線性代數(shù)筆記彩色版

2014秋季學(xué)期n2

3 《LinearAlgebraandItsApplications》,Third Edition,DavidC.Lay 4課程網(wǎng) ：elac Chrome5答疑時(shí)間：第5周到第1712:00-14:00答疑地點(diǎn)：二區(qū)BX215室，BX217 “哈工大線性代數(shù) 640%20%20%40%20%20%10%10%BX215(217).

9:00-16:00.

7第一章前言nGramer

8行列式(determinant)9Jacobian行列式（變量代換求積分）計(jì)算晶體的體積：Cauchy v1 V=(1/6)V’ V’n ?a11x1+a12x2= a11a22 ≠0?a21x1+a22x2=b2(2) aij:

a2211

=a11a22- ?a11x1+a12x2+a13x3=┃?a21x1+a22x2+a23x3=b2┃?a31x1+a32x2+a33x3=b3 a13 a22 a23 a32 a33

=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a3112例：1，2，3的全排列全排列：p1p2…pi的逆序數(shù)ti=排在pi前且比pi大的數(shù)的個(gè)數(shù)

全排列p1p2…pn的逆序數(shù)t(p1p2…pn)=t1+t2+…+tn例1：a.求自然排列12345的逆序數(shù).b.求t(53241).定理1.1 13 a22

=a11a22-a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33a13a21a22a23a31a32a33 a11a

23a32

a12a

21a33

a13a

22a31 2階3階

14

行腳標(biāo)自然排列.列腳n定義1.1n a22 an2

a2n

=∑(-1

pana a其中“ ”是對(duì)所有n階排列 行列式簡(jiǎn)記作Δ(aij).15例2

a14 a22 a23 a24 a32 a34

=a11a22a32a33

a44

a22

a1,a2,n-

a2n

=a11a22…ann an-1,n- an-1,

16 a1,n- a22 a23 a2,n- an-1,1an-

t(n,n-=(-1

a2,n-1…an- 例:

-3103-002-3103-00200017

=(-1)n(n-1)/2an1an-1,2…a2,n- a22

a2n

a=∑(-1)t(q1q2…?qn)aq q2aqa an2 a22

a2n

12n12n an2 18

D’是D a22

a22

an2

性質(zhì)

D=1.1?“行”的性質(zhì)同樣適用于“列”.性質(zhì)推論

(列)，行列式變號(hào)兩行（列）相同?行列式＝0.19……??????kai2…kain=ai2…ainan2…an2…2a12b12c1 a2 b2 c2 =a3 b3 c3

a2 b2 c2a3 b3 c3A B(a2,b2,c2) C(a3,b3,c3)

A’(2a1,2b1,2c1)20……???ai1+a’i1?ai2+a’i2?…ain+a’in?an2…=

………??????ai2…ain+a’i2…a’in??????

an2 21推論 兩行（列）成比例?行列式＝0.性質(zhì)1.5行列式的某一行乘以k加到另一行,行列式 ai2…ainai2…ain???=???aj1+kai1aj2+kai2…ajn+kainaj1aj2…ajn??????an2…an2…注：性質(zhì)1.5在化簡(jiǎn)行列式中最常用22交換第i行（列）和第 ri?rj ci?c第i行（列）乘以k×ri;k×ci第i行（列）提出公因子(1/k)×ri;數(shù)k乘以第i行（列）加到第 rj+kri;cj+kci23例3計(jì) D

- - - - - - 例4

c1a2 b2 a3 b3 c3

=

a’2c2 b2 =a’3c3b3a1+2a’1a2+2a’2