等比數(shù)列前項(xiàng)和

關(guān)于等比數(shù)列前項(xiàng)和第1頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月回顧舊知1.等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：注意：當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列{an}為常數(shù)列.

2.求等比數(shù)列通項(xiàng)公式的方法：觀察歸納法、累乘法。3.回想一下解等比數(shù)列題的一些技巧與方法.第2頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

國(guó)際象棋起源于古印度，關(guān)于國(guó)際象棋還有一個(gè)傳說(shuō)。國(guó)王獎(jiǎng)賞發(fā)明者，問(wèn)他有什么要求，他答道：“在棋盤第一個(gè)格放1顆麥粒，在第二個(gè)格放2顆麥粒，在第三個(gè)格放4顆麥粒，在第四個(gè)格放8顆麥粒。以此類推，每個(gè)格子放的麥粒數(shù)是前一個(gè)格子的2倍，直到64個(gè)格子。國(guó)王覺得這太容易了，就欣然答應(yīng)了他的要求，你認(rèn)為國(guó)王能滿足他的要求嗎？新課導(dǎo)入設(shè)問(wèn)：同學(xué)們，你們知道他要的是多少小麥嗎？第3頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1+2+4+8+…+263=18446744073709551615（粒）已知麥子每千粒約為40克，則折合約為737869762948382064克≈7378.7億噸.經(jīng)過(guò)計(jì)算，我們得到麥粒總數(shù)是那么這是怎么計(jì)算的呢？其實(shí)是一個(gè)比較大小的問(wèn)題，則實(shí)質(zhì)上是求等比數(shù)列前n項(xiàng)和的問(wèn)題.第4頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月探討問(wèn)題發(fā)明者要求的麥粒總數(shù)是：S64=1+2+22+23+…+263①上式有何特點(diǎn)？如果①式兩端同時(shí)乘以2得:2S64=2+22+23+…+263+264②

比較①、②兩式，有什么關(guān)系呢？第5頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月S64=1+2+22+23+…+263①2S64=2+22+23+…+263+264②

兩式上下相對(duì)的項(xiàng)完全相同，把兩式相減，就可以消去相同的項(xiàng)，則②－①得：S64=264-1=18446744073709551615設(shè)問(wèn)：縱觀全過(guò)程，①式兩邊為什么要乘以2呢？第6頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及推導(dǎo)在等比數(shù)列{an}中首先要考慮兩種情況：當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an=？我們視目以待，看接下來(lái)的解答:當(dāng)q=1時(shí)，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an

=a1+a1+a1+……+a1+a1

=na1共n個(gè)a1設(shè)等比數(shù)列，首項(xiàng)為,公比為如何求前n項(xiàng)和？第7頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

S1=a1S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2

=a1(1+q+q2)S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3

=a1(1+q+q2+q3)分析：第8頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1①qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn②

①-②得：Sn(1—q)=a1—a1qn這就是乘公比錯(cuò)位相減法求和當(dāng)q≠1時(shí)，第9頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和公式為Sn=na1q=1q≠1注意點(diǎn)1.注意q=1與q≠1兩種情況.2.q≠1時(shí)，第10頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月通過(guò)上面的講解，對(duì)于等差數(shù)列的相關(guān)量a1、d、n、an、sn，一般確定幾個(gè)量就可以確定其他量？a1、an、nan、sna1、d、ana1、d、na1、an、snan、d、nan、sn、nn、snd、snd、na1、sna1、d第11頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1等比數(shù)列{an}的公比q=，a8=1，求它的前8項(xiàng)和S8.解法1：因?yàn)閍8=a1q7，所以因此

這是公式法求和第12頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解法2：把原數(shù)列的第8項(xiàng)當(dāng)作第一項(xiàng)，第1項(xiàng)當(dāng)作第8項(xiàng)，即順序顛倒，也得到一個(gè)等比數(shù)列{bn}，其中b1=a8=1，q=2，所以前8項(xiàng)和第13頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月求和個(gè)分析：數(shù)列9，99，999，……，不是等比數(shù)列，不能直接用公式求和，但將它轉(zhuǎn)化為10－1，100－1，1000－1，……，就可以解決了。例2第14頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月原式=(10－1)+(100－1)+(1000－1)+…+(10n－1)

