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河南省信陽市普通高中2023年高三第一次聯(lián)考數(shù)學試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,且,則的值為()A. B. C. D.2.若,則()A. B. C. D.3.已知集合,集合,則().A. B.C. D.4.設是虛數(shù)單位,若復數(shù),則()A. B. C. D.5.如圖,在三棱錐中,平面,,現(xiàn)從該三棱錐的個表面中任選個,則選取的個表面互相垂直的概率為()A. B. C. D.6.已知,則()A. B. C. D.7.已知為拋物線的準線,拋物線上的點到的距離為,點的坐標為,則的最小值是()A. B.4 C.2 D.8.已知直線y=k(x+1)(k>0)與拋物線C相交于A,B兩點,F(xiàn)為C的焦點,若|FA|=2|FB|,則|FA|=()A.1 B.2 C.3 D.49.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,其中左視圖中三角形為等腰直角三角形,則該幾何體外接球的體積是()A. B.C. D.10.已知雙曲線的漸近線方程為,且其右焦點為,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.11.已知向量,,=(1,),且在方向上的投影為,則等于()A.2 B.1 C. D.012.已知,,,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)在區(qū)間上恰有4個不同的零點,則正數(shù)的取值范圍是______.14.已知函數(shù)的圖象在處的切線斜率為,則______.15.在的展開式中,的系數(shù)為______用數(shù)字作答16.若橢圓:的一個焦點坐標為,則的長軸長為_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知橢圓的右焦點為,,為橢圓上的兩個動點,周長的最大值為8.(Ⅰ)求橢圓的標準方程;(Ⅱ)直線經(jīng)過,交橢圓于點,,直線與直線的傾斜角互補,且交橢圓于點,,,求證:直線與直線的交點在定直線上.18.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性并指出相應單調(diào)區(qū)間;(2)若,設是函數(shù)的兩個極值點,若,且恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.19.(12分)已知,函數(shù)的最小值為1.(1)證明:.(2)若恒成立,求實數(shù)的最大值.20.(12分)已知為各項均為整數(shù)的等差數(shù)列,為的前項和,若為和的等比中項,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求最大的正整數(shù),使得.21.(12分)如圖,在四棱錐中,側棱底面,,,,是棱的中點.(1)求證:平面;(2)若,點是線段上一點,且,求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)某大型公司為了切實保障員工的健康安全,貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關要求,決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次普查,為此需要抽驗1000人的血樣進行化驗,由于人數(shù)較多,檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①:將每個人的血分別化驗,這時需要驗1000次.方案②:按個人一組進行隨機分組,把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗,如果每個人的血均為陰性,則驗出的結果呈陰性,這個人的血只需檢驗一次(這時認為每個人的血化驗次);否則,若呈陽性,則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗,這樣,該組個人的血總共需要化驗次.假設此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為,且這些人之間的試驗反應相互獨立.(1)設方案②中,某組個人的每個人的血化驗次數(shù)為,求的分布列;(2)設,試比較方案②中,分別取2,3,4時,各需化驗的平均總次數(shù);并指出在這三種分組情況下,相比方案①,化驗次數(shù)最多可以平均減少多少次?(最后結果四舍五入保留整數(shù))

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由及得到、,進一步得到,再利用兩角差的正切公式計算即可.【詳解】因為,所以,又,所以,,所以.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)誘導公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應用,考查學生的基本計算能力,是一道基礎題.2、D【解析】

直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結果.【詳解】∵,∴,故選D【點睛】本題考查的知識要點:三角函數(shù)關系式的恒等變變換,同角三角函數(shù)關系式的應用,主要考查學生的運算能力和轉化能力,屬于基礎題型.3、A【解析】

算出集合A、B及,再求補集即可.【詳解】由,得,所以,又,所以,故或.故選:A.【點睛】本題考查集合的交集、補集運算,考查學生的基本運算能力,是一道基礎題.4、A【解析】

結合復數(shù)的除法運算和模長公式求解即可【詳解】∵復數(shù),∴,,則,故選:A.【點睛】本題考查復數(shù)的除法、模長、平方運算,屬于基礎題5、A【解析】

