2022年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試卷及答案解析

第第PAGE1017頁(yè)2022年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試卷一、填空題（共7小題，每空2分，滿分20分）12分）已知﹣n＝5m+213，那么44＝ ．22分）如圖，以ABBA，分別以ACB內(nèi)部畫兩個(gè)小半圓，那么陰影部分的面積與大半圓面積的比等于．32分）加油站A和商店B在馬路MN的同一側(cè)（如圖，A到MN的距離大于B到米，一個(gè)行人PMN上行走，問(wèn)：當(dāng)PAPB的距離之差最大時(shí)，這個(gè)差等于米．44分）如圖，有 個(gè)正方形，有 個(gè)三角形．52分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P+1﹣1m為實(shí)數(shù)）不可能在第象限．64分）某校組織師生春游，如果單獨(dú)租用45座客車若干輛，剛好坐滿；如果單獨(dú)租用6030個(gè)座位．則該校去參加春游的人數(shù)為；若已4525030060451種方案需要租金元．72分）P是平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且△AB5△A＝2，則陰影部分的面積為．二、選擇題（共1小題，每小題4分，滿分2分）82分）如果abc均為正數(shù)，且+）152，（+）＝16，a+）＝17，那么abc的值是（ ）A．672 B．688 C．720 D．750三、解答題（共9小題，滿分100分）98分已知abc+b+c的值能被135+7b﹣22c的值是否一定能被13整除，為什么？1（8分ABCDA＝MNBEFABE，MEFN，NFCDS，SS

=？1 2 3（提示：連接AE、EN、NC和AC）

??1?? 319分）已知n是正整數(shù)，且2+1與3+1都是完全平方數(shù)．是否存在，使得5+3是n的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1（10分）3成為一個(gè)七位數(shù)；第二次升位是在首位數(shù)前加上2號(hào)碼升位后的八位數(shù)恰好是原六位數(shù)的電話號(hào)碼33110分如圖，一個(gè)9的方格圖，由粗線隔為9個(gè)橫豎各有319的數(shù)字，小鳴在第九行的空格中各填入了一個(gè)不大于9的正整數(shù)，使每行、每列和每個(gè)“小九宮”格內(nèi)的數(shù)字都不重復(fù)，然后小鳴將第九行的數(shù)99位數(shù)，簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．1（10分）平面上有6個(gè)點(diǎn)，其中任何3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，以這6個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可以構(gòu)造多少個(gè)不同的三角形？從這些三角形中選出一些，如果要求其中任何兩個(gè)三角形最多可以選出多少個(gè)三角形？（前兩問(wèn)不要求說(shuō)明理由）1（15分）壯壯、菲菲、路路出生時(shí)，他們的媽媽都是2736356個(gè)人105歲．請(qǐng)回答：是路路的媽媽？壯壯、菲菲和路路的年齡各是歲，歲，歲？1 11（15分）請(qǐng)回答：能否表示為3個(gè)互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和？能否表示為3個(gè)互異的8 8完全平方數(shù)的倒數(shù)的和？如果能，請(qǐng)給出一個(gè)例子；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．1（15分）相反方向跑，每人跑完第一圈到達(dá)出發(fā)點(diǎn)后立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時(shí)，乙的211的，甲跑第二圈時(shí)速度比第一圈提高了，乙跑第二圈時(shí)速度提高了3 3 5速度是甲速度 211的，甲跑第二圈時(shí)速度比第一圈提高了，乙跑第二圈時(shí)速度提高了3 3 5知甲、乙二人第二次相遇點(diǎn)距第一次相遇點(diǎn)190米，問(wèn)：這條橢圓形跑道長(zhǎng)多少米？2022年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試卷參考答案與試題解析一、填空題（共7小題，每空2分，滿分20分）12分）已知﹣n＝5m+213，那么44＝97 解：∵m﹣n＝﹣5，m2+n2＝13，∴（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn，∴mn＝﹣6，m4+n4＝132﹣2×36＝97．故答案為：97．22分）如圖，以ABBA，分別以ACB為直徑在大半圓4內(nèi)部畫兩個(gè)小半圓，那么陰影部分的面積與大半圓面積的比等于9 ．解：設(shè)AC＝2x，∵BC＝2AC，∴BC＝4x，AB＝6x，∴S =1??（3x）2?1π（2x）2?1??x2陰影部2 2 2＝2πx2∴陰影部分的面積與大半圓面積的比為：12πx2：??（3x）2＝4：9，24故答案為：．932分）加油站A和商店B在馬路MN的同一側(cè)（如圖，A到MN的距離大于B到MN米，一個(gè)行人PMN上行走，問(wèn)：當(dāng)PAPB的距離之差最大時(shí)，這個(gè)差等于7米．、、P此時(shí)三點(diǎn)構(gòu)成三角形．APBPAB．∴A、、P在同一直線上，∴PAPB的距離之差最大，AB44分）如圖，有95 個(gè)正方形，有155 個(gè)三角形．166+×5+4×4+3×3+2×2+1×1＝91．另外還有4個(gè)正方形．所以正方形的個(gè)數(shù)為91+4＝95；（2）①直角邊長(zhǎng)為1的三角形的個(gè)數(shù)為6×6×2＝72個(gè)．②直角邊長(zhǎng)為2的三角形8+6+2+8+6＝30個(gè)．③直角邊長(zhǎng)為3的直角三角形4+2+4＝10個(gè)④直角邊長(zhǎng)為4的直角三角形有2個(gè)．⑤斜邊長(zhǎng)為2的三角形12+3+1+4＝20個(gè)．⑥斜邊長(zhǎng)為4的三角形1+2+1＝4個(gè)．⑦1～6列依次還有3+3+3+2+3+3＝17個(gè)．所以三角形的個(gè)數(shù)為72+30+10+2+20+4+17＝155故答案為：95；155．52分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Pm+1m1m為實(shí)數(shù)）不可能在第二象限．（）當(dāng)（+）0

