概率論第七章大數(shù)和中心極限定理

解(a)設(shè)每個月支付 費為X,則由已知可得EX=350,由不等式可 P(X≥400) = 由已知可得VarX=302,由切不等式可P(X≥400)=P(X?350≥50)≤P(|X?350|≥50)

V =502=

P(X≥400)=P

X?350

50)=1?

5)≈ MxM時x1,MP(X≥M)

Zf(x)dx

Z∞

f(x)dx

1Z

xf M 證明P(X>M)=R∞dF(x)≤1R∞xdF(x),Schwarz 1Z

1s

s

1s

s

1q xdF(x)≤ x2dF dF(x)≤ x2dF

dF(x)=

[1?F(M q MP(X>M)≤1[1?F(MM證明P(X(1)≥M)=P(min{X1X2Xn}≥M)=P(X1≥MX2≥MXn≥M)=P(X1≥M)P(X2≥M)···PXn≥M)=Pn(X1≥M由題7.3知P(X1≥M)≤1 P(X1≥M)EX2, 1

2 EX2P(X1≥M)P(X(1)≥M)≤P(X1≥M)≤(

P(X1≥M = 1M

)2解EX=R∞xf(x)dx=R∞xm+1e?xdx=1Γ(m2)=m R∞

0R∞xm+2

EX

0xf(x)dx=

exdx=1Γ(m+3)=(m+1)(m+VarX=EX2?(EX

m+

–(m+1)2=m+)=又

+P(0<X<2(m+ =P(?(m+1)<X?(m+1)<m+=P(|X?(m+1)|<m+=1?P(|X?(m+1)|≥m+由切不等式得P(|X?(m+1)|≥m+1)≤VarX2 m+12 1

故P(0<X<2(m+1))=1?P(|X?(m+1)|≥m+1)≥1 = 解(a)Ep?E1PX)=1P

=EX=p n

n

Xj)= VarXj=1nVarX1= n2 Ep?=E(2p?1?1)=2Ep?1?1=2p1?nn(b)證明由 V p(1?p p+1(1?p+1 1V =1V =

=4nε2?(|? 1=

=1?p2

μ=

=

=EX1= σ?2= P(XX)2= PX2?nX2n?1 n?1 Eσ?2= nX2? X)n?1 n

n? n EX2 [VarXn—

n?1 n? [VarX+(EX)2]

nn— n

n? 2 n?

+μ)?n?1(n+μF(?x)=Fn(x)=1n

I[Xj≤EF(?x1EnPI[Xx]=1PnEI[XxnP

≤x)=F n 解X1X2獨立同分布,g(X1)g(X2)由強大數(shù)定理可得limn?1ng(X)=Eg(X)=0.6元

XX獨立同分布

=μ,故由強大數(shù)定理可得

n

→

?

=k=1n?1→

k

n?1

故 =a +b +c→aμ+bμ+c=(a+b)μ+ 解EsinX1

R22sinxdx2

EcosX1

R222cosxdx 22π π X1X2獨立同分布,sinX1sinX2獨立同分布,cosX1cosX2獨立同分布,由強大數(shù)nnππsinX1+sinX2+···+sinXn→EsinX1= cosX1+cosX2+...+cosXn→EcosX1=nnππ

nY=sinX1+sinX2+···+sinXn=(sinX1+sinX2+···+sinn

=2/π= cos

+···+cos

(cos

+cos

+···+cos 5解Xii天他用于等車的時間,Xi～E(1)i=12303X1X2X3035立03 3i33 ) )≈1? )=1?

Xi>24×60)=P 24×6?5 24×6?5×303 )=Φ(√15)5× 5× 5× 解設(shè)Xi為甲某第i天用于上網(wǎng)的時間,則X1X2x365獨立同分布,且EXi5VarXi=42i=12365,5X

1P Xi<1700)=P

<1700?√5×365)≈Φ(1700?√5×365)= 1√25)=1? )

