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內(nèi)蒙古土默特左旗第一中學(xué)2023年招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題模擬試卷(二)注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的最大值為,最小正周期為,則有序數(shù)對為()A. B. C. D.2.設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù),前項和為,,且,則()A.128 B.65 C.64 D.633.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且,若數(shù)列是遞增數(shù)列,則的取值范圍為()A. B. C. D.4.若(),,則()A.0或2 B.0 C.1或2 D.15.等差數(shù)列的前項和為,若,,則數(shù)列的公差為()A.-2 B.2 C.4 D.76.下列四個圖象可能是函數(shù)圖象的是()A. B. C. D.7.復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i8.直角坐標(biāo)系中,雙曲線()與拋物線相交于、兩點,若△是等邊三角形,則該雙曲線的離心率()A. B. C. D.9.已知向量與的夾角為,定義為與的“向量積”,且是一個向量,它的長度,若,,則()A. B.C.6 D.10.已知,則“m⊥n”是“m⊥l”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知函數(shù)的最小正周期為的圖象向左平移個單位長度后關(guān)于軸對稱,則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.12.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積等于()cm3A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知橢圓的左、右焦點分別為、,過橢圓的右焦點作一條直線交橢圓于點、.則內(nèi)切圓面積的最大值是_________.14.如圖所示,在邊長為4的正方形紙片中,與相交于.剪去,將剩余部分沿,折疊,使、重合,則以、、、為頂點的四面體的外接球的體積為________.15.已知實數(shù)滿約束條件,則的最大值為___________.16.設(shè)(其中為自然對數(shù)的底數(shù)),,若函數(shù)恰有4個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)一年之計在于春,一日之計在于晨,春天是播種的季節(jié),是希望的開端.某種植戶對一塊地的個坑進行播種,每個坑播3粒種子,每粒種子發(fā)芽的概率均為,且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立.對每一個坑而言,如果至少有兩粒種子發(fā)芽,則不需要進行補播種,否則要補播種.(1)當(dāng)取何值時,有3個坑要補播種的概率最大?最大概率為多少?(2)當(dāng)時,用表示要補播種的坑的個數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.18.(12分)如圖,已知在三棱錐中,平面,分別為的中點,且.(1)求證:;(2)設(shè)平面與交于點,求證:為的中點.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點為極點,x軸的非負半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;(2)直線(t為參數(shù))與曲線C交于A,B兩點,求最大時,直線l的直角坐標(biāo)方程.20.(12分)已知是拋物線:的焦點,點在上,到軸的距離比小1.(1)求的方程;(2)設(shè)直線與交于另一點,為的中點,點在軸上,.若,求直線的斜率.21.(12分)已知函數(shù),函數(shù)在點處的切線斜率為0.(1)試用含有的式子表示,并討論的單調(diào)性;(2)對于函數(shù)圖象上的不同兩點,,如果在函數(shù)圖象上存在點,使得在點處的切線,則稱存在“跟隨切線”.特別地,當(dāng)時,又稱存在“中值跟隨切線”.試問:函數(shù)上是否存在兩點使得它存在“中值跟隨切線”,若存在,求出的坐標(biāo),若不存在,說明理由.22.(10分)隨著時代的發(fā)展,A城市的競爭力、影響力日益卓著,這座創(chuàng)新引領(lǐng)型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無不吸引著無數(shù)懷揣夢想的年輕人前來發(fā)展,目前A城市的常住人口大約為1300萬.近日,某報社記者作了有關(guān)“你來A城市發(fā)展的理由”的調(diào)查問卷,參與調(diào)查的對象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:來A城市發(fā)展的理由人數(shù)合計自然環(huán)境1.森林城市,空氣清新2003002.降水充足,氣候怡人100人文環(huán)境3.城市服務(wù)到位1507004.創(chuàng)業(yè)氛圍好3005.開放且包容250合計10001000(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),預(yù)測400萬25~44歲年齡的人中,選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有多少人;(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,從這6人中再選取3人發(fā)放紀(jì)念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”的概率;(3)在選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性;在選擇“人文環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的700人中有400名男性;請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)?自然環(huán)境人文環(huán)境合計男女合計附:,.P()0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】函數(shù)(為輔助角)∴函數(shù)的最大值為,最小正周期為故選B2、D【解析】

根據(jù),得到,即,由等比數(shù)列的定義知數(shù)列是等比數(shù)列,然后再利用前n項和公式求.【詳解】因為,所以,所以,所以數(shù)列是等比數(shù)列,又因為,所以,.故選:D【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的前n項和公式,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.3、D【解析】

