陜西省五校2023屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在如圖的正方體中，M、N分別為棱BC和棱的中點(diǎn)，則異面直線AC和MN所成的角為（）A. B.C. D.2．若命題“”是命題“”的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．化為弧度是（）A. B.C. D.4．若曲線上所有點(diǎn)都在軸上方，則的取值范圍是A. B.C. D.5．已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（）A. B.C.8 D.36．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.（0，2] B.[0，2]C.[0，2） D.（0，2）7．的弧度數(shù)是（）A. B.C. D.8．如圖，已知，，共線，且向量，則（）A. B.C. D.9．已知，，則a，b，c的大小關(guān)系為A. B.C. D.10．函數(shù)（且）與函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知單位向量與的夾角為,向量的夾角為,則cos=_______12．若函數(shù)，，則_________；當(dāng)時(shí)，方程的所有實(shí)數(shù)根的和為__________.13．寫出一個(gè)同時(shí)滿足以下條件的函數(shù)___________；①是周期函數(shù)；②最大值為3，最小值為；③在上單調(diào)14．直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則__________15．已知，則__________.16．設(shè)奇函數(shù)對(duì)任意的，，有，且，則的解集___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)是偶函數(shù).（1）求k的值；（2）設(shè)，若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮，這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測(cè)得鳳眼蓮覆蓋面積為24m2，三月底測(cè)得覆蓋面積為36m2，鳳眼蓮覆蓋面積y（單位：m2）與月份x（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇（1）試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；（2）求鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入面積10倍以上的最小月份（參考數(shù)據(jù)：lg2≈03010，lg3≈0.4771）19．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.20．已知函數(shù)（1）試判斷函數(shù)的奇偶性并證明；21．（1）當(dāng)取什么值時(shí)，不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立？（2）解關(guān)于的方程：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】根據(jù)異面直線所成角的定義，找到與直線平行并且和相交的直線，即可找到異面直線所成的角，解三角形可求得結(jié)果.【詳解】連接如下圖所示，分別是棱和棱的中點(diǎn)，，正方體中可知，是異面直線所成的角，為等邊三角形，.故選：C.【點(diǎn)睛】此題是個(gè)基礎(chǔ)題，考查異面直線所成的角，以及解決異面直線所成的角的方法（平移法）的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)形結(jié)合的思想.2、C【解析】解不等式得，進(jìn)而根據(jù)題意得集合是集合的真子集，再根據(jù)集合關(guān)系求解即可.【詳解】解：解不等式得，因?yàn)槊}“”是命題“”的充分不必要條件，所以集合是集合的真子集，所以故選：C3、D【解析】根據(jù)角度制與弧度制的互化公式，正確運(yùn)算，即可求解.【詳解】根據(jù)角度制與弧度制的互化公式，可得.故選：D.4、C【解析】曲線化標(biāo)準(zhǔn)形式為：圓心，半徑，，即，∴故選C5、A【解析】根據(jù)題中條件，得到，展開后根據(jù)基本不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.6、A【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，結(jié)合二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知：，故選：A7、C【解析】弧度，弧度，則弧度弧度，故選C.8、D【解析】由已知得，再利用向量的線性可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，，三點(diǎn)共線，所以，所以.故選：D.9、D【解析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出【詳解】解：，，又，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題10、C【解析】分，兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和拋物線的開口方向和對(duì)稱軸選出正確答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，增函數(shù)，開口向上，對(duì)稱軸，排除B,D；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，開口向下，對(duì)稱軸，排除A,故選:C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據(jù)題意，由向量的數(shù)量積計(jì)算公式可得?、||、||的值，結(jié)合向量夾角計(jì)算公式計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意，單位向量，的夾角為，則?1×1×cos，32，3，則?（32）?（3）＝92+22﹣9?，||2＝（32）2＝92+42﹣12?7，則||，||2＝（3）2＝922﹣6?7，則||，故cosβ.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算和向量的夾角的計(jì)算，意在考察學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.12、①.0②.4【解析】直接計(jì)算，可以判斷的圖象和的圖象都關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以所以兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，分別作出函數(shù)與的圖象，圖象的對(duì)稱中心為，令，可得，當(dāng)時(shí)，，所以的對(duì)稱中心為，所以兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有個(gè)交點(diǎn)，設(shè)個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，，，且，則，，所以，所以方程的所有實(shí)數(shù)根的和為，故答案為：，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是判斷出的圖象和的圖象都關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，作出函數(shù)圖象可知兩個(gè)函數(shù)圖象有個(gè)交點(diǎn)，設(shè)個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，，，且，則和關(guān)于中心對(duì)稱，和關(guān)于中心對(duì)稱，所以，，即可求解.13、(答案不唯一)【解析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造滿足題意的函數(shù)，由此即可得到結(jié)果.詳解】由題意可知，，因?yàn)榈闹芷跒?，滿足條件①；又，所以，滿足條件②；由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以區(qū)間上單調(diào)遞減，故滿足條件③.故答案為：.14、【解析】，所以，，故．填15、3【解析】由同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系及已知等式可得，應(yīng)用誘導(dǎo)公式有，即可求值.【詳解】由題設(shè)，，可得，∴.故答案為：316、【解析】可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，結(jié)合和，分析出的正負(fù)情況，求解.【詳解】對(duì)任意，，有故在上為減函數(shù)，由奇函數(shù)的對(duì)稱性可知在上為減函數(shù)，則則，，，；，；，；，.故解集為：故答案為：【點(diǎn)睛】正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個(gè)問題：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，反之也成立．利用這一性質(zhì)可簡(jiǎn)化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)偶函數(shù)得到，化簡(jiǎn)得到，解得答案.（2）化簡(jiǎn)得方程，設(shè)得到有且僅有一個(gè)正根，考慮和兩種情況，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）由函數(shù)是偶函數(shù)可知：，∴，，即對(duì)一切恒成立，∴.（2）函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即方程有且只有一個(gè)實(shí)根.化簡(jiǎn)得：方程有且只有一個(gè)實(shí)根.令，則方程有且只有一個(gè)正根，當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)且，解得或.若，，不合題意；若，滿足；當(dāng)且時(shí)，即或且，故；綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，函數(shù)公共交點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力，換元是解題關(guān)鍵.18、（1）選擇較為合適；（2）6月【解析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)可得合適的函數(shù)的模型.（2）根據(jù)選擇的函數(shù)模型可求最小月份.小問1詳解】指數(shù)函數(shù)隨著自變量的增大其函數(shù)的增長(zhǎng)速度越大，冪函數(shù)隨著自變量的增大其函數(shù)的增長(zhǎng)速度越小，因?yàn)轼P眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，故選擇較為合適.故，故，.所以.【小問2詳解】由（1），放入面積為，令，則，故鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入面積10倍以上的最小月份為6月.19、（1）（2）【解析】（1）直接由求解即可，（2）由求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，再與求交集即可【詳解】（1）由，得，所以函數(shù)增區(qū)間為，（2）由，得，所以函數(shù)上的增區(qū)間為，20、（1）為奇函數(shù)；證明見解析；（2）.【解析】（1）利用奇函數(shù)的定義即證；（2）由題可得當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，法一利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得，即求；法二利用函數(shù)單調(diào)性的定義可得成立，即求.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)；當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，，則，，所以對(duì)，均有，即函數(shù)為奇函數(shù)；【小問2詳解】∵函數(shù)為R上的奇函數(shù)，且，，，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，則在定義域內(nèi)為增函數(shù)，解法一：因函數(shù)為奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)