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內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市2023屆高三下學(xué)期質(zhì)量調(diào)研考試(一模)數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知變量x,y間存在線性相關(guān)關(guān)系,其數(shù)據(jù)如下表,回歸直線方程為,則表中數(shù)據(jù)m的值為()變量x0123變量y35.57A.0.9 B.0.85 C.0.75 D.0.52.設(shè),均為非零的平面向量,則“存在負數(shù),使得”是“”的A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.是定義在上的增函數(shù),且滿足:的導(dǎo)函數(shù)存在,且,則下列不等式成立的是()A. B.C. D.4.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積()A. B. C. D.5.已知復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.在中,為邊上的中點,且,則()A. B. C. D.7.設(shè)是虛數(shù)單位,,,則()A. B. C.1 D.28.已知,則的大小關(guān)系為A. B. C. D.9.已知集合,,,則集合()A. B. C. D.10.某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示,下列說法中錯誤的是().A.收入最高值與收入最低值的比是B.結(jié)余最高的月份是月份C.與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D.前個月的平均收入為萬元11.已知數(shù)列滿足,則()A. B. C. D.12.已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過圓的圓心,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.從編號為,,,的張卡片中隨機抽取一張,放回后再隨機抽取一張,則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為_____________.14.已知雙曲線(a>0,b>0)的兩個焦點為、,點P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點,且,tan∠PF2F1=﹣2,則雙曲線的離心率為_____.15.已知、為正實數(shù),直線截圓所得的弦長為,則的最小值為__________.16.“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管,以深入學(xué)習(xí)宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容,立足全體黨員、面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺,現(xiàn)已日益成為老百姓了解國家動態(tài),緊跟時代脈搏的熱門app.該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”和“視聽學(xué)習(xí)”兩個學(xué)習(xí)板塊和“每日答題”、“每周答題”、“專項答題”、“挑戰(zhàn)答題”四個答題板塊.某人在學(xué)習(xí)過程中,將六大板塊依次各完成一次,則“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間最多間隔一個答題板塊的學(xué)習(xí)方法有________種.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知等比數(shù)列,其公比,且滿足,和的等差中項是1.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)若,是數(shù)列的前項和,求使成立的正整數(shù)的值.18.(12分)已知函數(shù).(1)若恒成立,求的取值范圍;(2)設(shè)函數(shù)的極值點為,當(dāng)變化時,點構(gòu)成曲線,證明:過原點的任意直線與曲線有且僅有一個公共點.19.(12分)設(shè)函數(shù),,.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個零點,().(i)求的取值范圍;(ii)求證:隨著的增大而增大.20.(12分)已知函數(shù)的最大值為,其中.(1)求實數(shù)的值;(2)若求證:.21.(12分)已知.(Ⅰ)當(dāng)時,解不等式;(Ⅱ)若的最小值為1,求的最小值.22.(10分)己知的內(nèi)角的對邊分別為.設(shè)(1)求的值;(2)若,且,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

計算,代入回歸方程可得.【詳解】由題意,,∴,解得.故選:A.【點睛】本題考查線性回歸直線方程,解題關(guān)鍵是掌握性質(zhì):線性回歸直線一定過中心點.2、B【解析】

根據(jù)充分條件、必要條件的定義進行分析、判斷后可得結(jié)論.【詳解】因為,均為非零的平面向量,存在負數(shù),使得,所以向量,共線且方向相反,所以,即充分性成立;反之,當(dāng)向量,的夾角為鈍角時,滿足,但此時,不共線且反向,所以必要性不成立.所以“存在負數(shù),使得”是“”的充分不必要條件.故選B.【點睛】判斷p是q的什么條件,需要從兩方面分析:一是由條件p能否推得條件q;二是由條件q能否推得條件p,定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法,解題時注意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嗝}是否正確.3、D【解析】

根據(jù)是定義在上的增函數(shù)及有意義可得,構(gòu)建新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得為上的增函數(shù),從而可得正確的選項.【詳解】因為是定義在上的增函數(shù),故.又有意義,故,故,所以.令,則,故在上為增函數(shù),所以即,整理得到.故選:D.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,一般地,數(shù)的大小比較,可根據(jù)數(shù)的特點和題設(shè)中給出的原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系構(gòu)建新函數(shù),本題屬于中檔題.4、C【解析】

