湖南省衡陽市縣山水中學高三數學理期末試卷含解析

湖南省衡陽市縣山水中學高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.圖中的程序框圖所描述的算法稱為歐幾里得展轉相除法，若輸入m=209，n=121，則輸出m的值等于（）A．10 B．11 C．12 D．13參考答案：B【考點】程序框圖．【分析】先求出m除以n的余數，然后利用輾轉相除法，將n的值賦給m，將余數賦給n，進行迭代，一直算到余數為零時m的值即可．【解答】解：當m=209，n=121，m除以n的余數是88此時m=121，n=88，m除以n的余數是33此時m=88，n=33，m除以n的余數是22此時m=33，n=22，m除以n的余數是11，此時m=22，n=11，m除以n的余數是0，此時m=11，n=0，退出程序，輸出結果為11，故選：B．2.將函數的圖像向左平移個長度單位后，所得到的圖像關于軸對稱，則的最小值是（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：B的圖像向左平移個長度單位后變成，所以的最小值是。故選B。【相關知識點】三角函數圖象及其變換3.直線被圓所截得的弦長為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C

解析：，把直線代入得，弦長為4.輸入x=1時，運行如圖所示的程序，輸出的x值為(

) A．4 B．5 C．7 D．9參考答案：C考點：程序框圖．專題：算法和程序框圖．分析：由程序框圖依次計算程序運行的結果，直到滿足條件n≥4時，計算x的值．解答： 解：由程序框圖知：第一次運行x=1+2=3，n=2；第二次運行x=1+2+2=5，n=3；第三次運行x=1+2+2+2=7，n=4，此時滿足條件n≥4，輸出x=7．故選C．點評：本題是循環(huán)結構的程序框圖，解答的關鍵是讀懂框圖的流程．5.滿足｛a｝M｛a,b,c,d｝的集合M共有（）A．6個

B．7個

C．8個

D．15個參考答案：B6.對任意實數a,b,c，在下列命題中，真命題是A.“ac＞bc”是“a＞b”的必要條件

B.“ac=bc”是“a=b”的充分條件C.“ac＞bc”是“a＞b”的充分條件

D.“ac=bc”是“a=b”的必要條件參考答案：B7.命題“若，則”的逆否命題是（

）A．若，則

B．若，則C．若，則

D．若，則參考答案：D略8.函數

的定義域為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：D9.（多選題）下列函數中，既是偶函數，又在(0,+∞)上單調遞增的是（

）A. B.C. D.參考答案：BC【分析】易知A,B,C,D四個選項中的函數的定義域均為,先利用與的關系判斷奇偶性,再判斷單調性,即可得到結果.【詳解】由題,易知A,B,C,D四個選項中的函數的定義域均為,對于選項A,,則為奇函數,故A不符合題意；對于選項B,,即為偶函數,當時,設,則,由對勾函數性質可得,當時是增函數,又單調遞增,所以在上單調遞增,故B符合題意；對于選項C,,即為偶函數,由二次函數性質可知對稱軸為,則在上單調遞增,故C符合題意；對于選項D,由余弦函數的性質可知是偶函數,但在不恒增,故D不符合題意；故選:BC【點睛】本題考查由解析式判斷函數的奇偶性和單調性,熟練掌握各函數的基本性質是解題關鍵.10.若三棱錐的三視圖如右圖所示，則該三棱錐的體積為()A．80

B．40

C.

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點是雙曲線(,)的左焦點，點是該雙曲線的右頂點，過點且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________．參考答案：略12.已知圓C過點（﹣1，0），且圓心在x軸的負半軸上，直線l：y=x+1被該圓所截得的弦長為2，則圓C的標準方程為．參考答案：（x+3）2+y2=4【考點】圓的標準方程．【分析】根據題意設圓心C坐標為（x，0），根據圓C過（﹣1，0），利用兩點間的距離公式表示出圓的半徑，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線l的距離d，根據已知的弦長，利用垂徑定理及勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到圓心坐標及半徑，寫出圓C的標準方程即可．【解答】解：設圓心C（x，0），則圓的半徑r=|BC|=|x+1|∴圓心C到直線l的距離|CD|=，弦長|AB|=2，則r==|x+1|，整理得：x=1（不合題意，舍去）或x=﹣3，∴圓心C（﹣3，0），半徑為2，則圓C方程為（x+3）2+y2=4．故答案為：（x+3）2+y2=4．13.已知直線x＝a(0＜a＜)與函數f(x)＝sinx和函數g(x)＝cosx的圖象分別交于M，N兩點，若MN＝，則線段MN的中點縱坐標為

▲

．參考答案：14.（2016秋?天津期中）D為△ABC的BC邊上一點，，過D點的直線分別交直線AB、AC于E、F，若，其中λ＞0，μ＞0，則=

．參考答案：3【考點】平面向量的基本定理及其意義．【專題】方程思想；綜合法；平面向量及應用．【分析】根據題意畫出圖形，結合圖形利用平面向量的線性運算與共線定理，列出方程組求出λ與μ的表達式，即可求出+的值．【解答】解：如圖所示，∵=+，=+=λ，∴=（1﹣λ）；又E，D，F三點共線，∴存在實數k，使=k=k（﹣）=kμ﹣kλ；又=﹣2，∴==﹣；∴（1﹣λ）=（kμ﹣kλ）﹣（﹣），即（1﹣λ）=（kμ﹣）+（﹣kλ），∴，解得μ=，λ=；∴+=3（1﹣k）+3k=3．故答案為：3．故答案為：3．【點評】本題考查了平面向量的加法、減法運算，共線向量基本定理，以及平面向量基本定理，是綜合性題目．15.若拋物線y2=2px的焦點坐標為（1，0）則準線方程為