先根據(jù)已知條件求解出的通項公式,然后根據(jù)的單調(diào)性以及得到滿足的不等關(guān)系,由此求解出的取值范圍.【詳解】由已知得,則.因為,數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,所以,則,化簡得,所以.故選:D.【點睛】本題考查數(shù)列通項公式求解以及根據(jù)數(shù)列單調(diào)性求解參數(shù)范圍,難度一般.已知數(shù)列單調(diào)性,可根據(jù)之間的大小關(guān)系分析問題.4、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的模的運算列方程,解方程求得的值.【詳解】由于(),,所以,解得或.故選:A【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)模的運算,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標(biāo)和的性質(zhì)求得,再由等差數(shù)列通項公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項和為,則則故選:B【點睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

首先求出函數(shù)的定義域,其函數(shù)圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到,因為為奇函數(shù),即可得到函數(shù)圖象關(guān)于對稱,即可排除A、D,再根據(jù)時函數(shù)值,排除B,即可得解.【詳解】∵的定義域為,其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到,∵為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,∴的圖象關(guān)于點成中心對稱.可排除A、D項.當(dāng)時,,∴B項不正確.故選:C【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識圖能力,一般根據(jù)四個選擇項來判斷對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì),即可排除三個不符的選項,屬于中檔題.7、B【解析】分析:化簡已知復(fù)數(shù)z,由共軛復(fù)數(shù)的定義可得.詳解:化簡可得z=∴z的共軛復(fù)數(shù)為1﹣i.故選B.點睛:本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算,涉及共軛復(fù)數(shù),屬基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)題干得到點A坐標(biāo)為,代入拋物線得到坐標(biāo)為,再將點代入雙曲線得到離心率.【詳解】因為三角形OAB是等邊三角形,設(shè)直線OA為,設(shè)點A坐標(biāo)為,代入拋物線得到x=2b,故點A的坐標(biāo)為,代入雙曲線得到故答案為:D.【點睛】求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式,結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范圍).9、D【解析】

先根據(jù)向量坐標(biāo)運算求出和,進而求出,代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意,則,,得,由定義知,故選:D.【點睛】此題考查向量的坐標(biāo)運算,引入新定義,屬于簡單題目.10、B【解析】

構(gòu)造長方體ABCD﹣A1B1C1D1,令平面α為面ADD1A1,底面ABCD為β,然后再在這兩個面中根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)倪x取直線為m,n即可進行判斷.【詳解】如圖,取長方體ABCD﹣A1B1C1D1,令平面α為面ADD1A1,底面ABCD為β,直線=直線。若令A(yù)D1=m,AB=n,則m⊥n,但m不垂直于若m⊥,由平面平面可知,直線m垂直于平面β,所以m垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線∴m⊥n是m⊥的必要不充分條件.故選:B.【點睛】本題考點有兩個:①考查了充分必要條件的判斷,在確定好大前提的條件下,從m⊥n?m⊥?和m⊥?m⊥n?兩方面進行判斷;②是空間的垂直關(guān)系,一般利用長方體為載體進行分析.11、D【解析】

先由函數(shù)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質(zhì)得出函數(shù)的解析式,從而得出的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,可得選項.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期是,所以,即,所以,的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)解析式為,由于其圖象關(guān)于軸對稱,所以,又,所以,所以,所以,因為的遞增區(qū)間是:,,由,,得:,,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為().故選:D.【點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性,對稱性,單調(diào)性,圖象的平移,在進行圖象的平移時,注意自變量的系數(shù),屬于中檔題.12、D【解析】解:根據(jù)幾何體的三視圖知,該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體,結(jié)合圖中數(shù)據(jù),計算它的體積為:V=V三棱柱+V半圓柱=×2×2×1+?π?12×1=(6+1.5π)cm1.故答案為6+1.5π.點睛:根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體,結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計算它的體積即可.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】令直線:,與橢圓方程聯(lián)立消去得,可設(shè),則,.可知,又,故.三角形周長與三角形內(nèi)切圓的半徑的積是三角形面積的二倍,則內(nèi)切圓半徑,其面積最大值為.故本題應(yīng)填.點睛:圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種:(1)幾何法:若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決,這就是幾何法.(2)代數(shù)法:若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù),則可首先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個函數(shù)的最值,求函數(shù)最值的常用方法有配方法,判別式法,重要不等式及函數(shù)的單調(diào)性法等.14、【解析】

將三棱錐置入正方體中,利用正方體體對角線為三棱錐外接球的直徑即可得到答案.【詳解】由已知,將三棱錐置入正方體中,如圖所示,,故正方體體對角線長為,所以外接球半徑為,其體積為.故答案為:.【點睛】本題考查三棱錐外接球的體積問題,一般在處理特殊幾何體的外接球問題時,要考慮是否能將其置入正(長)方體中,是一道中檔題.15、8【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移計算得到答案.【詳解】根據(jù)約束條件,畫出可行域,圖中陰影部分為可行域.又目標(biāo)函數(shù)表示直線在軸上的截距,由圖可知當(dāng)經(jīng)過點時截距最大,故的最大值為8.故答案為:.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.16、【解析】