畫出幾何體的直觀圖,利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可.【詳解】解:幾何體的直觀圖如圖,是正方體的一部分,P?ABC,正方體的棱長為2,

該幾何體的表面積:.故選C.【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積,判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.5、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運算,求得,再求其對應(yīng)點即可判斷.【詳解】,故其對應(yīng)點的坐標(biāo)為.其位于第四象限.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算,以及復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo),屬綜合基礎(chǔ)題.6、A【解析】

由為邊上的中點,表示出,然后用向量模的計算公式求模.【詳解】解:為邊上的中點,,故選:A【點睛】在三角形中,考查中點向量公式和向量模的求法,是基礎(chǔ)題.7、C【解析】

由,可得,通過等號左右實部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解:,,解得:.故選:C.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算,考查了復(fù)數(shù)相等的涵義.對于復(fù)數(shù)的運算類問題,易錯點是把當(dāng)成進行運算.8、D【解析】

分析:由題意結(jié)合對數(shù)的性質(zhì),對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解:由題意可知:,即,,即,,即,綜上可得:.本題選擇D選項.點睛:對于指數(shù)冪的大小的比較,我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,但很多時候,因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同,不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較.這就必須掌握一些特殊方法.在進行指數(shù)冪的大小比較時,若底數(shù)不同,則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù),然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷.對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較,利用圖象法求解,既快捷,又準(zhǔn)確.9、D【解析】

根據(jù)集合的混合運算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】,故可得.故選:D.【點睛】本題考查集合的混合運算,屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】由圖可知,收入最高值為萬元,收入最低值為萬元,其比是,故項正確;結(jié)余最高為月份,為,故項正確;至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同,故項正確;前個月的平均收入為萬元,故項錯誤.綜上,故選.11、C【解析】

利用的前項和求出數(shù)列的通項公式,可計算出,然后利用裂項法可求出的值.【詳解】.當(dāng)時,;當(dāng)時,由,可得,兩式相減,可得,故,因為也適合上式,所以.依題意,,故.故選:C.【點睛】本題考查利用求,同時也考查了裂項求和法,考查計算能力,屬于中等題.12、B【解析】

求出圓心,代入漸近線方程,找到的關(guān)系,即可求解.【詳解】解:,一條漸近線,故選:B【點睛】利用的關(guān)系求雙曲線的離心率,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個,由此能求出概率.【詳解】解:從編號為,,,的張卡片中隨機抽取一張,放回后再隨機抽取一張,基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個,分別為:,,,,,,,.所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.故答案為.【點睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)正弦定理得,根據(jù)余弦定理得2PF1?PF2cos∠F1PF23,聯(lián)立方程得到,計算得到答案.【詳解】∵△PF1F2中,sin∠PF1F2═,sin∠PF1F2═,∴由正弦定理得,①又∵,tan∠PF2F1=﹣2,∴tan∠F1PF2=﹣tan(∠PF2F1+∠PF1F2),可得cos∠F1PF2,△PF1F2中用余弦定理,得2PF1?PF2cos∠F1PF23,②①②聯(lián)解,得,可得,∴雙曲線的,結(jié)合,得離心率.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.15、【解析】

先根據(jù)弦長,半徑,弦心距之間的關(guān)系列式求得,代入整理得,利用基本不等式求得最值.【詳解】解:圓的圓心為,則到直線的距離為,由直線截圓所得的弦長為可得,整理得,解得或(舍去),令,又,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,則.故答案為:.【點睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系,考核基本不等式求最值,關(guān)鍵是對目標(biāo)式進行變形,變成能用基本不等式求最值的形式,也可用換元法進行變形,是中檔題.16、【解析】