根據(jù)線面垂直得面面垂直,已知平面,由,可得平面,這樣可確定垂直平面的對數(shù),再求出四個面中任選2個的方法數(shù),從而可計算概率.【詳解】由已知平面,,可得,從該三棱錐的個面中任選個面共有種不同的選法,而選取的個表面互相垂直的有種情況,故所求事件的概率為.故選:A.【點睛】本題考查古典概型概率,解題關鍵是求出基本事件的個數(shù).6、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即當?shù)讛?shù)大于1時單調(diào)遞增,當?shù)讛?shù)大于零小于1時單調(diào)遞減,對選項逐一驗證即可得到正確答案.【詳解】因為,所以,所以是減函數(shù),又因為,所以,,所以,,所以A,B兩項均錯;又,所以,所以C錯;對于D,,所以,故選D.【點睛】這個題目考查的是應用不等式的性質和指對函數(shù)的單調(diào)性比較大小,兩個式子比較大小的常用方法有:做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性質得到大小關系,有時可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值,進而得到大小關系.7、B【解析】

設拋物線焦點為,由題意利用拋物線的定義可得,當共線時,取得最小值,由此求得答案.【詳解】解:拋物線焦點,準線,過作交于點,連接由拋物線定義,

,

當且僅當三點共線時,取“=”號,∴的最小值為.

故選:B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義、標準方程,以及簡單性質的應用,體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想,屬于中檔題.8、C【解析】

方法一:設,利用拋物線的定義判斷出是的中點,結合等腰三角形的性質求得點的橫坐標,根據(jù)拋物線的定義求得,進而求得.方法二:設出兩點的橫坐標,由拋物線的定義,結合求得的關系式,聯(lián)立直線的方程和拋物線方程,寫出韋達定理,由此求得,進而求得.【詳解】方法一:由題意得拋物線的準線方程為,直線恒過定點,過分別作于,于,連接,由,則,所以點為的中點,又點是的中點,則,所以,又所以由等腰三角形三線合一得點的橫坐標為,所以,所以.方法二:拋物線的準線方程為,直線由題意設兩點橫坐標分別為,則由拋物線定義得又①②由①②得.故選:C【點睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查直線和拋物線的位置關系,屬于中檔題.9、C【解析】

作出三視圖所表示幾何體的直觀圖,可得直觀圖為直三棱柱,并且底面為等腰直角三角形,即可求得外接球的半徑,即可得外接球的體積.【詳解】如圖為幾何體的直觀圖,上下底面為腰長為的等腰直角三角形,三棱柱的高為4,其外接球半徑為,所以體積為.故選:C【點睛】本題考查三視圖還原幾何體的直觀圖、球的體積公式,考查空間想象能力、運算求解能力,求解時注意球心的確定.10、B【解析】試題分析:由題意得,,所以,,所求雙曲線方程為.考點:雙曲線方程.11、B【解析】

先求出,再利用投影公式求解即可.【詳解】解:由已知得,由在方向上的投影為,得,則.故答案為:B.【點睛】本題考查向量的幾何意義,考查投影公式的應用,是基礎題.12、C【解析】

利用二倍角公式,和同角三角函數(shù)的商數(shù)關系式,化簡可得,即可求得結果.【詳解】,所以,即.故選:C.【點睛】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應用和弦化切化簡三角函數(shù),難度較易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、;【解析】

求出函數(shù)的零點,讓正數(shù)零點從小到大排列,第三個正數(shù)零點落在區(qū)間上,第四個零點在區(qū)間外即可.【詳解】由,得,,,,∵,∴,解得.故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)的零點,根據(jù)正弦函數(shù)性質求出函數(shù)零點,然后題意,把正數(shù)零點從小到大排列,由于0已經(jīng)是一個零點,因此只有前3個零點在區(qū)間上.由此可得的不等關系,從而得出結論,本題解法屬于中檔題.14、【解析】

先對函數(shù)f(x)求導,再根據(jù)圖象在(0,f(0))處切線的斜率為﹣4,得f′(0)=﹣4,由此可求a的值.【詳解】由函數(shù)得,∵函數(shù)f(x)的圖象在(0,f(0))處切線的斜率為﹣4,,.故答案為4【點睛】本題考查了根據(jù)曲線上在某點切線方程的斜率求參數(shù)的問題,屬于基礎題.15、1【解析】