求函數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,作出函數(shù)的圖象,設(shè),若函數(shù)恰有4個零點,則等價為函數(shù)有兩個零點,滿足或,利用一元二次函數(shù)根的分布進行求解即可.【詳解】當(dāng)時,,由得:,解得,由得:,解得,即當(dāng)時,函數(shù)取得極大值,同時也是最大值,(e),當(dāng),,當(dāng),,作出函數(shù)的圖象如圖,設(shè),由圖象知,當(dāng)或,方程有一個根,當(dāng)或時,方程有2個根,當(dāng)時,方程有3個根,則,等價為,當(dāng)時,,若函數(shù)恰有4個零點,則等價為函數(shù)有兩個零點,滿足或,則,即(1)解得:,故答案為:【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,利用換元法進行轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)根的分布以及.求的導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的的單調(diào)性和極值是解決本題的關(guān)鍵,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)當(dāng)或時,有3個坑要補播種的概率最大,最大概率為;(2)見解析.【解析】

(1)將有3個坑需要補種表示成n的函數(shù),考查函數(shù)隨n的變化情況,即可得到n為何值時有3個坑要補播種的概率最大.(2)n=1時,X的所有可能的取值為0,1,2,3,1.分別計算出每個變量對應(yīng)的概率,列出分布列,求期望即可.【詳解】(1)對一個坑而言,要補播種的概率,有3個坑要補播種的概率為.欲使最大,只需,解得,因為,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,;所以當(dāng)或時,有3個坑要補播種的概率最大,最大概率為.(2)由已知,的可能取值為0,1,2,3,1.,所以的分布列為01231的數(shù)學(xué)期望.【點睛】本題考查了古典概型的概率求法,離散型隨機變量的概率分布,二項分布,主要考查簡單的計算,屬于中檔題.18、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】

(1)要做證明,只需證明平面即可;(2)易得∥平面,平面,利用線面平行的性質(zhì)定理即可得到∥,從而獲得證明【詳解】證明:(1)因為平面,平面,所以.因為,所以.又因為,平面,平面,所以平面.又因為平面,所以.(2)因為平面與交于點,所以平面.因為分別為的中點,所以∥.又因為平面,平面,所以∥平面.又因為平面,平面平面,所以∥,又因為是的中點,所以為的中點.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理以及線面平行的性質(zhì)定理,考查學(xué)生的邏輯推理能力,是一道容易題.19、(1);(2).【解析】

(1)利用消去參數(shù),得到曲線的普通方程,再將,代入普通方程,即可求出結(jié)論;(2)由(1)得曲線表示圓,直線曲線C交于A,B兩點,最大值為圓的直徑,直線過圓心,即可求出直線的方程.【詳解】(1)由曲線C的參數(shù)方程(為參數(shù)),可得曲線C的普通方程為,因為,所以曲線C的極坐標(biāo)方程為,即.(2)因為直線(t為參數(shù))表示的是過點的直線,曲線C的普通方程為,所以當(dāng)最大時,直線l經(jīng)過圓心.直線l的斜率為,方程為,所以直線l的直角坐標(biāo)方程為.【點睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化、直線與曲線的位置關(guān)系,考查化歸和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】

(1)由拋物線定義可知,解得,故拋物線的方程為;(2)設(shè)直線:,聯(lián)立,利用韋達定理算出的中點,又,所以直線的方程為,求出,利用求解即可.【詳解】(1)設(shè)的準(zhǔn)線為,過作于,則由拋物線定義,得,因為到的距離比到軸的距離大1,所以,解得,所以的方程為(2)由題意,設(shè)直線方程為,由消去,得,設(shè),,則,所以,又因為為的中點,點的坐標(biāo)為,直線的方程為,令,得,點的坐標(biāo)為,所以,解得,所以直線的斜率為.【點睛】本題主要考查拋物線的定義,直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的運算求解能力.涉及拋物線的弦的中點,斜率問題時,可采用韋達定理或“點差法”求解.21、(1),單調(diào)性見解析;(2)不存在,理由見解析【解析】

(1)由題意得,即可得;求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再根據(jù)、、、分類討論,分別求出、的解集即可得解;(2)假設(shè)滿足條件的、存在,不妨設(shè),且,由題意得可得,令(),構(gòu)造函數(shù)(),求導(dǎo)后證明即可得解.【詳解】(1)由題可得函數(shù)的定義域為且,由,整理得..(?。┊?dāng)時,易知,,時.故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(ⅱ)當(dāng)時,令,解得或,則①當(dāng),即時,在上恒成立,則在上遞增.②當(dāng),即

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