習(xí)題解析第五章

定理5.7.對于任意n階實(shí)對稱矩陣A,存在正交矩陣Q,使得

Q–1AQ=

QTAQ

=

=diag(1,2,…,n),

其中1,2,…,n為A的全部特征值,Q=(q1,q2,…,qn)的列向量組是A的對應(yīng)于1,2,…,n的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組.

實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化推論.

n階實(shí)對稱矩陣A的ni重特征值都有ni個線性無關(guān)的特征向量，再由施密特正交化方法知，必有ni個標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量.§5.3實(shí)對稱矩陣的相似對角化第五章特征值與特征向量求|E–A|=0的根,得到所有特征值1,2,…,s注:特征向量要與特征值的順序相對應(yīng)實(shí)對稱陣的正交相似對角化對每個i,求(iE–A)x=0的基礎(chǔ)解系i1,i2,,iti利用施密特正交化方法將i1,i2,,it

正交化，并單位化，得到標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量i1,i2,,itii則Q–1AQ=QTAQ=令Q=(11,12,,1t,…,s1,s2,,st)1s=diag(1,…,1,…,s,…,s)§5.3實(shí)對稱矩陣的相似對角化第五章特征值與特征向量解：

(2)若A,B是一般方陣，特征多項式相同，不一定相似也不一定正交相似。比如：

實(shí)對稱矩陣A,B的特征多項式相同，所以它們的特征值相同，A,B都與=diag(1,…,

n)相似并且正交相似，所以A,B正交相似。例1.若A,B是實(shí)對稱陣,

|EA|=|EB|,A,B是否相似？是否正交相似？若A,B是一般實(shí)方陣呢？注：若A相似對角化,f(A)

呢？解所以A的全部特征值為0(n1重根),

例1.設(shè)0,Rn,求A=T的特征值和特征向量.實(shí)對稱陣A可正交相似對角化.即存在正交陣Q和對角陣,0,使得

§5.3實(shí)對稱矩陣的相似對角化第五章特征值與特征向量因?yàn)锳的全部特征值為0(n1重根),

例1.設(shè)0,Rn,求A=T的特征值和特征向量.并求|E

A3|.

是A的特征值

f,f()是f(A)的特征值

所以E

A3的特征值為1(n1重根),

解:§5.3實(shí)對稱矩陣的相似對角化第五章特征值與特征向量例2.設(shè)0,Rn,求A=T的特征值和特征向量.并求|E

A3|.

A與相似

f,f(A)與f()相似

解2:因?yàn)榇嬖谡魂嘠和對角陣,使得

§5.3實(shí)對稱矩陣的相似對角化第五章特征值與特征向量證明：3.設(shè)n階方陣A的任一行中n個元素之和都是0,證明：0是A的一個特征值,并求出其對應(yīng)的一個特征向量.所以0是A的一個特征值.對應(yīng)0的一個特征向量為設(shè)n階方陣A可逆，且A每行元素之和都等于a，證明：a0.證明:a0.

A每行元素之和都等于aa是A的特征值，(1,…,1)T是A對應(yīng)于a的特征向量方陣A可逆A的特征值都不等于0A1每行元素之和等于?解：因此，對于A的任意的特征值都有因?yàn)锳滿足A23A+2E=O

是A的一個化零多項式，

所以A的特征值只能取1,2。(2)當(dāng)A=E時，

2不是A的特征值.

1不是A的特征值.

4.設(shè)矩陣A滿足A23A+2E=O,證明：A的特征值只能取1或2，舉例說明1和2未必一定是A的特征值.A滿足A23A+2E=O當(dāng)A=2E時，

A滿足A23A+2E=O解：對于A的任意的特征值都有因?yàn)锳滿足A2=

E

是A的一個化零多項式，

所以A的特征值只能取1,1。(2)若1不是A的特征值，5.設(shè)矩陣A滿足A2

=

E,證明：A的特征值只能取1或1;若1不是A的特征值，則A

=

E.是方陣A的一個特征值

(EA)不可逆.

不是方陣A的特征值(EA)可逆.則(1EA)可逆.由A2=

E可得(A+

E)

(A

E)=O則A

=

E.解：所以A的三個特征值為1,3,1.6.設(shè)A為3階矩陣，如果EA,3EA,E+A均不可逆，求A的跡和行列式.因?yàn)镋A,3EA,E+A均不可逆是方陣A的一個特征值

(EA)不可逆.

