2022年高考數(shù)學二輪復習專題輔導資料專題函數(shù)與方程思想

專題四：函數(shù)與方程思想【考情剖析】縱觀近幾年的高考試題，函數(shù)的主干知識、知識的綜合應用以及函數(shù)與方程思想等數(shù)學思想方法的考察，一直是高考的重點內容之一。在高考試卷上，與函數(shù)有關的試題所占比率始終在20%左右，且試題中既有靈活多變的客觀性試題，又有一定能力要求的主觀性試題。函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學思想，高考取所占比重比較大，綜合知識多、題型多、應用技巧多。在高中新課標數(shù)學中，還安排了函數(shù)與方程這一節(jié)內容，可見其重要所在。在近幾年的高考取，函數(shù)思想主要用于求變量的取值范圍、解不等式等，方程觀點的應用可分為逐步提高的四個層次：（1）解方程；（2）含參數(shù)方程議論；（3）轉變?yōu)閷Ψ匠痰难芯?，如直線與圓、圓錐曲線的地點關系，函數(shù)的性質，會合關系；（4）結構方程求解。預測2022年高考對本講考察趨勢：函數(shù)的零點問題、二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間的關系；特別注意客觀形題目，大題一般難度略大?！局R交匯】函數(shù)與方程（不等式）的思想貫串于高中學習的各個內容，

求值的問題就要波及到方程，求取值范圍的問題就離不開不等式，但方程、不等式更離不開函數(shù)，函數(shù)與方程（不等式）思想的運用使我們解決問題的重要手段。函數(shù)與方程是兩個不同的觀點，但它們之間有著親密的聯(lián)系，方程

