2021年北京市房山區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷

第1頁（共1頁）2021年北京市房山區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（4分）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{x∈Z|（x﹣1）（x﹣3）≤0}，B＝{2，3}，則?U（A∪B）＝（）A．{3} B．{4} C．{3，4} D．{1，3，4}2．（4分）若復(fù)數(shù)z＝（x2+x﹣2）+（x﹣1）i（i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為（）A．1 B．2 C．﹣2 D．1或﹣23．（4分）在△ABC中，BC＝6，A＝，sinB＝2sinC，則△ABC的面積為（）A．6 B．6 C．9 D．44．（4分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（）A．6 B．10+2 C．10+2 D．16+25．（4分）某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，若每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤s（萬元）與機器運轉(zhuǎn)時間t（年數(shù)，t∈N*）的關(guān)系為s＝﹣t2+23t﹣64．要使年平均利潤最大．則每臺機器運轉(zhuǎn)的年數(shù)t為（）A．5 B．6 C．7 D．86．（4分）已知角α的終邊經(jīng)過點（3，4），把角α的終邊繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角β的終邊，則tanβ等于（）A． B． C． D．7．（4分）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：﹣y2＝1的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，點P在雙曲線C上，且|OP|＝|OF1|，則△PF1F2的面積為（）A． B．2 C． D．18．（4分）20世紀(jì)30年代，里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用地震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為M＝lgA﹣lgA0，其中A是被測地震的最大振幅，A0是標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅.2008年5月12日，我國四川汶川發(fā)生了地震，速報震級為里氏7.8級，修訂后的震級為里氏8.0級，則修訂后的震級與速報震級的最大振幅之比為（）A．10﹣0.2 B．100.2 C．lg D．9．（4分）“a≤0”是“函數(shù)f（x）＝有且只有一個零點”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．（4分）為了慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉行了以“重溫時代經(jīng)典，唱響回聲嘹亮”為主題的“紅歌”歌詠比賽．該校高三年級有1，2，3，4四個班參加了比賽，其中有兩個班獲獎．比賽結(jié)果揭曉之前，甲同學(xué)說：“兩個獲獎班級在2班、3班、4班中”，乙同學(xué)說：“2班沒有獲獎，3班獲獎了”，丙同學(xué)說：“1班，4班中有且只有一個班獲獎”，丁同學(xué)說：“乙說得對”．已知這四人中有且只有兩人的說法是正確的，則這兩人是（）A．乙，丁 B．甲，丙 C．甲，丁 D．乙，丙二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．（5分）函數(shù)y＝sin2xcos2x的最小正周期是．12．（5分）若三個點M（3，2），N（2，2），Q（3，﹣2）中恰有兩個點在拋物線y2＝2px上，則該拋物線的方程為．13．（5分）已知（1+2x）n的展開式中，二項式系數(shù)之和為32，則各項系數(shù)之和為．14．（5分）已知單位向量，的夾角為60°，﹣k與垂直，則k＝．15．（5分）設(shè)m∈R，過定點M的直線l1：x+my﹣3m﹣1＝0與過定點N的直線l2：mx﹣y﹣3m+1＝0相交于點P，線段AB是圓C：（x+1）2+（y+1）2＝4的一條動弦．且|AB|＝2．給出下列四個結(jié)論：①l1一定垂直l2；②|PM|+|PN|的最大值為4；③點P的軌跡方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1；④||的最小值為4．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16．（14分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，點E為PC的中點，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝2，PA＝2．（Ⅰ）求證：CD⊥PD；（Ⅱ）求異面直線BC與AE所成角的大?。?7．（14分）已知數(shù)列{an}是一個公比為q（q＞0，q≠1）的等比數(shù)列，a1＝1，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，再從條件①、②、③這三個條件中選擇一個作為已知，解答下列問題：（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）令bn＝2log2an﹣7，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn的最小值．