{ ，所以m＞0或m＜﹣1，因此??+??+m1＞1或﹣＜﹣，即Pm+﹣1可能經(jīng)過(guò)第一或四象限．（2）m（m+1）＜0

{ ，所以因此﹣2＜m﹣??+??+1＜﹣，即Pm+1m1P（+m1不經(jīng)過(guò)第二象限．64分）某校組織師生春游，如果單獨(dú)租用45座客車若干輛，剛好坐滿；如果單獨(dú)租用6030個(gè)座位．則該校去參加春游的人數(shù)為270；若已4525030060451種方案需要租金1400 元．??解：設(shè)該校去參加春游的人數(shù)為a人，則有45

=??+3060

+1，解得：a＝270設(shè)租用45座客車x輛，則租用60座客車（x+1）輛，由題意45270÷45＝6250×6＝150060要（270+30）÷60＝5300×5＝1500元，則有：{250??+300(??+＜2445??+60(??+1)≥270∵x為正整數(shù)∴x＝2

，解得：2≤x 11即租45座客車260座客車3252+30×140（元270，1400．△ 72分）如圖P是平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且SAB5SA＝2，則陰影部分的面積為3 ．△ 解：∵S

PCD=1S

ACD，△ △ 2 △△ △ ∴SACD﹣SPCD＝S△ △ △ △ △ 則SACD﹣SPCD﹣S△ △ △ △ ＝S△ ＝5﹣2，＝3．故答案為：3．二、選擇題（共1小題，每小題4分，滿分2分）82分）如果abc均為正數(shù)，且+）152，（+）＝16，a+）＝17，那么abc的值是（ ）A．672 B．688 C．720 D．750解：∵a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170，∴ab+ac＝152 ①，bc+ba＝162 ②，ca+cb＝170 ③，∴①+②+③，并化簡(jiǎn)，得：ab+bc+ca＝242④，∴bc?ca?ab＝90×80×72，即（abc）2＝7202，∵a，b，c均為正數(shù)，∴abc＝720．故選：C．三、解答題（共9小題，滿分100分）98分已知abc+b+c的值能被135+7b﹣22c13x，y，z，t是整數(shù)，并且假設(shè)a+b﹣27+2+3）+1（y+zt（1）a，b，c的系數(shù)，應(yīng)當(dāng)有7x+13y＝52x+13z＝7（2）3x+13t＝﹣22，取x＝﹣3，可以得到y(tǒng)＝2，z＝1，t＝﹣1，則有3（7a+2b+3c）13（2a+b﹣c）13整除，5a+7b﹣22c13整除．1（8分ABCDA＝MNBEFABE，MEFN，NFCDS，SS

=？1 2 3（提示：連接AE、EN、NC和AC）

??1?? 3解：如圖a所示：連接AE、EN和NC，設(shè)四邊形AECN的面積為S，∵AM＝MN＝ND，BE＝EF＝FC，△ △ △ ∴SAEM＝SMEN，SCNF＝SEFN△ △ △ AEM CNF 上面兩個(gè)式子相加得S +S ＝AEM CNF △ △AECNS＝2S2=

+S =1S，SAEM CNF S．連接AC，如圖b所示：∴CE＝2BE，NA＝2DN，

2 △ △ 2∴S =1 ，S =1 ，△ABE

SAEC CDN SCNA2△ △ 2△上面兩個(gè)式子相加得S

=1×四邊形AECN的面積=1所以，S

△ABE+S +S

+S

2 =1 1△AEM

??

△ABE1??