先分間隔一個與不間隔分類計數(shù),再根據(jù)捆綁法求排列數(shù),最后求和得結(jié)果.【詳解】若“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊相鄰,則學(xué)習(xí)方法有種;若“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間間隔一個答題板塊的學(xué)習(xí)方法有種;因此共有種.故答案為:【點睛】本題考查排列組合實際問題,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由等差數(shù)列中項性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式,解方程可得首項和公比,可得所求通項公式;(Ⅱ),由數(shù)列的錯位相減法求和可得,解方程可得所求值.【詳解】(Ⅰ)等比數(shù)列,其公比,且滿足,和的等差中項是即有,解得:(Ⅱ)由(Ⅰ)知:則相減可得:化簡可得:,即為解得:【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用,考查數(shù)列的錯位相減法求和,以及方程思想和運算能力,屬于中檔題.18、(1);(2)證明見解析【解析】

(1)由恒成立,可得恒成立,進而構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)可判斷出的單調(diào)性,進而可求出的最小值,令即可;(2)由,可知存在唯一的,使得,則,,進而可得,即曲線的方程為,進而只需證明對任意,方程有唯一解,然后構(gòu)造函數(shù),分、和三種情況,分別證明函數(shù)在上有唯一的零點,即可證明結(jié)論成立.【詳解】(1)由題意,可知,由恒成立,可得恒成立.令,則.令,則,,,在上單調(diào)遞增,又,時,;時,,即時,;時,,時,單調(diào)遞減;時,單調(diào)遞增,時,取最小值,.(2)證明:由,令,由,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可知,存在唯一的,使得,故存在唯一的極值點,則,,,曲線的方程為.故只需證明對任意,方程有唯一解.令,則,①當(dāng)時,恒成立,在上單調(diào)遞增.,,,存在滿足時,使得.又單調(diào)遞增,所以為唯一解.②當(dāng)時,二次函數(shù),滿足,則恒成立,在上單調(diào)遞增.,,存在使得,又在上單調(diào)遞增,為唯一解.③當(dāng)時,二次函數(shù),滿足,此時有兩個不同的解,不妨設(shè),,,列表如下:00↗極大值↘極小值↗由表可知,當(dāng)時,的極大值為.,,,,,..下面來證明,構(gòu)造函數(shù),則,當(dāng)時,,此時單調(diào)遞增,,時,,,故成立.,存在,使得.又在單調(diào)遞增,為唯一解.所以,對任意,方程有唯一解,即過原點任意的直線與曲線有且僅有一個公共點.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查不等式恒成立問題,考查利用單調(diào)性研究圖象交點問題,考查學(xué)生的計算求解能力與推理論證能力,屬于難題.19、(1)見解析;(2)(i)(ii)證明見解析【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù),分類討論即可求解;(2)(i)結(jié)合(1)的單調(diào)性分析函數(shù)有兩個零點求解參數(shù)取值范圍;(ii)設(shè),通過轉(zhuǎn)化,討論函數(shù)的單調(diào)性得證.【詳解】(1)因為,所以當(dāng)時,在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,的解集為,的解集為,所以的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為;(2)(i)由(1)可知,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,至多一個零點,不符題意,當(dāng)時,因為有兩個零點,所以,解得,因為,且,所以存在,使得,又因為,設(shè),則,所以單調(diào)遞增,所以,即,因為,所以存在,使得,綜上,;(ii)因為,所以,因為,所以,設(shè),則,所以,解得,所以,所以,設(shè),則,設(shè),則,所以單調(diào)遞增,所以,所以,即,所以單調(diào)遞增,即隨著的增大而增大,所以隨著的增大而增大,命題得證.【點睛】此題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,通過等價轉(zhuǎn)化證明與零點相關(guān)的命題.20、(1)1;(2)證明見解析.【解析】

(1)利用零點分段法將表示為分段函數(shù)的形式,由此求得的最大值,進而求得的值.(2)利用(1)的結(jié)論,將轉(zhuǎn)化為,求得的取值范圍,利用換元法,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,證得,由此證得不等式成立.【詳解】(1)當(dāng)時,取得最大值.(2)證明:由(1)得,,,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,令,則在上單調(diào)遞減當(dāng)時,.【點睛】本小題主要考查含有絕對值的函數(shù)的最值的求法,考查利用基本不等式進行證明,屬于中檔題.21、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)當(dāng)時,令,作出的圖像,結(jié)合圖像即可求解;(Ⅱ)結(jié)合絕對值三角不等式可得,再

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