條件①：4a2，3a3，2a4成等差數(shù)列；條件②：Sn＝2an﹣1；條件③：S3＝7．18．（14分）為了提高中小學(xué)生的身體素質(zhì)，某地區(qū)開展了中小學(xué)生跳繩比賽系列活動．活動結(jié)束后，利用簡單隨機抽樣的方法，抽取了部分學(xué)生的成績，按照不同年齡段分組記錄如表：組別男生女生合格不合格合格不合格第一組90108020第二組88127228第三組60405842第四組80206238第五組82187822合計400100350150假設(shè)每個中小學(xué)生跳繩成績是否合格相互獨立．（Ⅰ）從樣本中的中小學(xué)生隨機抽取1人，求該同學(xué)跳繩成績合格的概率；（Ⅱ）從該地區(qū)眾多小學(xué)的男生、女生中各隨機抽取1人，記這2人中恰有X人跳繩成績合格，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）假設(shè)該地區(qū)中小學(xué)生跳繩成績合格的概率與表格中該地區(qū)中小學(xué)生跳繩成績合格的頻率相等，用“ξk＝1”表示第k組同學(xué)跳繩成績合格，“ξk＝0”表示第k組同學(xué)跳繩成績不合格（k＝1，2，3，4，5），試確定方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5中哪個最大？哪個最?。浚ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）19．（15分）已知函數(shù)f（x）＝excosx，g（x）＝ax．（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)F（x）＝g（x）﹣f（x），當(dāng)a≥0時，求函數(shù)F（x）在區(qū)間[，]上的最大值和最小值；（Ⅲ）當(dāng)x∈[，]時，試寫出一個實數(shù)a的值，使得y＝f（x）的圖象在y＝g（x）的圖象下方．（不需要說明理由）20．（14分）已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率為，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C的右焦點，A為橢圓C上一點，且AF⊥x軸，|AF|＝．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過橢圓C上一點P（x0，y0）（y0≠0）的直線l：＝1與直線AF相交于點M，與直線x＝4相交于點N．證明：為定值．21．（14分）已知數(shù)集A＝{a1，a2，a3，…，an}（1≤a1＜a2＜a3＜…＜an，n≥2，n∈N*）．如果對任意的i，j（1≤i≤j≤n且i，j，n∈N*），aiaj與兩數(shù)中至少有一個屬于A，則稱數(shù)集A具有性質(zhì)P．（Ⅰ）分別判斷數(shù)集{2，3，6}，{1，3，4，12}是否具有性質(zhì)P，并說明理由；（Ⅱ）設(shè)數(shù)集A＝{a1，a2，a3，…，an}（1≤a1＜a2＜a3＜…＜an，n≥2，n∈N*）具有性質(zhì)P．①若ak∈N*（k＝1，2，3，…），證明：對任意1≤i≤n（i，n∈N*）都有ai是an的因數(shù)；②證明：ann＝a12?a22?a32?…?an2．

2021年北京市房山區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（4分）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{x∈Z|（x﹣1）（x﹣3）≤0}，B＝{2，3}，則?U（A∪B）＝（）A．{3} B．{4} C．{3，4} D．{1，3，4}【分析】可求出集合A，然后進(jìn)行并集和補集的運算即可．【解答】解：∵U＝{1，2，3，4}，A＝{x∈Z|1≤x≤3}＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴A∪B＝{1，2，3}，?U（A∪B）＝{4}．故選：B．【點評】本題考查了集合的描述法和列舉法的定義，一元二次不等式的解法，并集和補集的定義及運算，全集的定義，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）若復(fù)數(shù)z＝（x2+x﹣2）+（x﹣1）i（i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為（）A．1 B．2 C．﹣2 D．1或﹣2【分析】直接利用純虛數(shù)的概念即可直接得答案．【解答】解：因為z＝（x2+x﹣2）+（x﹣1）i（i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，所以，解得x＝﹣2．故選：C．【點評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．3．（4分）在△ABC中，BC＝6，A＝，sinB＝2sinC，則△ABC的面積為（）A．6 B．6 C．9 D．4【分析】求出C，再求出B，求出AB，從而求出三角形的面積．【解答】解：∵sinB＝2sinC，A＝，∴sinB＝sin（﹣C）＝sin（+C）＝cosC+sinC＝2sinC，解得：tanC＝，故C＝，∴B＝，又BC＝6，∴AB＝2，∴S△ABC＝?AB?BC＝6，故選：A．