利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項,令,求出展開式中的系數(shù).【詳解】二項展開式的通項為令得的系數(shù)為故答案為1.【點睛】利用二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具.16、【解析】

由焦點坐標得從而可求出,繼而得到橢圓的方程,即可求出長軸長.【詳解】解:因為一個焦點坐標為,則,即,解得或由表示的是橢圓,則,所以,則橢圓方程為所以.故答案為:.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程,考查了橢圓的幾何意義.本題的易錯點是忽略,從而未對的兩個值進行取舍.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.【解析】

(Ⅰ)由橢圓的定義可得,周長取最大值時,線段過點,可求出,從而求出橢圓的標準方程;(Ⅱ)設直線,直線,,,,.把直線與直線的方程分別代入橢圓的方程,利用韋達定理和弦長公式求出和,根據(jù)求出的值.最后直線與直線的方程聯(lián)立,求兩直線的交點即得結論.【詳解】(Ⅰ)設的周長為,則,當且僅當線段過點時“”成立.,,又,,橢圓的標準方程為.(Ⅱ)若直線的斜率不存在,則直線的斜率也不存在,這與直線與直線相交于點矛盾,所以直線的斜率存在.設,,,,,.將直線的方程代入橢圓方程得:.,,.同理,.由得,此時.直線,聯(lián)立直線與直線的方程得,即點在定直線.【點睛】本題考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關系,考查學生的邏輯推理能力和運算能力,屬于難題.18、(1)答案見解析(2)【解析】

(1)先對函數(shù)進行求導得,對分成和兩種情況討論,從而得到相應的單調(diào)區(qū)間;(2)對函數(shù)求導得,從而有,,,三個方程中利用得到.將不等式的左邊轉化成關于的函數(shù),再構造新函數(shù)利用導數(shù)研究函數(shù)的最小值,從而得到的取值范圍.【詳解】解:(1)由,,則,當時,則,故在上單調(diào)遞減;當時,令,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上所述:當時,在上單調(diào)遞減;當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)∵,,由得,∴,,∴∵∴解得.∴.設,則,∴在上單調(diào)遞減;當時,.∴,即所求的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,考查分類討論思想和數(shù)形結合思想,求解雙元問題的常用思路是:通過換元或消元,將雙元問題轉化為單元問題,然后利用導數(shù)研究單變量函數(shù)的性質.19、(1)2;(2)【解析】分析:(1)將轉化為分段函數(shù),求函數(shù)的最小值(2)分離參數(shù),利用基本不等式證明即可.詳解:(Ⅰ)證明:,顯然在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,即.(Ⅱ)因為恒成立,所以恒成立,當且僅當時,取得最小值,所以,即實數(shù)的最大值為.點睛:本題主要考查含兩個絕對值的函數(shù)的最值和不等式的應用,第二問恒成立問題分離參數(shù),利用基本不等式求解很關鍵,屬于中檔題.20、(1)(2)1008【解析】

(1)用基本量求出首項和公差,可得通項公式;(2)用裂項相消法求得和,然后解不等式可得.【詳解】解:(1)由題得,即解得或因為數(shù)列為各項均為整數(shù),所以,即(2)令所以即,解得所以的最大值為1008【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和公式,考查裂項相消法求數(shù)列的和.在等差數(shù)列和等比數(shù)列中基本量法是解題的基本方法.21、(1)證明見解析;(2)【解析】

(1)的中點,連接,,證明四邊形是平行四邊形可得,故而平面;(2)以為原點建立空間坐標系,求出平面的法向量,計算與的夾角的余弦值得出答案.【詳解】(1)證明:取的中點,連接,,,分別是,的中點,,,又,,,,四邊形是平行四邊形,,又平面,平面,平面.(2)解:,,又,故,以為原點,以,,為坐標軸建立空間直角坐標系,則,0,,,0,,,2,,,0,,,2,,是的中點,是的三等分點,,1,,,,,,,,,0,,,2,,設平面的法向量為,,,則,即,令可得,,,,,直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了線面平行的判定,空間向量與直線與平面所成角的計算,屬于中檔題.22、(1)分布列見解析;(2)406.【解析】

(1)計算個人的血混合后呈陰性反應的概率為,呈陽性反應的概率為,得到分布列.(2)計算,代入數(shù)據(jù)

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