ANSYS平面問題單元分析

Planeproblems：Elementanalysis

什么是平面問題？Whatisaplaneproblem?

什么是單元？Whatisanelement?

什么是單元分析？Whatisanelementanalysis?平面問題單元分析

總結(jié)Summary

彈性力學研究對象都為空間問題，但在一定條件下，有些可簡化為平面問題來研究，從而大大減少計算工作量。

什么是平面問題?

研究對象例：齒輪、發(fā)動機連桿等沿厚度均布且平行板面tabF1F2幾何形狀：薄板t<<b受力狀況：平行于板面且沿厚度均布，板面上不受力。應力特點：只平行板面的三個應力分量不為零平面應力問題FRFR齒輪平行xoy平面例：花鍵、攔水大壩等平面應力問題中σz=0但εz≠0平面應變問題中εz=0但σz≠0平面應力問題和平面應變問題統(tǒng)稱為平面問題。平面應變問題練習注意幾何形狀：長柱體l>>a受力狀況：平行于柱體橫截面且沿長度均布.應變特點：只平行板面的三個應變分量不為零練習判斷下述問題是否平面應力或平面應變問題?PPPPqqqqqFqqFpqW6StressComponents正應力拉為正壓為負正面上的剪應力沿著坐標軸正向時為正，反之為負。負面上的剪應力相反什么是單元？

一個單元是組成彈性體的部分連續(xù)質(zhì)點的集合。discretizationGeometryFiniteElementMeshElementsNodes說明：1、單元之間僅在節(jié)點處連接；2、外力被等效到有關節(jié)點上；3、各單元內(nèi)的幾何、物理特性是均勻的（uniform）無限個自由度有限個自由度不是越細越好。應力集中處單元應劃細些。單元幾何形狀應避免畸形。不同厚度、不同材料劃在不同單元。有集中載荷處或分布載荷突變點一般應安排節(jié)點。劃分單元應注意：平面單元的形狀不是越細越好OxyAOxA123456789yOxyA152521OxAy198173節(jié)點數(shù)100%909592581精確解應力集中處劃細些幾何形狀有變化（有應力集中）的地方單元要密由密到疏平緩過渡避免畸形單元OxyA112xOyA112A112OxyOxy112AIIIIIIⅣⅤxOyA112長寬比100%9095148精確解2356785ⅤⅣIIIIII不同厚度、不同材料劃在不同單元有集中載荷處或分布載荷突變點一般應安排節(jié)點能剖分的單元形狀由程序決定，非邊緣節(jié)點一般不能只屬于一個單元單元剖分完后，將全部單元和節(jié)點編號，從1開始不得遺漏或重復。Fig.1Fig.2Fig.3Fig.5Fig.4ijmpijmpijmpijmpijmp剖分練習q孔t1t2t2E2μ2E1μ1pF

什么是單元分析？單元分析：求單元節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關系。應當牢記：有限元法的目標是求物體的受力反應，而這必須從求單個單元的受力反應開始。單元分析——單元節(jié)點力向量——單元節(jié)點位移向量單元分析：建立映射若已知要求，應先求出單元剛度矩陣什么是節(jié)點力？什么是節(jié)點位移？首先以線性彈簧單元為例進行單元分析：LinearSpring其它單元的分析沒有這樣直接。下面對平面問題的單元進行分析。平面問題的單元分析單元內(nèi)任一點應力單元內(nèi)任一點應變單元內(nèi)任一點位移深入分析一下：只有Step1的關系未知！怎么辦？？？Step1Step2Step3Step4虛功原理物理關系幾何關系？ELEMENTStep1關系的合理假設——單元位移模式由單元節(jié)點位移{δ}e

求單元內(nèi)任意一點位移{f}

，可在單元范圍內(nèi)用一簡單函數(shù)形式得到。以一維Spring單元為例：則：或?qū)懗晒?jié)點位移的插值函數(shù)的形式：稱為形狀函數(shù)*單元位移模式：在一個單元的局部范圍內(nèi)，把某一點的位移近似地表達為其坐標的函數(shù)，這表達式稱為~。*形函數(shù)(shapefunctions)：表示單元內(nèi)部的位移分布形狀。FiniteElementInterpolation(2-nodeelement)

再以平面三角形單元為例：最后得到：其中形函數(shù)為：見下頁或?qū)懗啥x：單元內(nèi)任一點位移被表達為其坐標的函數(shù)。選?。焊鶕?jù)巴斯卡三角形對稱原則。

關于位移模式

(Aboutdisplacementpatterns)條件：⑴位移模式必須能反映剛體位移；⑵位移模式必須能反映常變形；⑶位移模式必須能保證相鄰單元之間位移的連續(xù)性。完備單元對于連續(xù)性提出的要求只涉及位移模式本身，不涉及其導數(shù)，稱為C0連續(xù)，要求一階導數(shù)連續(xù)的稱為C1連續(xù)。在有限元法中滿足第一和第二條件的單元稱為完備單元，滿足第三條件的單元稱為協(xié)調(diào)單元或保續(xù)單元。第一和第二條件是有限元法收斂的必要條件，加上第三條構成充要條件。FAB(1)(2)(1)(2)(1)(2)(2)常數(shù)項——剛體位移；一次項——常應變；邊界曲線可唯一地由節(jié)點確定——兩相鄰單元位移連續(xù)。