【點評】本題考查了兩角和的正弦公式以及三角函數(shù)求值問題，考查求三角形的面積問題，是基礎(chǔ)題．4．（4分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（）A．6 B．10+2 C．10+2 D．16+2【分析】先確定該幾何體為直四棱柱，計算出底面周長，然后在底面周長上乘以高，可得出該幾何體的側(cè)面積，并計算出底面積，再將側(cè)面積與兩個底面積相加可得出表面積．【解答】解：該幾何體是一個直四棱柱，底面為直角梯形，斜腰長為，底面周長為，該直四棱柱的側(cè)面積為，底面積為，因此，該幾何體的表面積為．故選：D．【點評】本題考查幾何體表面積的計算，解決本題的關(guān)鍵在于由三視圖還原為實物體，考查計算能力，屬于中等題．5．（4分）某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，若每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤s（萬元）與機器運轉(zhuǎn)時間t（年數(shù)，t∈N*）的關(guān)系為s＝﹣t2+23t﹣64．要使年平均利潤最大．則每臺機器運轉(zhuǎn)的年數(shù)t為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】先求出年平均利潤的關(guān)系式，再利用基本不等式即可求解．【解答】解：由已知可得年平均利潤為Z＝＝，（t＞0），所以Z＝﹣（t+）+23+23＝﹣16+23＝7，當(dāng)且僅當(dāng)，即t＝8時取等號，此時年平均利潤的最大值為7，故選：D．【點評】本題考查了函數(shù)的實際應(yīng)用，涉及到利用基本不等式求解最值的問題，屬于中檔題．6．（4分）已知角α的終邊經(jīng)過點（3，4），把角α的終邊繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角β的終邊，則tanβ等于（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求解即可．【解答】解：因為角α的終邊經(jīng)過點（3，4），則tanα＝，把角α的終邊繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角β的終邊，則β＝α+，所以tanβ＝tan（α+）＝﹣cotα＝﹣．故選：C．【點評】本題主要考查三角函數(shù)值的計算，根據(jù)三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．7．（4分）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：﹣y2＝1的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，點P在雙曲線C上，且|OP|＝|OF1|，則△PF1F2的面積為（）A． B．2 C． D．1【分析】先判斷△PF1F2為直角三角形，再根據(jù)雙曲線的定義和直角三角形的性質(zhì)即可求出．【解答】解：由題意可得a＝，b＝1，c＝2，∴|F1F2|＝2c＝4，∵|OP|＝|OF1|，∴|OP|＝|F1F2|，∴△PF1F2為直角三角形，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2＝4c2＝16，∵||PF1|﹣|PF2||＝2a＝2，∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|＝12，∴|PF1|?|PF2|＝2，∴△PF1F2的面積為S＝|PF1|?|PF2|＝1，故選：D．【點評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，雙曲線的定義，三角形的面積，屬于中檔題．8．（4分）20世紀(jì)30年代，里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用地震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為M＝lgA﹣lgA0，其中A是被測地震的最大振幅，A0是標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅.2008年5月12日，我國四川汶川發(fā)生了地震，速報震級為里氏7.8級，修訂后的震級為里氏8.0級，則修訂后的震級與速報震級的最大振幅之比為（）A．10﹣0.2 B．100.2 C．lg D．【分析】先根據(jù)M＝lgA﹣lgA0求得地震最大振幅關(guān)于M的函數(shù)，將震級代入分別求出最大振幅，最后求出兩次地震的最大振幅之比即可．【解答】解：由M＝lgA﹣lgA0可得M＝lg，即＝10M，A＝A0?10M．當(dāng)M＝8時，地震的最大振幅為A1＝A0?108，當(dāng)M＝7.8時，地震的最大振幅為A2＝A0?107.8，所以，兩次地震的最大振幅之比是＝＝108﹣7.8＝100.2．故選：B．【點評】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，以及對數(shù)的運算，考查運算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．9．