．參考答案：x=﹣1考點：拋物線的簡單性質；拋物線的標準方程．專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：由拋物線的性質可知，知=1，可知拋物線的標準方程，從而可得準線方程．解答： 解：∵拋物線y2=2px的焦點坐標為（1，0），∴=1，p=2，拋物線的方程為y2=4x，∴其標準方程為：x=﹣1，故答案為：x=﹣1．點評：本題考查拋物線的簡單性質，屬于基礎題．16.等差數列{an}中，a2+a3+a4=3，Sn為等差數列{an}的前n項和，則S5=（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：C【考點】等差數列的前n項和．【分析】由等差數列通項公式得a2+a3+a4=3a3=3，從而a3=1，再由等差列前n項和公式得S5==5a3，由此能求出結果．【解答】解：∵等差數列{an}中，a2+a3+a4=3，Sn為等差數列{an}的前n項和，∴a2+a3+a4=3a3=3，解得a3=1，∴S5==5a3=5．故選：C．【點評】本題考查等差數列的前5項和的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用．17.已知二次函數的遞減區(qū)間為則二次函數的遞減區(qū)間為:

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在△ABC中，∠C=45°，D為BC中點，BC=2．記銳角∠ADB=α．且滿足cosα=﹣．（1）求cos∠CAD；（2）求BC邊上高的值．參考答案：考點：解三角形的實際應用．專題：應用題；解三角形．分析：（1）由二倍角公式cos2α=2cos2α﹣1，可求cosα，根據∠CAD=α﹣45°，即可求cos∠CAD；（2）由（1）得，sin∠CAD=sin（α﹣45°）sinαcos45°﹣sin45°cosα=，再由正弦定理，可求AD，從而可由h=ADsin∠ADB求解．解答：解：（1）∵cos2α=2cos2α﹣1，∴cos2α=，∵α∈（0°，45°），∴cosα=，∴，∵∠CAD=α﹣45°，∴=．（2）由（1）得，sin∠CAD=sin（α﹣45°）=sinαcos45°﹣sin45°cosα=，在△ACD中，由正弦定理得：，∴AD===5，∴高h=ADsin∠ADB==4．點評：本題主要考查了同角平方關系、和差角公式及正弦定理在求解三角形中的應用，解題的關鍵是熟練應用基本公式．19.已知,命題：對任意，不等式恒成立；命題：存在，使得成立。(Ⅰ）若為真命題，求的取值范圍。(Ⅱ）當，若為假，為真，求的取值范圍。參考答案：（1）

（2）或略20.（本小題滿分12分）如圖：在三棱錐D-ABC中，已知是正三角形，AB平面BCD，，E為BC的中點，F在棱AC上，且.（1）求三棱錐D－ABC的表面積；（2）求證AC⊥平面DEF；（3）若M為BD的中點，問AC上是否存在一點N，使MN∥平面DEF？若存在，說明點N的位置；若不存在，試說明理由．參考答案：解：解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝．分設G為CD的中點，則CG＝，AG＝．∴，，．分三棱錐D－ABC的表面積為．分（2）取AC的中點H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．∵AF＝3FC，∴F為CH的中點．∵E為BC的中點，∴EF∥BH．則EF⊥AC．分∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC分∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．分（3）存在這樣的點N，當CN＝時，MN∥平面DEF．連CM，設CM∩DE＝O，連OF．由條件知，O為△BCD的重心，CO＝CM．分∴當CF＝CN時，MN∥OF．∴CN＝分略21.（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，側面ABB1A1⊥底面ABC，D是BC的中點，∠BAA1=120o，B1D⊥AB．（Ⅰ）求證：AC⊥面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AB中點O，連接OD，B1O，推導出B1O⊥AB，B1D⊥AB，從而AB⊥面B1OD，進而AB⊥OD，再求出AC⊥AB，由此能證明AC⊥面ABB1A1．（Ⅱ）以O為坐標原點，分別以OB、OD、OB1方向為x、y、z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．【解答】（本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）取AB中點O，連接OD，B1O，△B1BO中，AB=2，B1B=2，∠B1BA=60°，故△AB1B是等邊三角形，∴B1O⊥AB，又B1D⊥AB，而B1O與B1D相交于B1，∴AB⊥面B1OD，故AB⊥OD，又OD∥AC，所以AC⊥AB，又∵側面ABB1A1⊥底面ABC于AB，AC在底面ABC內，∴AC⊥面ABB1A1．…（6分）解：（Ⅱ）以O為坐標原點，分別以OB、OD、OB1方向為x、y、z軸建立空間直角坐標系，C（﹣1，2，0），A（﹣1，0，0），D（0，1，0），B（1，0，0），B1（0，0，），∴，，，，設面ADC1的法向量為，依題意有：，令x=1，則y=﹣1，，∴，…（9分）又面ADC的法向量為，…（10分）∴，∴二面角C1﹣AD﹣C的余弦值為．…（12分）【點評】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．22.已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左頂點為A，左焦點為F1（﹣2，0），點在橢圓C上．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線y=kx（k≠0）與橢圓C交于E，F兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N．求證：以MN為直徑的圓必過橢圓的兩焦點．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系；橢圓的標準方程．【分析】（1）由題意可設橢圓標準方程為，結合已知及隱含條件列關于a，b，c的方程組，求解方程組得到a2，b2的值，則橢圓方程可求；（2）設F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），寫出AE、AF所在直線方程，求出M、N的坐標，得到以MN為直徑的圓的方程，由圓的方程可知以MN為直徑的圓經過定點（