留數(shù)在定積分計算中的應用

關于留數(shù)在定積分計算中的應用第1頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月一、形如的積分思想方法

:封閉路線的積分（圍道積分法）

.把定積分化為一個復變函數(shù)沿某條兩個重要工作:1)積分區(qū)域的轉化2)被積函數(shù)的轉化第2頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月當歷經時,繞行一周.z沿正向單位圓周從而積分化為沿正向單位圓周的積分：第3頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月z的有理函數(shù),且在單位圓周上分母不為零,滿足留數(shù)定理的條件.包圍在單位圓周內的諸孤立奇點.第4頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解故積分有意義.第5頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月第6頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月第7頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月因此第8頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月例2計算解令第9頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月極點為:(在單位圓內)(在單位圓外)第10頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月二、形如的積分若有理函數(shù)R(x)的分母至少比分子高兩次,并且分母在實軸上無孤立奇點.一般設分析可先討論最后令即可.第11頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

積分區(qū)域的轉化:取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線,使與區(qū)間一起構成一條封閉曲線,并使R(z)在其內部除有限孤立奇點外處處解析.(此法常稱為“圍道積分法”)1.

被積函數(shù)的轉化:(當z在實軸上的區(qū)間內變動時,R(z)=R(x))可取

f(z)=R(z).第12頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月O這里可補線(以原點為中心,R為半徑的在上半平面的半圓周)與一起構成封閉曲線C,R(z)在C及其內部(除去有限孤立奇點）處處解析.取R適當大,使R(z)所有的在上半平面內的極點都包在這積分路線內.根據留數(shù)定理得:z1z2z3-RRxznyCR第13頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月即從而第14頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月例3計算積分解

在上半平面有二級極點一級極點第15頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月例4計算積分解

在上半平面有兩個單極點：第17頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月三、形如的積分積分存在要求:R(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次,并且R(x)在實軸上無孤立奇點.z1z2z3zn-RROxyCR同前一類型:

補線與曲線C,使R(z)所有的在上半都包在這積分路線內.一起構成封閉平面內的極點第18頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月由留數(shù)定理:就可以求出積分第19頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月則約當引理：證第20頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月得由約當不等式（如右圖）第21頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月從而根據約當引理及以上的討論得：第22頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月將實虛部分開，可得積分第23頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月例5計算積分解

在上半平面只有二級極點又第24頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月注意以上兩型積分中被積函數(shù)中的R(z)在實軸上無孤立奇點.第25頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月例6計算積分解

因函數(shù)在實軸上有一級極點若被積函數(shù)中的R(z)在實軸上有孤立奇點，則第26頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月第27頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月小結與思考

本課應用“圍道積分法”計算了三類實積分,熟練掌握應用留數(shù)計