（4分）“a≤0”是“函數(shù)f（x）＝有且只有一個零點”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)函數(shù)零點的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：當(dāng)x＞0時，令f（x）＝0，則lnx＝0，∴x＝1，∴當(dāng)x＞0時，f（x）有一個零點為1，∵函數(shù)f（x）只有一個零點，∴當(dāng)x≤0時，f（x）＝﹣2x+a無零點，即a＞2x或a＜2x，∵當(dāng)x≤0時，2x∈（0，1]，∴a＞1或a≤0，∴a≤0是函數(shù)f（x）只有一個零點的充分不必要條件，故選：A．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)零點的條件以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．10．（4分）為了慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉行了以“重溫時代經(jīng)典，唱響回聲嘹亮”為主題的“紅歌”歌詠比賽．該校高三年級有1，2，3，4四個班參加了比賽，其中有兩個班獲獎．比賽結(jié)果揭曉之前，甲同學(xué)說：“兩個獲獎班級在2班、3班、4班中”，乙同學(xué)說：“2班沒有獲獎，3班獲獎了”，丙同學(xué)說：“1班，4班中有且只有一個班獲獎”，丁同學(xué)說：“乙說得對”．已知這四人中有且只有兩人的說法是正確的，則這兩人是（）A．乙，丁 B．甲，丙 C．甲，丁 D．乙，丙【分析】由乙與丁的說法同時正確或同時錯誤，分情況討論，即可判斷出結(jié)果．【解答】解：假設(shè)乙的說法是正確的，則丁也是正確的，那么甲，丙的說法都是錯誤的，由丙的說法錯誤可知，1班，4班都獲獎或1班，4班都沒有獲獎，與乙的說法正確矛盾，所以乙的說法是錯誤的，則丁也是錯誤的，所以2班獲獎，3班沒獲獎，進(jìn)而推斷出1班，4班中有且只有一個班獲獎，所以丙的說法正確，要使甲的說法也正確，則獲獎的班級為2班，4班，故選：B．【點評】本題主要考查了簡單的合情推理，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，是基礎(chǔ)題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．（5分）函數(shù)y＝sin2xcos2x的最小正周期是．【分析】先利用二倍角公式化簡函數(shù)，再求函數(shù)的周期．【解答】解：函數(shù)y＝sin2xcos2x＝，∴函數(shù)y＝sin2xcos2x的最小正周期是＝．故答案為：．【點評】本題考查二倍角公式，考查三角函數(shù)的周期，考查學(xué)生的計算能力，正確化簡函數(shù)是關(guān)鍵．12．（5分）若三個點M（3，2），N（2，2），Q（3，﹣2）中恰有兩個點在拋物線y2＝2px上，則該拋物線的方程為y2＝8x．【分析】利用已知條件，判斷M、Q在拋物線上，轉(zhuǎn)化求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：因為拋物線C：y2＝2px關(guān)于x軸對稱，M（3，2），N（2，2），Q（3，﹣2）兩點在C上，只能是M、Q兩點，代入坐標(biāo)易得p＝4，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x．故答案為：y2＝8x．【點評】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是基礎(chǔ)題．13．（5分）已知（1+2x）n的展開式中，二項式系數(shù)之和為32，則各項系數(shù)之和為243．【分析】由題意利用二項式系數(shù)之和為2n＝32，求得n＝5，再令x＝1，可得各項系數(shù)之和．【解答】解：∵（1+2x）n的展開式中，二項式系數(shù)之和為2n＝32，∴n＝5，再令x＝1，可得各項系數(shù)之和為3n＝35＝243，故答案為：243．【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知單位向量，的夾角為60°，﹣k與垂直，則k＝．【分析】利用向量垂直、向量數(shù)量積公式直接求解．【解答】解：∵兩個單位向量，的夾角為60°，﹣k與垂直，∴（）?＝﹣k＝1×1×cos60°﹣k×1＝0，解得k＝．故答案為：．【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查向量垂直、向量數(shù)量積公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．15．（5分）設(shè)m∈R，過定點M的直線l1：x+my﹣3m﹣1＝0與過定點N的直線l2：mx﹣y﹣3m+1＝0相交于點P，線段AB是圓C：（x+1）2+（y+1）2＝4的一條動弦．且|AB|＝2．給出下列四個結(jié)論：①l1一定垂直l2；②|PM|+|PN|的最大值為4；③點P的軌跡方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1；④||的最小值為4．其中所有正確結(jié)論的序號是①②．【分析】利用已知條件判斷兩條直線的位置關(guān)系判斷①；在△MNP中，設(shè)∠PMN＝θ，表示出|PM|+|PN|，利用三角函數(shù)的最值判斷②；求出P的軌跡，判斷③；推出軌跡，利用向量的平行四邊形法則，求解|+|的最小值判斷選項④．【解答】解：直線l1：x+my﹣3m﹣1＝0與l2：mx﹣y﹣3m+1＝0垂直，滿足1?m+m?