數(shù)學(xué)《學(xué)案導(dǎo)學(xué)與隨堂筆記》人教B版4-4講義：第一講 坐標(biāo)系一

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【綜合評(píng)價(jià)】通過直角坐標(biāo)系，平面和空間中的點(diǎn)與坐標(biāo)(有序數(shù)組）、曲線與方程建立了聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，這些數(shù)所表示的幾何含義是不同的，同一曲線在不同坐標(biāo)系下的方程也有不同形式.因此我們研究幾何圖形時(shí)可以根據(jù)需要選擇不同的坐標(biāo)系.本講介紹了極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系,其中極坐標(biāo)系是重點(diǎn)內(nèi)容，同學(xué)們要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)極坐標(biāo)系下直線和圓的方程，理解它們的特點(diǎn)、意義?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】1?；仡櫾谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法，體會(huì)坐標(biāo)系的作用.2。通過具體例子，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.3.能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.4。能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形（如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓）的方程。通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程,體會(huì)在用方程刻畫平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義。5。借助具體實(shí)例(如圓形體育場(chǎng)看臺(tái)的座位、地球的經(jīng)緯度等)了解在柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中刻畫空間中點(diǎn)的位置的方法，并與空間直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法相比較，體會(huì)它們的區(qū)別。1.1直角坐標(biāo)系，平面上的伸縮變換1。1。1直角坐標(biāo)系1。1。2平面上的伸縮變換1.直角坐標(biāo)系（1）平面直角坐標(biāo)系的作用：使平面上的點(diǎn)與坐標(biāo)(有序?qū)崝?shù)對(duì)）,曲線與方程建立聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合.(2)坐標(biāo)法：根據(jù)幾何對(duì)象的特征,選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立它的方程，通過方程研究它的性質(zhì)及與其他幾何圖形的關(guān)系.(3)坐標(biāo)法解決幾何問題的“三步曲”：第一步，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中涉及的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題；第二步,通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步,把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論。2.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換(1）平面直角坐標(biāo)系中方程表示圖形,那么平面圖形的伸縮變換就可歸結(jié)為坐標(biāo)伸縮變換，這就是用代數(shù)方法研究幾何變換。(2）平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)伸縮變換的坐標(biāo)表達(dá)式為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(X＝ax,，Y＝by，）)其中a>0，b>0?！舅季S導(dǎo)圖】【知能要點(diǎn)】1.回顧坐標(biāo)系有關(guān)概念，體會(huì)坐標(biāo)系的作用.2.了解建立坐標(biāo)系的方法和原則.3。坐標(biāo)伸縮變換eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（X＝ax，，Y＝by)）其中a>0,b>0。知識(shí)點(diǎn)1平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，它在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上起著劃時(shí)代的作用.坐標(biāo)系的創(chuàng)建，在代數(shù)和幾何之間架起了一座橋梁.利用坐標(biāo)系，我們可以方便地用代數(shù)的方法確定平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的位置,也可以方便地確定空間內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的位置。它使幾何概念得以用代數(shù)的方法來描述，幾何圖形可以通過代數(shù)形式來表達(dá),這樣便可用抽象的代數(shù)方程將形象的幾何圖形表示出來，又可將先進(jìn)的代數(shù)方法應(yīng)用于幾何學(xué)的研究。