4× 4× 4× 4× 4×解

(Xi

1i0iP

1)=0.97P(X=0)=0.03i=125000XX

獨立

5000

的人數(shù),EX1=0.97VarX1=0.97×500

ii=1

Xi<4880)=P(

≤√4879?5000×0.97)≈Φ(48√79+0.5?5000×0.97)Φ(√29.5)≈

解設(shè)應(yīng)n個選民,(Xi

1i0iP(Xi=1pP(Xi=01pqp?1Pnip的估計,Ep?=pVarp?=pq由題意可知P(|

nXi?p|≤0.01)=

n nii由中心極限定理可得P(| nXi?p|≤0.01)=P(|

≤0.01)≈

0.01

0.010.01n

Φ0010.995,故0.01Φ?1(0.9952.58,n2582pq≤2582(p+q)22582×1 √ 16641個選民 解因X1,X2,...,Xn與Y1,Y2,...,Ym相互獨立,故 n

m

Yk獨立,

σm定理可知mPn

Xj→N(μ1,σ1 m

Yk

N(μ2,21n

—1PnY

N(μ—μ,σ21+σ2n m 2 解(a)N

Xi

iS

XiX

4.2ES=ENEX1=18×(3.22+2.82)=

×3.2= VarS=λ(μ2+σ2)P(S<50)=P(S?57.6<50?57.6)≈Φ(50?57.6)=Φ(?0.42)=解令

Xi

(1i0iXi獨立同分布,P(Xi=1)=0.0010.080.9990.001=1.079P(Xi=0)=1?P(Xi=1)=1?1.079×10?3=則EXi=1.079×10?3,VarXi=1.079×10?3× Xi表示次品的個數(shù),由例題4.3可P(6

<1000)=P(6X≤999)≈Φ(999+0.5?106.79?)= )≈√ √

10

(anp?1SnB(np1n較大時4.1q p?+ ?q?/n)=P(p1?p?1 1.28)=P( 1.28)=P((p1

28p

≥?1.28)≈1Φ(?1.28)=Φ(1.28)=(b)p=2p1q1,p?=2p?1?1,故當(dāng)n充分大時,由(a)可 P(p

p?1q?1/n)=P(2p1?1≤2p?1?1+

由已qp?1115q?1q85p?2p?1130

121500×85×1≈

2001 +2

(b)P(p0.2395)=從而以大約90%的概率保證服用過的運動員的真實比例p≤p=020.1=0.02,Xi為第一稿中的第i頁的錯誤個數(shù),Yi為第三稿完成后第i頁的錯誤個數(shù),則P(Yi=k)

P(Xi=n)P(Yi=k|Xi=n=k X6e?6Ck0.02k×n=k ∞6=

e?6 0.02k×n=k k!(n?Yi～

6n?k×0.98n?k(n?k)!XX

Y,Y,...,

0

表示第三稿完成后總的錯誤, 300同分布

300同分布

布的可加性知Y～P(0.12×300)=P

00

i

≥30?36≥√i i

√36)≈1?Φ(?1)=Φ(1)=證明(1)XX

獨立同分布,

~P(1),S

n ～P(n),

√limP(S<n)=limP(Sn?√

<0)=Φ(0)=1n

lime?nn?1nk=

P

<n)

XP

k=k)k

X

ne?n, k=0 同理可得lime?nnPnk=limP(S≤n)=limPSnn 證明?ε>0P(|ξn|>ε)=P

n|

nε)=1?P(|

| |由已知可得limP(|ξn|ε)=lim[1P

nξn|

nε)]=1?lim

nε)

nε)]=1?1=ξnd

證明?ε0,limP(n(μ?ε)≤Sn≤n(μ+ε)) limP(?nε≤Sn?nμ≤

Sn? limP( ≤√ ≤√

nV

nV

nV lim[Φ(

)? nV=Φ(∞)?

nV 證明記Sn=X1+···+Xn,M>0,XM=min(XiM),XM 且EXM<∞,故由強大數(shù)定律可得SM/n→ a.s,其中SM=XM+···+XM,因為Xi≥ 故

liminfSn/n≥limn→∞SM/n=EXM 由單調(diào)收斂定理可得EXM↑EX1= a.s當(dāng)M↑∞,在（1）式中令M↑∞有l(wèi)iminfSn/n≥1故Sn/n→

解對?ε>0和An,當(dāng)n→∞時P(An,|ηn|>ε)≤P(|ηn|>ε)=o(1)→一方面P(ξnηn≤x)≤P(ξn≤xε|ηn|≤εP(ξnηn≤