f＝0的解就是函數(shù)＝f的圖像與軸的交點的橫坐標，函數(shù)＝f也能夠看作二元方程f－＝0經過方程進行研究。就中學數(shù)學而言，函數(shù)思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關初等函數(shù)的性質，解有關求值、解證不等式、解方程以及議論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，經過成立函數(shù)關系式或結構中間函數(shù)，把所研究的問題轉變?yōu)樽h論函數(shù)的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的。很多有關方程的問題能夠用函數(shù)的方法解決，反之，很多函數(shù)問題也能夠用方程的方法來解決。函數(shù)與方程的思想是中學數(shù)學的基本思想，也是歷年高考的重點。1．函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，剖析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系，成立函數(shù)關系或結構函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質去剖析問題、轉變問題，進而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)觀點的本質認識，用于指導解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點察看、剖析和解決問題；2．方程的思想，就是剖析數(shù)學識題中變量間的等量關系，成立方程或方程組，或許構造方程，經過解方程或方程組，或許運用方程的性質去剖析、轉變問題，使問題獲得解決。方程的數(shù)學是對方程觀點的本質認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點察看辦理問題。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系；3．函數(shù)的思想與方程的思想的關系在中學數(shù)學中，好多函數(shù)的問題需要用方程的知識和方法來支持，好多方程的問題需要用函數(shù)的知識和方法去解決．對于函數(shù)＝f，當＝0時，就轉變?yōu)榉匠蘤＝0，也可以把函數(shù)＝f看作二元方程－f＝0，函數(shù)與方程可相互轉變。4．函數(shù)方程思想的幾種重要形式（1）函數(shù)和方程是親密有關的，對于函數(shù)＝f，當＝0時，就轉變?yōu)榉匠蘤＝0，也能夠把函數(shù)式＝f看做二元方程－f＝0。函數(shù)問題（比如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等）能夠轉變?yōu)榉匠虇栴}來求解，方程問題也能夠轉變?yōu)楹瘮?shù)問題來求解，如解方程f＝0，就是求函數(shù)＝f的零點；（2）函數(shù)與不等式也能夠相互轉變，對于函數(shù)＝f，當>0時，就轉變?yōu)椴坏仁絝>0，借助于函數(shù)圖像與性質解決有關問題，而研究函數(shù)的性質，也離不開解不等式；3）數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點辦理數(shù)列問題十分重要；*4）函數(shù)f＝(axb)（n∈N）與二項式定理是親密有關的，利用這個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法能夠解決好多二項式定理的問題；5）解析幾何中的很多問題，比如直線和二次曲線的地點關系問題，需要經過解二元方程組才能解決，波及到二次方程與二次函數(shù)的有關理論；6）立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經常需要運用布列方程或成立函數(shù)表達式的方法加以解決?！舅枷敕椒ā款}型1：函數(shù)思想在方程中應用例1．已知5bc1（a、b、c∈R），則有（）5aAb24acBb24acCb24acDb24ac解析：法一：依題設有a·5－b·5＋c＝0，∴5是實系數(shù)一元二次方程ax2bxc0的一個實根；∴△＝b24ac≥0∴b24ac應選B；法二：去分母，移項，兩邊平方得：5b225a210acc2≥10ac＋2·5a·c＝20ac，b24ac應選B題型2：函數(shù)思想在不等式中的應用例2．若a、b是正數(shù)，且知足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范圍。方法一當作函數(shù)的值域∵ab＝a＋b＋3，∴a≠1，∴b＝錯誤!，而b>0，∴錯誤!>0，即a>1或a0，∴a>1，故a－1>0∴ab＝a·錯誤!＝錯誤!＝a－1＋錯誤!＋5≥9當且僅當a－1＝錯誤!，即a＝3時取等號．又a>3時，a－1＋錯誤!＋5是對于a的單調增函數(shù)．∴ab的取值范圍是[9，＋∞．a，b為正數(shù)，∴a＋b≥2錯誤!，又ab＝a＋b＋3，∴ab≥2方法二當作不等式的解集∵錯誤!＋3即錯誤!2－2錯誤!－3≥0，解得錯誤!≥3或錯誤!≤－1舍去，∴ab≥9∴ab的取值范圍是[9，＋∞．方法三若設ab＝t，則a＋b＝t－3，∴a，b可當作方程2－t－3＋t＝0的兩個正根．進而有錯誤!，即錯誤!，解得t≥9，即ab≥9∴ab的取值范圍是[9，＋∞．點評：當問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時，是建立一元二次方程的顯然信息，結構方程后再利用方程知識可使問題巧妙解決。當問題中出現(xiàn)多個變量時，往往要利用等量關系去減少變量的個數(shù)，如最后能把其中一個變量表示成對于另一個變量的表達式，那么便可用研究函數(shù)的方法將問題解決。題型3：函數(shù)思想在實際問題中的應用例3．（2022陜西理14．植樹節(jié)某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米．開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發(fā)前來領取樹苗往返所走的行程總和最小，這個最小值為（米）．【剖析】把實際問題轉變?yōu)閿?shù)學模型,然后列式轉變?yōu)楹瘮?shù)的最值問題；【解】（方法一）設樹苗放在第i個樹坑旁邊（如圖），12i1920那么各個樹坑到第i個樹坑距離的和是：s(i1)10(i2)10(ii)10[(i1)i]10(20i)1010[iii(i1)i(20i)(20i)(i120)]10(i221i210)。22所以當i10或11時，s的值最小，最小值是1000，所過去返行程的最小值是2000米。（方法二）根據圖形的對稱性，樹苗放在兩頭的樹坑旁邊，所得行程總和相同，取得一個最值；所以從兩頭的樹坑向中間移動時，所得行程總和的變化相同，最后移到第10個和第11個樹坑旁時，所得的行程總和達到另一個最值，所以計算兩個行程和即可。樹苗放在第一個樹坑旁，則有行程總和是10(1219)21019(119)23800；樹苗2放在第10個（或第11個）樹坑旁邊時，行程總和是：10(129)10(1210)2109(19)21010(110)290011002000，22所以行程總和最小為2000米點評：結構的二次函數(shù)形式在解題過程中起到了重點作用，函數(shù)是解決詳細問題的有效工具。該題經過剖析實際模型成立了函數(shù)解析式，研究函數(shù)的性質，解釋問題。題型4：函數(shù)思想在數(shù)列中的應用例4．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a312，S12>0，S13S1S2S3S12a312a1122dS1212a144d14442d0，S13＝13a178d15652d<0，∴24<d<－37n(n1)d1dn25d)n，（2）Snna1(12222512∵d<0，S是對于n的二次函數(shù)，對稱軸方程為：＝。n2d∵24<d<－3，∴6<512<13，72d2∴當n＝6時，Sn最大。點評：數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點辦理數(shù)列問題十分重要。題型5：函數(shù)思想在立體幾何中的應用例5．（1）如圖，AB是圓O的直徑，2222222222rsin2θ24r2sin2θ2rsin2θ2rsinθ161sin2θ1sin2θ1sin2θ1sin2θ27xyz，(xyyzzx)16yz8(xyzx)8xx212272727888xyz32yz1，2t2(1x)txx20272727，得1x5V'(x)3x22x83(x2)(x4x4V(x)min16099279)97299x2V(x)max20(1a)xy10x2y22x01，12，219729y1(1a)x(22aa2)x22ax104a24(22aa2)8a80a1l0l0l0a2bc12a520bca212a52t28ta212a520故(8)24(a212a52)4(a6)20sinxcosxsinxcosx4(a212a36)0sinxcosxt，t2，2sinxcosxt21yt2t1，t2，22221y1221sinxcosxsinxcosx12f(x)sin2xsinxaf(x)0f(x)02121sin2xsinxa0asin2xsinxsinxsinx1，12421，21，2ax2sinx11af(x)0yaxbb2444x21x214x2ax4b01a216(4b)0axb44x2ax4b0x21a216(4b)0a216(4b)0a24(1b)01011202a±4mx243xn2－43＋－n＝0，∈R，b3x21由已知得－m≠0，∴△＝－432－4－m－n≥0。即：2－m＋n＋mn－12≤0①，不等式①的解集為－1,7，則1(mn)mn120。497(mn)mn120解得：m5或m1∴＝n1n5（也可：由解集－1,7而設＋1－7≤0,然后與不等式①比較系數(shù)而得。）點評：本例解法中，對題設中給出的最值，一方面認為是方程的實數(shù)解，另一方面又認為是不等式的恒成立條件。由于對題設條件的理解深刻，所以構想新穎，證法謹慎。題型9：方程思想在數(shù)列知識中的應用例9．若－2－4－－＝0,求證：、、成等差數(shù)列。剖析：題設正好是鑒別式b2－4ac＝0的形式，因此結構一個一元二次方程求解。證明：當＝時，可得＝，∴、、成等差數(shù)列；當≠時，設方程－t2－－t＋－＝0，由△＝0得t1＝t2，并易知t＝1是方程的根。∴t·t＝y(tǒng)z＝1，即2＝＋，12xy∴、、成等差數(shù)列。點評：題設條件具備或經變形整理后具備1＋2＝a、1·2＝b的形式，則利用根與系數(shù)的關系結構方程；具備b2－4ac≥0或b2－4ac≤0的形式，可利用根的鑒別式結構一元二次方程。題型10：方程思想在三角知識中的應用例10．△ABC中，求證：coA·coB·coC≤18證明：設＝coA·coB·coC＝