建立數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或空間直角坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合，我們可以解決許多數(shù)學(xué)問題，如函數(shù)問題就常常需要借助直角坐標(biāo)系來解決.【例1】質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸的正方向前進(jìn)4個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)P1，然后反向走了1個(gè)單位，到達(dá)點(diǎn)P2，接下來每次反向并向前運(yùn)動(dòng)上次距離的eq\f（1，4）。求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)n次后到達(dá)的點(diǎn)Pn的坐標(biāo)。解:設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為xn.則xn＝x1＋(－eq\f（1,4））x1＋（－eq\f(1,4))2x1＋.。.＋（－eq\f（1,4))n－1x1＝4[1＋（－eq\f（1,4））＋（－eq\f（1,4)）2＋.。.＋（－eq\f（1,4))n－1]＝4×eq\f（1－（－\f（1,4））n，1＋\f（1，4）)＝eq\f（16，5)［1－(－eq\f（1，4)）n］.故Pn的坐標(biāo)為xn＝eq\f(16，5）[1－（－eq\f(1，4））n］。【反思感悟】直線坐標(biāo)系（數(shù)軸)是一維坐標(biāo)系,其點(diǎn)的坐標(biāo)是一個(gè)實(shí)數(shù).1.已知點(diǎn)A（0，1），B(3，2），向量eq\o（AC,\s\up6(→）)＝（－4，－3），則向量eq\o（BC,\s\up6(→）)＝()A.(－7，－4） B。(7，4)C。(－1，4) D。(1，4）答案：A解析：法一:設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，并利用eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)求出點(diǎn)C坐標(biāo),然后計(jì)算eq\o（BC，\s\up6（→））的坐標(biāo)。設(shè)C＝(x，y),則eq\o（AC，\s\up6(→)）＝（x，y－1)＝（－4，－3）,所以eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝－4,，y＝－2，）)從而eq\o（BC，\s\up6（→）)＝(－4，－2）－（3,2）＝(－7，－4）。故選A。法二：利用eq\o(BC，\s\up6(→））＝eq\o（AC,\s\up6(→)）－eq\o（AB，\s\up6（→）)求解.eq\o（AB,\s\up6（→）)＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o（AB,\s\up6（→))＝（－4，－3)－(3，1）＝（－7，－4）。故選A.【例2】如圖所示，圓O1與圓O2的半徑都是1，|O1O2|＝4，過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN(M、N分別為切點(diǎn)），使得｜PM|＝eq\r(2)｜PN｜,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。解：以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn),O1O2所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則O1(－2，0)，O2（2,0）.由已知|PM｜＝eq\r（2）｜PN｜，得|PM|2＝2|PN|2.因?yàn)閮蓤A的半徑均為1，所以｜PO1｜2－1＝2（|PO2|2－1).設(shè)P(x，y)，則（x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1］，即(x－6）2＋y2＝33，所以所求軌跡方程為(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0).【反思感悟】本題求點(diǎn)的軌跡，考查建坐標(biāo)系和數(shù)形結(jié)合思想，利用勾股定理、兩點(diǎn)間距離公式等知識(shí)，巧妙探求動(dòng)點(diǎn)P滿足的條件.2.已知圓C1:（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.解：如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和B,根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|－｜AC1|＝｜MA|,｜MC2｜－｜BC2｜＝｜MB|.∵｜MA｜＝|MB｜，∴｜MC1|－｜AC1|＝|MC2|－｜BC2|，即｜MC2|－｜MC1｜＝2。這表明動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)C2、C1的距離的差是常數(shù)2。根據(jù)雙曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小),這里a＝1，c＝3，則b2＝8，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，其軌跡方程為x2－eq\f（y2，8)＝1(x〈0）.【例3】如圖所示，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－1，3)，B(－3，－2)，C(4，－2），D（3，4)，求四邊形ABCD的面積.