1

2 =2 = ．??1?? 3答：=1

?? 2．??1?? 3 219分）已知n是正整數(shù)，且2+1與3+1都是完全平方數(shù)．是否存在，使得5+3是n的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：如果2n+1＝k2，3n+1＝m2，則5+34（n+）﹣n+）＝﹣＝（2﹣．5n+3＞（3n+1）+2＝m2+2＞2m+1，所以m1（否則+＝m＝+1．從而n+＝2+（2）是合數(shù)．1（10分）3成為一個(gè)七位數(shù)；第二次升位是在首位數(shù)前加上2號(hào)碼升位后的八位數(shù)恰好是原六位數(shù)的電話號(hào)碼33abcdef2a3bcdefbcdef＝x由題意得33ax＝2a3x，即33（100000a+x）＝20300000+1000000a+x，化簡(jiǎn)得32＝2030000﹣230000（≤a，≤100000的整數(shù)0≤x＝3125（203﹣23a）＜100000，解得171＜23a≤203，所以a＝8．于是x＝3125（203﹣23×8）＝59375．故所求的電話號(hào)碼為859375．110分如圖，一個(gè)9的方格圖，由粗線隔為9個(gè)橫豎各有319的數(shù)字，小鳴在第九行的空格中各填入了一個(gè)不大于9正整數(shù)，使每行、每列和每個(gè)“小九宮”格內(nèi)的數(shù)字都不重復(fù)，然后小鳴將第九行的數(shù)99位數(shù)，簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．解：填數(shù)的方法是排除法，用（m，n）表示位于第m行和第n列的方格．396左下角的“小九宮”格中的9應(yīng)當(dāng)填在格子中；125，所以，在圖右下角的“小九宮”格中的數(shù)字5填在（9，3）中；第七行、第八行有數(shù)字，圖6中下部的“小九宮”格的數(shù)字6應(yīng)當(dāng)填在7397，7應(yīng)當(dāng)填在，；3自然就填在，9）填法見圖．九位數(shù)是：495186273．1（10分）平面上有6個(gè)點(diǎn)，其中任何3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，以這6個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可以構(gòu)造多少個(gè)不同的三角形？從這些三角形中選出一些，如果要求其中任何兩個(gè)三角形最多可以選出多少個(gè)三角形？（前兩問(wèn)不要求說(shuō)明理由）（）先從6個(gè)點(diǎn)中選取1個(gè)做三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，651個(gè)做三角形的第二個(gè)頂點(diǎn)，54143個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，1個(gè)三角形．3×2×1＝6種，6×5×46個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可以構(gòu)造3×2×1

=20個(gè)不同的三角形；3個(gè)頂點(diǎn)，所以，62個(gè)沒有公共頂點(diǎn)的三角形；BCD、F65個(gè)三角形，1515個(gè)英文大寫字母．6A6個(gè)頂點(diǎn)互不相同，6個(gè)頂點(diǎn)的字母不相同．A5個(gè)不同的字母．5個(gè)三角形，它們兩兩沒有公共邊．又顯然△ABC，△ADE，△BDF和△CEF44個(gè)三角形，其中任何兩個(gè)三角形都沒有公共邊．1（15分）壯壯、菲菲、路路出生時(shí)，他們的媽媽都是27歲，某天三位媽媽王雪、劉芳36356個(gè)人1055歲，3歲，4歲？解：設(shè)劉芳的年齡為x歲．①36歲，是個(gè)偶數(shù)，他們的年齡差也是一個(gè)偶數(shù)，而路路和媽媽的年齡的差是奇數(shù)，因此路路的媽媽不是劉芳．29菲菲的媽媽不是劉芳，所以，壯壯的媽媽是劉芳．②壯壯和媽媽劉芳的年齡的和為（2x﹣27）路路（36﹣x）歲，他的媽媽應(yīng)當(dāng)是（36﹣x+27）歲，和為（99﹣2x）菲菲（x﹣29）歲，她的媽媽應(yīng)當(dāng)是（x﹣29+27）歲，和為（2x﹣31）由于6個(gè)人共105（﹣2+99﹣）（2﹣3）＝10．③x＝32293364歲；路路和王雪的年齡的和是35歲，所以王雪31歲．答：王雪是路路的媽媽；壯壯5歲、菲菲3歲和路路4歲．故填：王雪，5，3，4．1 11（15分）請(qǐng)回答：能否表示為3個(gè)互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和？能否表示為3個(gè)互異的8 8完全平方數(shù)的倒數(shù)的和？如果能，請(qǐng)給出一個(gè)例子；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．+1 1 1+解（）由于 +

=1，2 3 61=1 1 1 1 1 1 1故有 ×( + + )= + + ．8 8 2 3 6 16 24 481所以，能表示為3個(gè)互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和（表示法不唯一．8（2）不妨設(shè)a＜b＜c，現(xiàn)在的問(wèn)題就是尋找整數(shù)a，b，c，=1 1=8滿足 ??28

+1??2

+1??2由a＜b＜c，則有，=1 1=8從而 ??28

+1??2

+1??21 1

3??2，所以a2＜24．又有＞，8 ??2所以a2＞8，故a2＝9或16．1若a2＝9，則有

+1

1?1=1，??2

??2

8 9 721 1 2由于 ＞，并且72 ??2 ??2

1＞ ??2

1??2

=1，72所以b2＞72，72＜b2＜144．121．將b2＝81100121??2

72??2

，沒有一個(gè)是完全平方數(shù)，

1 1 1 1

??2?72a2＝9時(shí)，8

??2

??2

??

無(wú)解．1若a2＝16，則

+1=1?1 = 1．??2

??2 8 16 16類似地，可得：16＜b2＜32，即b2＝25，此時(shí)，??2=

16??2

=16×25??2?