（﹣1）＝0，所以①正確；l2過定點M（3，1），l1過定點N（1，3），在△MNP中，設(shè)∠PMN＝θ，則，所以②正確；由，可得點P軌跡方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2（x≠3）．所以③不正確；作CD⊥AB，則，∴點D軌跡方程為（x+1）2+（y+1）2＝2．∵，的最小值為，∴的最小值為，所以④不正確．故答案為：①②．【點評】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，考查軌跡方程的求法，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16．（14分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，點E為PC的中點，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝2，PA＝2．（Ⅰ）求證：CD⊥PD；（Ⅱ）求異面直線BC與AE所成角的大?。痉治觥浚á瘢┩茖?dǎo)出CD⊥AD，CD⊥PA，從而CD⊥平面PAD，由此能證明CD⊥PD；（Ⅱ）以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線BC與AE所成角．【解答】解：（Ⅰ）證明：∵在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，點E為PC的中點，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥AD，CD⊥PA，∵PA∩AD＝A，PA、AD?平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，∴CD⊥PD；（Ⅱ）以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B（2，0，0），C（2，2，0），A（0，0，0），P（0，0，2），E（1，，1），＝（0，2，0），＝（1，，1），設(shè)異面直線BC與AE所成角為θ，則cosθ＝＝＝，∴θ＝，∴異面直線BC與AE所成角為．【點評】本題考查線線垂直的證明，考查異面直線所成的角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．17．（14分）已知數(shù)列{an}是一個公比為q（q＞0，q≠1）的等比數(shù)列，a1＝1，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，再從條件①、②、③這三個條件中選擇一個作為已知，解答下列問題：（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）令bn＝2log2an﹣7，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn的最小值．條件①：4a2，3a3，2a4成等差數(shù)列；條件②：Sn＝2an﹣1；條件③：S3＝7．【分析】（Ⅰ）選①②③主要利用關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）利用對數(shù)的運算求出數(shù)列的和，進(jìn)一步利用二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）選條件①，設(shè)數(shù)列的公比為q，由于4a2，3a3，2a4成等差數(shù)列；所以，整理得6q2＝4q+2q3，解得q＝2或1（舍去），所以，選條件②：Sn＝2an﹣1①；當(dāng)n＝1時，a1＝1，當(dāng)n≥2時，Sn﹣1＝2an﹣1﹣1②所以①﹣②得：an＝2an﹣1，故數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，（首項符合通項），所以．選條件③：S3＝7．所以，整理得，解得q＝2，所以．（Ⅱ）令bn＝2log2an﹣7＝2（n﹣1）﹣7＝2n﹣9，所以Tn＝b1+b2+...+bn＝＝（n﹣4）2﹣16，當(dāng)n＝4時，最小值為﹣16．【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的求和的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（14分）為了提高中小學(xué)生的身體素質(zhì)，某地區(qū)開展了中小學(xué)生跳繩比賽系列活動．活動結(jié)束后，利用簡單隨機抽樣的方法，抽取了部分學(xué)生的成績，按照不同年齡段分組記錄如表：組別男生女生合格不合格合格不合格第一組90108020第二組88127228第三組60405842第四組80206238第五組82187822合計400100350150假設(shè)每個中小學(xué)生跳繩成績是否合格相互獨立．（Ⅰ）從樣本中的中小學(xué)生隨機抽取1人，求該同學(xué)跳繩成績合格的概率；（Ⅱ）從該地區(qū)眾多小學(xué)的男生、女生中各隨機抽取1人，記這2人中恰有X人跳繩成績合格，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）假設(shè)該地區(qū)中小學(xué)生跳繩成績合格的概率與表格中該地區(qū)中小學(xué)生跳繩成績合格的頻率相等，用“ξk＝1”表示第k組同學(xué)跳繩成績合格，“ξk＝0”表示第k組同學(xué)跳繩成績不合格（k＝1，2，3，4，5），試確定方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5中哪個最大？哪個最??？