解：如圖，S△ABE＝eq\f（1，2）·BE·AE＝eq\f（2×5,2)＝5;S△CDF＝eq\f(CF·DF,2)＝eq\f（1×6，2）＝3；S梯形AEFD＝eq\f（(AE＋DF）·EF,2)＝eq\f（（5＋6)×4,2）＝22，所以四邊形ABCD的面積為5＋22＋3＝30?！痉此几形颉勘纠亲鴺?biāo)系在幾何圖形中的應(yīng)用，在求面積時(shí)要盡量利用圖形中的垂直關(guān)系，將原圖形分割求得面積.3。已知三點(diǎn)A(1，0)，B(0，eq\r(3）)，C(2，eq\r（3)），則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為（）A.eq\f（5,3）B.eq\f(\r(21），3)C。eq\f(2\r（5),3)D.eq\f(4,3）答案：B解析:先根據(jù)已知條件分析△ABC的形狀，然后確定外心的位置，最后數(shù)形結(jié)合計(jì)算外心到原點(diǎn)距離.在坐標(biāo)系中畫出△ABC(如圖),利用兩點(diǎn)間的距離公式可得|AB|＝｜AC|＝|BC｜＝2(也可以借助圖形直接觀察得出)，所以△ABC為等邊三角形。設(shè)BC的中點(diǎn)為D，點(diǎn)E為外心,同時(shí)也是重心.所以｜AE｜＝eq\f(2,3)｜AD｜＝eq\f(2\r（3），3),從而|OE|＝eq\r(｜OA|2＋｜AE｜2)＝eq\r(1＋\f（4，3）)＝eq\f(\r(21)，3）,故選B。【例4】已知棱長為2的正方體ABCD－A′B′C′D′，建立如圖所示不同的空間直角坐標(biāo)系.試分別寫出正方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。解：(1）因?yàn)镈是坐標(biāo)原點(diǎn)，A′，C′，D′分別在x軸,y軸，z軸的正半軸上，又正方體的棱長為2，所以D（0，0,0)，A（2，0，0)，C（0,2，0），D′(0，0，2）。因?yàn)辄c(diǎn)B在xDy平面上，它在x，y軸上的射影分別為A，C,所以B(2，2，0）.同理,A′(2，0，2），C′(0，2，2）。因?yàn)锽′在xDy平面上的射影是B，在z軸上的射影是D′，所以B′(2，2,2）.（2）因?yàn)镈′是坐標(biāo)原點(diǎn)，A′，C′分別在x軸，y軸的正半軸上,D在z軸的負(fù)半軸上，且正方體的棱長為2，所以,A′(2，0，0)，C′（0，2，0),D(0，0，－2).同(1)得B′（2，2,0），A(2，0，－2）,C（0，2，－2），B(2，2，－2）?！痉此几形颉壳罂臻g中任意一點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)注意：(1）位于x，y，z軸上的點(diǎn)有何特征,位于平面xOy，xOz,yOz上的點(diǎn)有何特征.（2）線段長與坐標(biāo)有區(qū)別,坐標(biāo)符號(hào)不可忽視.(3)同一點(diǎn)在不同坐標(biāo)系下的坐標(biāo)有所變化，求坐標(biāo)的難易程度取決于坐標(biāo)系的建法。4.已知A(1，2，－1),B（2，0,2)，在xOz平面內(nèi)的點(diǎn)M到A與B的距離相等，求M點(diǎn)的軌跡。解：設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，0，z)，則有eq\r（(x－1）2＋（－2）2＋（z＋1）2）＝eq\r（（x－2）2＋02＋（z－2）2)，整理,得x＋3z－1＝0,∴點(diǎn)M的軌跡是xOz平面的一條直線，其方程為x＋3z－1＝0。知識(shí)點(diǎn)2坐標(biāo)伸縮變換平面幾何圖形的伸縮變換可以歸結(jié)為坐標(biāo)伸縮變換，學(xué)習(xí)中可結(jié)合坐標(biāo)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系理解。在伸縮變換下,平面直角坐標(biāo)系保持不變，在同一坐標(biāo)系下對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行伸縮變換，展示了坐標(biāo)法思想.在伸縮變換下，直線仍然變?yōu)橹本€，拋物線變?yōu)閽佄锞€，雙曲線變?yōu)殡p曲線，而橢圓可以變?yōu)閳A，圓可以變?yōu)闄E圓.【例5】在平面直角坐標(biāo)系中,求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（X＝\f（1，2)x，，Y＝\f（1，3）y))后的圖形。（1）5x＋2y＝0;(2）x2＋y2＝1.解：（1)由伸縮變換eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(X＝\f(1，2）x，，Y＝\f（1,3)y,))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2X，，y＝3Y.））將其代入5x＋2y＝0,得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是5X＋3Y＝0。經(jīng)過伸縮變換后，直線仍然是直線。（2)將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2X，,y＝3Y））代入x2＋y2＝1，得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是eq\f（X2,\f(1，4)）＋eq\f(Y2，\f（1，9)）＝1.經(jīng)過伸縮變換后，圓變成了橢圓?！痉此几形颉可炜s變換要分清新舊坐標(biāo)，直接利用公式即可，變換后的新坐標(biāo)用X，Y表示.5。