=(10+100+1000+……+10n)－n解：第15頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3已知數(shù)列的前五項(xiàng)是（1）寫出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；（2）求該數(shù)列的前n項(xiàng)和分析：此數(shù)列的特征是兩部分構(gòu)成，其中是整數(shù)部分，又是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列.是分?jǐn)?shù)部分，和等比數(shù)列，所以此方法稱為“分組法求和”所以此數(shù)列可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列第16頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：（1），（2）這是分組法求和第17頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月某工廠去年1月份的產(chǎn)值為a元，月平均增長(zhǎng)率為p(p>0)，求這個(gè)工廠去年全年產(chǎn)值的總和。解：該工廠去年2月份的產(chǎn)值為a(1+p)元，3月，4月，……，的產(chǎn)值分別為a(1+p)2元，a(1+p)3元，……，所以12個(gè)月的產(chǎn)值組成一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)為a，公比為1+p，例4第18頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月答：該工廠去年全年的總產(chǎn)值為元。第19頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月求和：

.例5為等比數(shù)列，公比為，利用錯(cuò)位相減法求和.設(shè)，其中為等差數(shù)列，分析：這是錯(cuò)位相減法求和第20頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：，兩端同乘以，得兩式相減得于是.第21頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意：當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的通項(xiàng)公式中有參數(shù)，求前n項(xiàng)和時(shí)要注意公比是否為1．例6設(shè)數(shù)列

求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和解:（與n無(wú)關(guān)的常數(shù)）

所以該數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，

，該數(shù)列的公比為1，

，該數(shù)列的公比不為1，

第22頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月求和：.為等比數(shù)列，公比為，利用錯(cuò)位相減法求和.設(shè)，其中為等差數(shù)列，例7第23頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：，兩端同乘以，得兩式相減得于是.第24頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，怎樣用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)說(shuō)明它？解：這句古語(yǔ)用現(xiàn)代文敘述是：一尺長(zhǎng)的木棒，每天取它的一半，永遠(yuǎn)也取不完.如果每天取出的木棒的長(zhǎng)度排成一個(gè)數(shù)列，則得到一個(gè)首項(xiàng)為a1=，公比q=的等比數(shù)列，思考與余味第25頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月它的前n項(xiàng)和為這說(shuō)明一尺長(zhǎng)的木棒，每天取它的一半，永遠(yuǎn)也取不完.不論n取何值，總小于1，第26頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月課堂小結(jié)本節(jié)課主要講述了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

以及他們的推導(dǎo)過(guò)程，在具體使用時(shí),不一定完全套用公式,要靈活變通.Sn=na1q=1q≠1第27頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

1.推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法.2.公式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想.

-------錯(cuò)位相加法-------方程思想3.公式中五個(gè)量a1,d,an,n,sn,已知其中三個(gè)量，可以求其余兩個(gè).-------知三求二第28頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（07年廣東）等比數(shù)列{an}中，a1=3,an=96,sn=189,求n的值．解：由得：q=2所以：高考鏈接第29頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隨堂練習(xí)1.求等比數(shù)列的前8項(xiàng)的和解:第30頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.某商場(chǎng)第1年銷售計(jì)算機(jī)５０００臺(tái)，如果平均每年的銷售量比上一年增加10%，那么從第1年起，約幾年內(nèi)可使總銷售量達(dá)到３００００臺(tái)（保留到個(gè)位）？分析：由題意可知，每年銷售量比上一年增加的百分率相同，所以從第1年起，每年的銷售量組成一個(gè)等比數(shù)列，總產(chǎn)量則為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.第31頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：設(shè)每年的產(chǎn)量組成一個(gè)等比數(shù)列其中a1=5000，q=1+10%=1.1，Sn=30000∴整理可得：1.1n=1.6兩邊取對(duì)數(shù)得即：答：約5年內(nèi)可以使總銷售量達(dá)到30000臺(tái).第32頁(yè)，課件