不是方陣A的特征值(EA)可逆.|EA|=|3EA|=|E+A|=0證明：7.設(shè)1,2為方陣A的屬于不同特征值1,2的特征向量，若k1k20,證明k11+k22不是A的特征向量.若k11+k22是A的特征向量,則存在使得因?yàn)?,2線性無關(guān)產(chǎn)生矛盾.因此，k11+k22不是A的特征向量.證明2：因?yàn)?,2為對應(yīng)于12的特征向量，所以1,2線性無關(guān),

設(shè)k11+k22為對應(yīng)的特征向量.矛盾.

當(dāng)，線性無關(guān),矛盾.當(dāng)8.設(shè)1,2為方陣A的屬于不同特征值1,2的特征向量，若k1k20,證明k11+k22不是A的特征向量.k11+k22

k11+k22,1,2因此，k11+k22不是A的特征向量9.設(shè)的一個特征向量.(1)求a,b及對應(yīng)的特征值.

(2)A能否相似對角化？解：(2)trA=3=1+2+32+3=4|A|=4=2323=42=3=2所以A不能相似對角化.9.設(shè)的一個特征向量.(1)求a,b及對應(yīng)的特征值.

(2)A能否相似對角化？解：(2)法2：2=3=2所以A不能相似對角化.A的特征值可由特征方程求得.若A能與對角陣相似.則10.設(shè)相似.求x,側(cè)y,并求孝可逆妨陣P,使得P1AP王=.(1坑)A與B相似視，則蔽有相累同的展特征塑值.解：11船.若二坊階實(shí)渴方陣A滿足|A|<仿0,證明地：A與對育角陣脖相似.tr芒A=x1籌=y+1證明該：設(shè)y職=2.x=0.二階施實(shí)方啦陣A有兩艱個不菠同的敲特征閥值，所以羊與對領(lǐng)角陣脆相似.因A有一攝個特虎征值2，因?yàn)閨A|<鴿0，12論.若任意n維列候向量桐都是n階方并陣A的特親征向卷量,證明缸：A是數(shù)袖量矩廈陣.證明1：顯然e1,e2,勺…,en都是A的特雨征向熱量，所以Aei=iei=Ai12螞.若任意n維列昏向量柱都是n階方畢陣A的特防征向址量,證明勢：A是數(shù)蠅量矩梅陣.證明2：顯然e1,e2,盜…,en都是A的特且征向遍量，所以生存在毯可逆香陣P凳=(e1,e2,愚…,en)芬=E使得12快.若任意n維列奔向量疾都是n階方殘陣A的特拐征向計量,證明畢：A是數(shù)惕量矩餐陣.證明3：任意n維列方向量都是A的特昨征向慶量，所以A=，津蜘.所以(E濾A)=的非伐零解串為任意非零槳向量顯然e1,e2,絞…,en都是(E鍋A)=的解，所以e1,e2,壯…,en是(E聲A)=的基撒礎(chǔ)解服系.所以n罩r(E諸A)=n.r(E琴A)=0.A=踏O也成亦立，隙故A不可帥逆.不是段方陣飛，不表存在激逆矩網(wǎng)陣和墳行列博式！13距.設(shè)求A=席T的特納征值,并證坑明：A可以宋相似赴對角朽化T0.證明蒙：A的特烤征值絨為0(n1重),T(過程歪略)若T=0抱,則0是n重根待。所以r(0EA)=r(A)=1nn=0.從而A不可鼓以相融似對干角化.矛盾.必要?dú)w性：充分轎性：若T0,設(shè)T對應(yīng)旋的特經(jīng)征向波量為0對應(yīng)憑的n1線性淺無關(guān)辦的特玩征向適量為1,…腿,n-1則,1,…繩,n-1線性江無關(guān).所以A可相撕似對疾角化.14游.設(shè)n2捉,,都是n維實(shí)深特征志向量,且,是一繩標(biāo)準(zhǔn)捕正交屑向量井組，p,q都是均非零諸實(shí)數(shù)籠，A=觸p譜T+q貞T.證明:(1哨),都是A的特話征向晝量,并求渴相應(yīng)河特征黑值.(2優(yōu))A相似壞于對血角陣盟，并好求相老應(yīng)對借角陣.證明貿(mào)：(1卸)A=p硬T梳+q住T所以姻實(shí)對總稱矩兔陣A可相愈似于扇對角漠陣.=p繁T=pA=p穴T腸+q療T=q坊T=q從而,都是A的特戴征向劑量,相應(yīng)租特征奪值為p,色q.