已知伸縮變換的坐標(biāo)表達(dá)式為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（X＝x，，Y＝4y,））曲線C在此變換下變?yōu)闄E圓X2＋eq\f（Y2，16)＝1，求曲線C的方程。解:設(shè)P(x，y)為曲線C上任意一點(diǎn).把eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(X＝x，，Y＝4y))代入X2＋eq\f(Y2，16）＝1,得x2＋y2＝1。故曲線C的方程為x2＋y2＝1.【例6】求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線4x2＋9y2＝36變成曲線X2＋Y2＝1.解：設(shè)變換為eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(X＝ax，a〉0，,Y＝by，b>0，))可將其代入第二個(gè)方程，得a2x2＋b2y2＝1。與4x2＋9y2＝36比較,將其變?yōu)閑q\f（4，36）x2＋eq\f（9，36）y2＝1,即eq\f(1，9）x2＋eq\f(1,4）y2＝1，比較系數(shù)得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（a＝\f（1，3),,b＝\f（1,2)。））∴eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(X＝\f（1，3)x，，Y＝\f（1,2)y，)）即將橢圓4x2＋9y2＝36上的所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1，3),縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膃q\f（1,2）,可得到圓X2＋Y2＝1?！痉此几形颉繉?duì)于圖形的伸縮變換問題,只要搞清新舊坐標(biāo)，區(qū)別x,y和X，Y，比較公式中的系數(shù)即可。6。在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線x2－36y2－8x＋12＝0變成曲線X2－Y2－4X＋3＝0,求滿足圖象變化的伸縮變換.解:x2－36y2－8x＋12＝0可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－4,2)））eq\s\up12（2)－9y2＝1.①X2－Y2－4X＋3＝0可化為(X－2）2－Y2＝1。②比較①②兩式得X－2＝eq\f（x－4,2）,Y＝3y。故所求伸縮變換為：eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（X＝\f(1,2)x,，Y＝3y。)）課堂小結(jié)1.建立平面直角坐標(biāo)系，可以利用未知點(diǎn)滿足條件的坐標(biāo)形式,求點(diǎn)的軌跡方程；2.利用平面直角坐標(biāo)系，可以將平面圖形坐標(biāo)化，進(jìn)行證明或計(jì)算;3。在伸縮變換中，要分清新舊坐標(biāo),然后代入公式比較系數(shù)即可。隨堂演練1.已知一條長為6的線段兩端點(diǎn)A、B分別在x、y軸上滑動(dòng),點(diǎn)M在線段AB上，且AM∶MB＝1∶2，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.解：（代入法)設(shè)A(a，0)，B(0，b)，M(x，y)，∵|AB｜＝6，∴a2＋b2＝36.①M(fèi)分eq\o（AB,\s\up6（→)）的比為eq\f(1，2).∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝\f(a＋\f(1,2）×0,1＋\f(1，2))＝\f(2，3）a,,y＝\f(0＋\f(1，2)b,1＋\f(1,2)）＝\f(1，3）b）)?eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（a＝\f（3，2)x,,b＝3y.))②將②式代入①式，化簡(jiǎn)為eq\f(x2,16）＋eq\f(y2,4)＝1。2。已知B村位于A村的正西方向1公里處，原計(jì)劃經(jīng)過B村沿著北偏東60°的方向埋設(shè)一條地下管線m。但在A村的西北方向400米處，發(fā)現(xiàn)一古代文物遺址W.根據(jù)初步勘察的結(jié)果，文物管理部門將遺址W周圍100米范圍劃為禁區(qū).試問:埋設(shè)地下管線m的計(jì)劃需要修改嗎？解：解決這一問題的關(guān)鍵，在于確定遺址W與地下管線m的相對(duì)位置,如圖所示，以A為原點(diǎn)，正東方向和正北方向分別為x軸和y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0），B(－1000,0)。由W位于A的西北方向及｜AW|＝400,得W（－200eq\r(2)，200eq\r(2))，由直線m過B點(diǎn)且傾斜角為90°－60°＝30°，得直線m的方程是x－eq\r（3）y＋1000＝0.于是,點(diǎn)W到直線m的距離為eq\f（｜－200\r(2)－\r(3)·200\r(2)＋1000｜,2）＝100(5－eq\r（2）－eq\r(6）)≈113。6〉100，所以，埋設(shè)地下管線m的計(jì)劃可以不修改.3。分別求一個(gè)伸縮變換,使其對(duì)應(yīng)滿足下列曲線的變換。(1）曲線y＝2sin3x變換成曲線y＝3sin2x；(2)橢圓eq\f(x2,9）＋eq\f（y2，4）＝1變換成圓x2＋y2＝9.