件數(shù)．20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝2x﹣2﹣x．（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義給出證明；（Ⅱ）解不等式：；（Ⅲ）若關(guān)于x的方程只有一個實根，求實數(shù)m的取值范圍．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，利用作差法分析可得結(jié)論；（Ⅱ）由函數(shù)的解析式可得，則有?，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案；（Ⅲ）根據(jù)題意，原問題等價于方程有且只有一個實數(shù)解．利用換元法分析可得答案．【解答】解：（I）根據(jù)題意，f（x）在R上單調(diào)遞增；證明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，則＝；又由x1＜x2，則有，f（x1）＜f（x2）．故函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；（II）根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝2x﹣2﹣x．則，?，又函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，則有故不等式的解集為．（Ⅲ）根據(jù)題意，若關(guān)于x的方程只有一個實根，即方程有且只有一個實數(shù)解．令t＝2x，則t＞0，問題轉(zhuǎn)化為：方程有且只有一個正數(shù)根，①當(dāng)m＝1時，，不合題意，②當(dāng)m≠1時，（i）若Δ＝0，則m＝﹣3或，若m＝﹣3，則，符合題意；若，則t＝﹣2，不合題意，（ii）若Δ＞0，則m＜﹣3或，由題意，方程有一個正根和一個負(fù)根，即，解得m＞1；綜上，實數(shù)m的取值范圍是{﹣3}∪（1，+∞）．【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)與方程的關(guān)系，屬于中檔題．21．（14分）設(shè)n是不小于3的正整數(shù)，集合Sn＝{（a1，a2，…，an）|ai∈{0，1}，i＝1，2，…，n}，對于集合Sn中任意兩個元素A＝（a1，a2，…，an），B＝（b1，b2，…，bn）．定義1：A?B＝n﹣（|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|）．定義2：若A?B＝0，則稱A＝（a1，a2，…，an），B＝（b1，b2，…，bn）互為相反元素，記作，或．（Ⅰ）若n＝3，A＝（0，1，0），B＝（1，1，0），試寫出，，以及A?B的值；（Ⅱ）若A，B∈Sn，證明：；（Ⅲ）設(shè)k是小于n的正奇數(shù)，至少含有兩個元素的集合M?S