1[coA＋B＋coA－B]·coC＝

1[－coC＋coA－B]coC；22整理得：co

2C－coA－B·coC＋2＝0，即看作對于

coC的一元二次方程。∴△＝co2A－B－8≥0，即

8≤co

2A－B≤1；∴≤1即coA·coB·coC≤1。88點評：既是方程思想，也屬鑒別式法。還可用放縮法：coA·coB·coC＝＝－1co2C2＋1coA－B·coC＝－1[coC－cos(AB)]2＋1co2A－B≤1co2A－B≤1。222888題型11：函數(shù)零點與方程的解例11．（1）（2022天津理2）函數(shù)fx2x3x的零點所在的一個區(qū)間是（）．A．2,1B．1,0C．D．【答案】B【解析】解法1．因為f22260，f12130，f02000，所以函數(shù)fx2x3x的零點所在的一個區(qū)間是1,0．應選Ｂ．解法2．fx2x3x0可化為2x3x．畫出函數(shù)y2x和y3x的圖象，可察看出選項Ｃ，Ｄ不正確，且f02000，由此可清除Ａ，應選Ｂ．點評：函數(shù)的零點、方程的根以及函數(shù)圖像與軸的交點之間存在相互轉變關系。此題主要考察學生對方程的根與函數(shù)零點關系的理解，以及利用函數(shù)圖象確定函數(shù)零點的個數(shù)的方法。（2）已知函數(shù)f(x)2xln(1x)，則方程f(x)0在（2，1）內有沒有實數(shù)解說明原因解析：由基本初等函數(shù)的性質可知函數(shù)f(x)2xln(1x)在其定義域(,1)內的圖象連續(xù)，且有f(1e)2(1e)lne32e0，f(11)2(11)ln1120，eeee于是有f(1e)·f(11)0。e1∴函數(shù)f(x)在區(qū)間（1e，1）內起碼有一個零點，e即方程f(x)0在區(qū)間（1e，11）（2，1）內起碼有一個實數(shù)解．e點評：此題主要考察學生對函數(shù)零點存在判斷定理的理解與應用?！舅季S總結】1．函數(shù)描繪了自然界中量的依存關系，反應了一個事物隨著另一個事物變化而變化的關系和規(guī)律。函數(shù)思想的實質是剔除問題的非數(shù)學特點，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學對象，抽象其數(shù)學特點，成立函數(shù)關系；2．在解決某些數(shù)字問題時，先設定一些未知數(shù)，然后把它們看作已知數(shù)，根據題設本身各量間的限制，列出等式，所設未知數(shù)交流了變量之間的關系，這就是方