二階線性偏微分方程理論與δ函數(shù)

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數(shù)理方程與特殊函數(shù)任課教師：楊春數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院1二階線性偏微分方程理論本次課主要內(nèi)容與δ函數(shù)(一)、二階線性偏微分方程理論(二)、δ函數(shù)2(一)、二階線性偏微分方程理論基本概念T為算子，若T(c1u1+c2u2)=c1Tu1+c2Tu2，稱T為線性算子2.二階線性偏微分算子

1.線性算子

3于是二階線性偏微分方程可以簡記為：齊次形式為：其中:3.邊界條件算子4物理背景：疊加原理原理1：(有限疊加)

在物理上，常有所謂的疊加現(xiàn)象：即幾種因素產(chǎn)生的總效果等于各因素產(chǎn)生的效果總和。

物理上的疊加現(xiàn)象反映到數(shù)理方程中來，就得到線性定解問題中的疊加原理。

設(shè)ui滿足線性方程(或線性定解條件)：又設(shè)：

那么：5其中：收斂，且算子L與和號能交換次序。原理2：(無限疊加)6其中，M表示自變量組，M0為參數(shù)組.設(shè)u(M,M0)滿足線性方程(線性定解條件)：原理3：且積分收斂，并滿足L中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)與積分號交換次序所需要的條件，那么U(M)滿足方程(或定解條件）：7原理3的證明：主要假定了L與積分號的次序可交換！解的結(jié)構(gòu)定理：非齊次線性偏微分方程的一般解等于對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解與非齊次方程的一個特解之和。8例1求泊松方程：的一般解。解:(1)先求出方程的一個特解u1由方程的形式可令u1=ax4+by4,代入方程可得：注：這是觀察法！一般情況下很難求出偏微分方程特解。9(2)、求對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程為：作變換：則齊次方程化為：再作變換：10方程化為：齊次方程通解為：原方程通解為：11背景：齊次化原理

在對波動方程與熱傳導(dǎo)方程定解問題的求解中，常?？紤]將定解問題中方程齊次化，這就需要用到下面與此相關(guān)的兩個齊次化原理。齊次化原理有明確的物理背景，其背景就是力學(xué)中的沖量原理：力作用引起的沖量等于動量的改變。齊次化原理又稱為沖量原理。齊次化原理的具體物理分析在此略去。12齊次化原理1如果滿足方程：那么非齊次柯西問題的解為：為了證明該定理，先介紹：13含參變量積分求導(dǎo)法則定理在上連續(xù)，而a(u),b(u)在[α，β]上可導(dǎo)，且對任意u屬于[α，β]，有：則：的導(dǎo)數(shù)：14證明：首先，15齊次陪化原荒理2如果滿足紛方程歇：那么慢非齊池次柯樹西問隙題的解穩(wěn)為：16對齊世次化鍛原理持的三象點說俯明：1、齊烈次化傲原理赤只適購用于鑒波動棒方程雅和熱習(xí)傳導(dǎo)尖方程斑，對憑穩(wěn)態(tài)干的泊因松方兆程不虛能使孩用這甩兩個任原理惰；2、齊網(wǎng)次化逐原理侄使用陪時必孫須注橫意初固始條張件為感零；3、齊友次化統(tǒng)原理鍛可以區(qū)推廣搭到有威界域鉆的波屆動、散熱傳群導(dǎo)方委程的癢定解給問題圓上。脹但定載解問息題必川須滿屈足初勿始條丙件為恰零，訊邊界既條件據(jù)齊次策！17例2、若V她(x,t;τ)是定提解問弊題是定恰解問稀題的解先，則怎：的解.18證明評：首據(jù)先，其次愛，因V(x,t,τ)是齊蘆次定嚼解問語題的概解，吉因此壩，不榜難證背明19解的豎適定砌性滿足諒解的性存在暢性、睡唯一打性和歉穩(wěn)定辜性的瞧解稱香為解探的適稈定性意。解的屋穩(wěn)定放性是養(yǎng)指若雞定解篇條件竟有微膜小變刷化，監(jiān)其解籃也只斯有微刺小變媽化。只有婆解滿柏足穩(wěn)順定性赤，其衡解才組有意疤義，孤因定咳解條差件常掃為實伶驗數(shù)摟據(jù)，蘇有測諒量誤左差。201、染定義δ函數(shù)閘是指弊滿足肯下面麥兩個客條件母的函烈數(shù)(二)、δ函數(shù)幾點敬說明釋：21(1勺)、博幾何透意義曲線脂峰無凡限高稠，無檢限窄誘！但太曲線碌下面駛積為1。(2次)、物沾理意涂義x0xδ(x斑-x0)定義漏中條辟件(1篇)反映頃物理殖量集色中在x0處，曬該處塘稱為社點源屬；條遼件(2濃)反映言物理究量有尼限。22例3、兩肌端固覆定的嚇長為L的弦儀，密匠度為ρ，初齒始時暗刻在x0處受暢到?jīng)_怕量I的作伙用。菠求初棒速度紗和定臂解問妥題。解:(欄1)x0u(軋x,嶺t)xL023(2攻)由動勿量定箭理FΔt=Δmv得：所以愛有：定解費問題綁為：24例4、一夠根長袋為L的導(dǎo)故熱桿宴，密書度為ρ，比累熱為c，初情始時聚刻在x0處用輛火焰乖燒了讓一下予，傳銀桿的鋒熱量典為Q。求蕩初始購溫度鮮分布雪和定禁解問義題。解:(愈1)x0u(姥x,粗t)xL025(2每)所以考有：定解秘問題秧為：262、陜性質(zhì)(1顫)篩選結(jié)性質(zhì)革：對嗓任意崖連續(xù)爺函數(shù)φ(x竄),有：27所以程，證明蒼：由袋于(2免)δ函數(shù)分是偶斥函數(shù),即：有證明椒：由親于對挖任意負連續(xù)妥函數(shù)φ(x添),有所以竿，28δ函數(shù)戀的導(dǎo)癢數(shù)定義像：設(shè)定義弱的算拍符δ(n愁)稱為δ(x哭)的n階導(dǎo)勤數(shù)。合理疏性解秒釋：尺作形鵝式分汽部積喚分：由291、菊定義δ函數(shù)頭是指謊滿足悲下面惠兩個些條件蛾的函良數(shù)高維δ函數(shù)物理溫解釋匯：表并示點勤源的瞞廣義誓函數(shù)甲。30例6、在M0處放掛置單戀位電遇荷，矩則電竹荷體陰密度謝為δ函數(shù)型。三維δ函數(shù)看與一慮維δ函數(shù)惱的關(guān)逃系：2、設(shè)性質(zhì)(1橋