關于形函數(shù)

(AboutShapeFunctions)這是位移模式的另一種表達形式式中n——單元節(jié)點數(shù)；

Ni——i節(jié)點的形函數(shù)，它表示當節(jié)點i發(fā)生單位位移時單元內(nèi)部位移的分布形狀。形函數(shù)的性質(zhì)：⑴本點為１，他點為０：⑵各形函數(shù)之和為１：⑶某邊上點的形函數(shù)與第三點的坐標無關．1ijm1ijmj1im面積坐標：面積坐標是一種自然坐標，定義如下mijP(x,y)面積坐標即形函數(shù)面積坐標可滿足形函數(shù)的性質(zhì)，試證之。利用形函數(shù)的性質(zhì)證明平面三角形單元位移模式能滿足連續(xù)性條件：imnj②①jm邊上任一點的形函數(shù)②單元中：①單元中：jm邊上任一點的位移：無論用哪個單元計算公共邊上任一點的位移都是相同的，即位移連續(xù)。Step2幾何關系——應變與位移應變：單位長度的改變AdydxPOA’B’BP’即將位移模式代入幾何關系得：或?qū)憺椋簬缀尉仃?應變矩陣）常數(shù)因此，三節(jié)點三角形單元也叫常應變單元。Step3物理關系Forlinearelasticisotropicmaterials(Hooke'slaw)

：Planestress

得：：平面應力彈性矩陣Planestrain

得：平面應變彈性矩陣：應力矩陣：Hooke‘slaw

胡克定律平面應力問題的應力矩陣平面應變問題的應力矩陣將上式中的彈性常數(shù)E、μ換成即可。Step4虛功原理

thePrincipleofVirtualWork——單元節(jié)點力向量——單元節(jié)點虛位移向量——單元內(nèi)一點的應力向量——單元內(nèi)一點的虛應變向量虛功原理：厚度=t外力虛功內(nèi)力虛功因為有所以有代入因虛位移是任意的，等號兩邊可消去至此,完成平面問題單元分析！即三節(jié)點三角形單元的單元剛度矩陣：

Summary---單元剛度矩陣特點以三節(jié)點三角形單元的單剛為例物理意義：單位節(jié)點位移分量所引起的節(jié)點力分量。如k16

是m節(jié)點有單位垂直位移而其它節(jié)點無位移時，在i節(jié)點上所引起的水平節(jié)點力。功的互等定理：若力Fr和Fs分別作用于彈性體兩點r和s上，F(xiàn)r在s引起的位移為Δsr，F(xiàn)s在r點引起的位移為Δrs

，則有對單元也適用。如vmi——Ui

在節(jié)點m的垂直方向引起的位移uim——Vm

在節(jié)點i的水平方向引起的位移由剛度系數(shù)物理意義知：所以有：對稱性：由彈性力學中功的互等定理決定。發(fā)生位移的節(jié)點號豎直位移引起位移的節(jié)點力水平位移豎直節(jié)點力節(jié)點號水平節(jié)點力奇異矩陣單元剛度矩陣是奇異矩陣，（行列式值等于零），證明如下：當節(jié)點力{F}e為零時,單元仍可作剛體移動，即{δ}e可以不等于零。此時單元剛度方程是一個有非零解的齊次方程，而齊次方程有非零解，它的系數(shù)矩陣應為奇異矩陣。物理意義：在無約束的條件下單元可作剛體位移分塊矩陣單元剛度矩陣只與單元形狀尺寸及材料有關，與位置無關（與節(jié)點順序有關）ijmmijijmijm練習求單元剛度矩陣,并比較:i(0,0)j(1,0)m(0,1)i(1,0)j(2,0)m(1,1)i(1,0)j(0,0)m(1,1)i(1,1)j(0,1)m(1,0)i(1,0)j(1,1)m(0,0)思考：單元剛度矩陣與哪些因素有關？μ=0時練習：一桿單元，其內(nèi)部任意一點的位移是坐標的線性函數(shù)，試導出其形態(tài)矩陣和單元剛度矩陣。ijE，A，l練習：一矩形單元邊長2a和2b，坐標原點取在中心，位移模式為雙線性，求單元內(nèi)任意一點的位移與角節(jié)點位移的關系(即確定位移模式）。abba4(-1,1)3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)yxo練習：平面三節(jié)點三角形單元的位移、應變和應力具有什么特征？答：位移呈線性變化，在公共邊界上兩單元位移協(xié)調(diào)（連續(xù)）；單元內(nèi)的應力應變?yōu)槌Ａ?，在公共邊界上有突變現(xiàn)象。練習：試討論以下單元位移模式的連續(xù)性，三