(2摸)AT=(p準(zhǔn)T+q條T)T=辨p糊T+q烘T=屈Ar(A)=諷r(p錫T+q亮T)r(p宮T)+r(q耳T)=2當(dāng)n=2時，A相似汁于對叮角陣裁=di涌ag順(p,q)14祥.設(shè)n2南,,都是n維實(shí)妙特征賞向量,且,是一大標(biāo)準(zhǔn)增正交朱向量插組，p,q都是汽非零鞏實(shí)數(shù)軟，A=缸p言T+q貫T.證明:(1躁),都是A的特離征向渣量,并求清相應(yīng)竊特征喘值.(2么)A相似憂于對焰角陣芬，并牙求相榜應(yīng)的蔬對角環(huán)陣.證明宏：所以然實(shí)對琴稱矩臥陣A可相細(xì)似于華對角門陣.從而,都是A的特荒征向垃量,相應(yīng)析特征谷值為p,酷q.(2荷)r(A)2當(dāng)n=2時，A相似番于對隊角陣中=di墓ag同(p,q)當(dāng)n>2時，|A|捏=0,則Q1AQ=di償ag信(p,q,藏0,詳…,膽0)0是A的一纏個特找征值,p,q都是尋非零第實(shí)數(shù)律，0對應(yīng)吧的特時征向瞞量與,正交,設(shè)0對應(yīng)償?shù)臉?biāo)準(zhǔn)記正交特征脫向量逼為3,…乏,n,令Q=(,,3,…床,n),14子.設(shè)n2變,,都是n維實(shí)各向量,且,是一孟標(biāo)準(zhǔn)墻正交凝向量瞞組，p,q都是延非零循實(shí)數(shù)泥，A=攏p熄T+q胡T.證明:(1荒),都是A的特鴿征向搭量,并求仰相應(yīng)重特征僑值.(2掙)A相似路于對產(chǎn)角陣貍，并凝求相柳應(yīng)對炕角陣.所以砍實(shí)對刮稱矩望陣A可相故似于天對角聯(lián)陣.(2傻)r(A)2當(dāng)n=2時，A相似哭于對政角陣地=di蕩ag糕(p,q)當(dāng)n>2時，Q1AQ=di寶ag皇(p,q,伐0,族…,暢0)(3饅)當(dāng)k滿足隔什么年條件婆時，kE潛+A正定陡？kE畝+A與kE致+相似(3錫)當(dāng)k>奶m恐ax{p,捆q}時，kE痛+A正定.(3炸)當(dāng)k>昏m疫ax{0,p,卻q}時，kE嗎+A正定.14噸.設(shè)n2娛,,都是n維實(shí)貓?zhí)卣饕滔蛄?且,是一巡壽標(biāo)準(zhǔn)旺正交鼻向量糟組，p,q都是雕非零檔實(shí)數(shù)澤，A=礎(chǔ)p證T+q喇T.證明:(1封),都是A的特嗚征向陸量,并求膊相應(yīng)照特征裂值.(2命)A相似聾于對尸角陣農(nóng)，并都求相寶應(yīng)對堤角陣.所以夏實(shí)對兔稱矩隸陣A可相喪似于取對角侵陣.(2慨)r(A)2當(dāng)n>2時，則Q1AQ=di母ag蜜(p,q,廈0,順…,源0)令Q=(,,3,…電,n),(0論9-狡10弊)一(1據(jù)0)額(3分)設(shè)A=(1,2,…勿,n)是n階正丸交陣,則偽的特末征多懲項式欠是B的特項征值吳是1漂(r重)，0梅(nr重).證明:A君=版1,T=1茄,B懸=叉A啄新1T=A宗豪1==齒0,對Ai=ii,免i≠遷,i=弱2,韻…,鵲nB的特株征值以為設(shè)n階實(shí)對稱陣A的特征值為是A的屬于1的單位特征向量，證明：

的特征值為Bi=睛Ai1TiBi=知Ai=ii.Ti=沿0可去繼掉15門.設(shè)n階實(shí)幻玉對稱塑陣A的特極征值罰為是A的屬鞏于1的單位特征肺向量木，證明擾：的特賽征值威為證明:B的特葬征值梯為實(shí)對近稱陣A可正擱交相雅似對鄉(xiāng)豐角化,則令既正交文陣Q=(,文q2,壁,突qn),濤s愚.t蘭.,Q1AQ嗚=帖=di擱ag足(1,…,讓n)Q1BQ項=錦Q1AQ1Q1TQ=嗽1QTTQTQ=(T,譽(yù)Tq2,屢,Tqn)=(1,默0待,抵,0)Q1BQ住=挖1(TQ)TTQ(TQ)TTQ=di惠ag東(1,跡0趙,寒…,聲0)=忍di劍ag(11,2…,留n)=覆di界ag(0,