解:（1)將變換后的曲線y＝3sin2x改寫成y′＝3sin2x′，設(shè)伸縮變換為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x′＝λx（λ〉0），,y′＝μy（μ>0），））代入上式得μy＝3sin[2(λx)],即y＝eq\f（3，μ）sin(2λx）,與曲線y＝2sin3x比較系數(shù),得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（2λ＝3，，\f(3，μ）＝2，))解得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（λ＝\f（3，2），,μ＝\f(3,2）,）)所以伸縮變換為eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x′＝\f(3,2）x,,y′＝\f(3,2)y。）)（2）將變換后的圓x2＋y2＝9改寫成x′2＋y′2＝9，設(shè)伸縮變換為eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x′＝λx（λ〉0）,，y′＝μy（μ>0），))代入上式，得λ2x2＋μ2y2＝9，即eq\f(x2，\f（9，λ2））＋eq\f（y2，\f（9，μ2））＝1，與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2，4)＝1比較系數(shù),得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（\f（9,λ2）＝9，，\f（9,μ2)＝4。)）∴eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（λ2＝1，，μ2＝\f(9,4)，))∴eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（λ＝1,,μ＝\f（3,2)）），所以伸縮變換為eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x′＝x，，y′＝\f(3，2）y.))基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1。要得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3)）)的圖象，只需將函數(shù)y＝sin4x的圖象(）A。向左平移eq\f（π，12)個(gè)單位 B.向右平移eq\f（π，12）個(gè)單位C。向左平移eq\f(π,3）個(gè)單位 D。向右平移eq\f（π,3)個(gè)單位答案：B解析:根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換關(guān)系求解。由y＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(4x－\f（π,3))）＝sin4eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))得，只需將y＝sin4x的圖象向右平移eq\f(π，12）個(gè)單位即可,故選B.2.向量a＝(1，－1）,b＝（－1，2),則（2a＋b）·a＝(）A。－1B.0C.1D。2答案：C解析：法一:將（2a＋b)·a展開后再進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算。∵a＝（1，－1),b＝(－1，2)，∴a2＝2，a·b＝－3，從而(2a＋b）·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1。法二:將2a＋b看做一個(gè)向量并求出其坐標(biāo)后再與a計(jì)算數(shù)量積.∵a＝(1，－1),b＝(－1，2）,∴2a＋b＝（2，－2)＋(－1，2)＝(1,0)，從而(2a＋b)·a＝（1，0)·（1，－1）＝1,故選C.3。在同一坐標(biāo)系中，將曲線y＝3sin2x變?yōu)榍€Y＝sinX的伸縮變換是(）A。eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝2X，,y＝\f（1，3)Y）） B.eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(X＝2x，，Y＝\f(1，3)y））C。eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝2X，,y＝3Y）) D.eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（X＝2x，，Y＝3y）)答案：B解析：設(shè)eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(X＝ax，,Y＝by）)代入第二個(gè)方程Y＝sinX得by＝sinax，即y＝eq\f（1，b)sinax,比較系數(shù)可得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(b＝\f(1,3)，，a＝2.））4。在△ABC中，已知B(－2，0），C(2，0)，△ABC的周長為10，則A點(diǎn)的軌跡方程為____________。答案：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2，5)＝1（y≠0）解析:∵△ABC的周長為10,∴|AB｜＋｜AC｜＋|BC|＝10。其中|BC|＝4，即有|AB|＋｜AC｜＝6>4.∴A點(diǎn)軌跡為橢圓除去長軸兩頂兩點(diǎn)，且2a＝6，2c＝4?！郺＝3，c＝2，b2＝5.∴A點(diǎn)的軌跡方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2，5）＝1(y≠0）.5.將點(diǎn)P(2,3)變換為點(diǎn)P′（1，1）的一個(gè)伸縮變換公式為________。