（只需寫出結(jié)論）【分析】（Ⅰ）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求出男女生跳繩合格的人數(shù)以及總的人數(shù)，利用古典概型的概率公式求解即可；（Ⅱ）根據(jù)相互獨立事件的概率求出分布列，由數(shù)學(xué)期望的計算公式求解即可；（Ⅲ）根據(jù)表格中所給的數(shù)據(jù)，由方差的意義即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)事件A為“從樣本中的中小學(xué)生隨機抽取1人，該同學(xué)跳繩成績合格”，樣本中男生跳繩成績合格的有：90+88+60+80+82＝400人，樣本中女生跳繩成績合格的有：80+72+58+62+78＝350人，樣本中男、女跳繩成績合格的共有：400+350＝750人，樣本中的男生總?cè)藬?shù)為：400+100＝500人，樣本中男、女生總?cè)藬?shù)為：500+500＝1000，所以P（A）＝＝；（Ⅱ）設(shè)事件B為“從該地區(qū)眾多中小學(xué)的男生中隨機抽取1人，該生跳繩成績合格”，則P（B）＝＝，設(shè)事件C為“從該地區(qū)眾多中小學(xué)的女生中隨機抽取1人，該生跳繩成績合格”，P（C）＝，由題意可知，X的可能取值為0，1，2，則P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列為：X012P所以X的數(shù)學(xué)期望E（X）＝0×+1×+2×＝；（Ⅲ）Dξ1最小，Dξ3最大．【點評】本題考查了古典概型概率公式的應(yīng)用，離散型隨機變量及其分布列和離散型隨機變量期望的求解，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．19．（15分）已知函數(shù)f（x）＝excosx，g（x）＝ax．（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)F（x）＝g（x）﹣f（x），當(dāng)a≥0時，求函數(shù)F（x）在區(qū)間[，]上的最大值和最小值；（Ⅲ）當(dāng)x∈[，]時，試寫出一個實數(shù)a的值，使得y＝f（x）的圖象在y＝g（x）的圖象下方．（不需要說明理由）【分析】（Ⅰ）先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出k＝f'（0）＝1，再求出切點坐標(biāo)，根據(jù)點斜式即可得到切線方程．（Ⅱ）先求出導(dǎo)函數(shù)F'（x）＝a+，所以當(dāng)x時，≥0，又a≥0，所以F（x）在區(qū)間[]上單調(diào)遞增，從而求出函數(shù)F（x）在區(qū)間[，]上的最大值和最小值．（Ⅲ）寫出a＞的任意一個實數(shù)即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f'（x）＝ex（cosx﹣sinx），k＝f'（0）＝1，又∵f（0）＝1，∴切點坐標(biāo)為（0，1），∴曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為：y＝x+1．（Ⅱ）F（x）＝ax﹣excosx，∴F'（x）＝a﹣excosx+exsinx＝a+ex（sinx﹣cosx）＝a+，當(dāng)x時，，此時≥0，又∵a≥0，∴F'（x）≥0，∴F（x）在區(qū)間[]上單調(diào)遞增，∴F（x）max＝F（）＝，F(xiàn)（x）min＝F（）＝﹣．（Ⅲ）a＝+1．（寫出a＞的任意一個實數(shù)即可）．【點評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，同時考查了學(xué)生的計算能力，是中檔題．20．（14分）已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率為，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C的右焦點，A為橢圓C上一點，且AF⊥x軸，|AF|＝．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過橢圓C上一點P（x0，y0）（y0≠0）的直線l：＝1與直線AF相交于點M，與直線x＝4相交于點N．證明：為定值．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意求得a，b，c的值，由此可得橢圓方程；（Ⅱ）求出M，N兩點的坐標(biāo)，表示出，再由P（x0，y0）是C上一點，得，代入化簡即可得證．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)F（c，0），A（c，y0），則，又因為，所以，因為，所以，解得，由，解得，所以橢圓方程為；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知直線l的方程為，即，因為直線AF的方程為x＝1，所以直線l與AF的交點為，直線l與直線x＝4的交點為，則①，又P（x0，y0）是C上一點，則，代入①得，＝，所以，所以為定值．【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查圓錐曲線中的證明問題，考查推理能力及運算能力，屬于中檔題．21．（14分）已知數(shù)集A＝{a1，a2，a3，…，an}（1≤a1＜a2＜a3＜…＜an，n≥2，n∈N*）．如果對任意的i，j（1≤i≤j≤n且i，j，n∈N*），aiaj與兩數(shù)中至少有一個屬于A，則稱數(shù)集A具有性質(zhì)P．（Ⅰ