答案：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(x,2），，y′＝\f（y,3））)解析：設(shè)伸縮變換為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x′＝hx(h>0)，,y′＝ky（k〉0）,）)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝2h，，1＝3k，)）解得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(h＝\f(1,2)，,k＝\f（1，3).））∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x′＝\f(x,2），,y′＝\f（y,3).))6。在平面直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x′＝\f（1，2）x,，y′＝\f(1，3）y）)后的圖形.（1)5x＋2y＝0；（2)x2＋y2＝1。解：根據(jù)變換公式，分清新舊坐標(biāo)代入即可.（1)由伸縮變換eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x′＝\f(1,2）x,，y′＝\f(1，3）y。）)得到eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝2x′,,y＝3y′.))將其代入5x＋2y＝0,得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是5x′＋3y′＝0.經(jīng)過伸縮變換后，直線仍然是直線。（2)將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x′，，y′＝3′y。））代入x2＋y2＝1，得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是eq\f(x′2，\f（1，4))＋eq\f（y′，\f(1,9))＝1.經(jīng)過伸縮變換后，圓變成了橢圓.綜合提高7.在同一平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（X＝5x，,Y＝3y）)后，曲線C變?yōu)榍€X2＋4Y2＝1，則曲線C的方程為()A。25x2＋36y2＝1 B。9x2＋100y2＝1C.10x＋24y＝1 D.eq\f(2，25）x2＋eq\f(8,9)y2＝1答案：A解析：將eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（X＝5x，,Y＝3y))代入X2＋4Y2＝1,得25x2＋36y2＝1,為所求曲線C的方程。8.已知點(diǎn)A(－1，3)，B(3,1)，點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上,∠ACB＝90°,則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是()A。1B.2C.3D。4答案：C解析:若C點(diǎn)在x軸上可設(shè)點(diǎn)C(x，0），由∠ACB＝90°，得|AB|2＝｜AC|2＋|BC|2，∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(x＋1)2＋32＋(x－3)2＋1,解得x1＝0,x2＝2?！郈點(diǎn)為（0,0)，(2，0)。若點(diǎn)C在y軸上可設(shè)點(diǎn)C為（0,y），由∠ACB＝90°，得|AB｜2＝｜AC|2＋｜BC｜2?！嘤校ǎ?－3）2＋（3－1)2＝(0＋1)2＋(3－y）2＋（0－3）2＋（y－1）2,解之得y1＝0或y2＝4。故C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0)，（0，4)?！噙@樣的點(diǎn)C有(0，0）,（2，0），(0，4）共3個(gè)點(diǎn).9.將對(duì)數(shù)曲線y＝log3x的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得到的曲線方程為________.答案：y＝log3eq\f（x,2）解析：設(shè)P(x，y)為對(duì)數(shù)曲線y＝log3x上任意一點(diǎn)，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′(x′，y′），由題意知伸縮變換為eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x′＝2x，,y′＝y(tǒng)，)）∴eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝\f(1,2）x′，,y＝y(tǒng)′,）)代入y＝log3x，得y′＝log3eq\f(1，2)x′，即y＝log3eq\f(x,2)。10。把圓x2＋y2＝16沿x軸方向均勻壓縮為橢圓x2＋eq\f（y2，16）＝1,則坐標(biāo)變換公式是________.答案：eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x′＝\f（1,4)x，,y′＝y(tǒng)))解析:設(shè)變換公式為eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x′＝λx(λ〉0）,，y′＝μy（μ>0），)）代入x′2＋eq\f(y′2,16）＝1中得λ2x2＋eq\f（μ2y2，16)＝1,即：16λ2x2＋μ2y2＝16，與x2＋y2＝16比較得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（16λ2＝1，,μ2＝1，))∴eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,4)，，μ＝1.）)11。已知?ABCD，求證：|AC|2＋|BD|2＝2（｜AB|2＋|AD|2）。解：法一：（坐標(biāo)法)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則A(0，0)，