高中數(shù)學(xué)人教高中選修第三章空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何

利用空間向量的方法解決立體幾何問題，關(guān)鍵是依托圖形建立空間直角坐標(biāo)系，將其他向量用坐標(biāo)表示，通過向量運(yùn)算，判定或證明空間元素的位置關(guān)系，以及空間角、空間距離問題的探求.所以如何建立空間直角坐標(biāo)系顯得非常重要，下面簡述空間建系的四種方法.題型一、利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱

例1如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)分別是線段PA，CD的中點(diǎn)，求異面直線EF與BD所成角的余弦值.解

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則E(0,0,1)，F(xiàn)(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0).點(diǎn)評本例以直四棱柱為背景，求異面直線所成角.求解關(guān)鍵是從直四棱柱圖形中的共點(diǎn)的三條棱互相垂直關(guān)系處著手，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，再求兩異面直線的方向向量的夾角即可.題型二、利用線面垂直關(guān)系例2如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，E為棱C1C的中點(diǎn)，已知AB＝

BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝

試建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出圖中所有點(diǎn)的坐標(biāo).解過點(diǎn)B作BP垂直BB1交C1C于點(diǎn)P，因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BP，AB⊥BB1，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BP，BB1，BA所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz.又BP⊥BB1，BB1∩AB＝B，且BB1，AB?平面ABB1A1，所以BP⊥平面ABB1A1，點(diǎn)評空間直角坐標(biāo)系的建立，要盡量地使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，這樣建成的坐標(biāo)系，既能迅速寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，又由于坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)含有0，也為后續(xù)的運(yùn)算帶來了方便.本題已知條件中的垂直關(guān)系“AB⊥平面BB1C1C”，可作為建系的突破口.題型三、利用面面垂直關(guān)系例3如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠ABC＝60°，E是BC的中點(diǎn).將△ABE沿AE折起，使平面BAE⊥平面AEC(如圖2)，連接BC，BD.求平面ABE與平面BCD所成的銳角的大小.解

取AE中點(diǎn)M，連接BM，DM.因?yàn)樵诘妊菪蜛BCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中點(diǎn)，所以△ABE與△ADE都是等邊三角形，所以BM⊥AE，DM⊥AE.又平面BAE⊥平面AEC，所以BM⊥MD.以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ME，MD，MB所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Mxyz，如圖，設(shè)平面BCD的法向量為m＝(x，y，z)，取y＝1，得m＝(0,1,1)，所以平面ABE與平面BCD所成的銳角為45°.點(diǎn)評本題求解關(guān)鍵是利用面面垂直關(guān)系，先證在兩平面內(nèi)共點(diǎn)的三線垂直，再構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，然后分別求出兩個(gè)平面的法向量，求出兩法向量夾角的余弦值，即可得所求的兩平面所成的銳角的大小.用法向量的夾角求二面角時(shí)應(yīng)注意：平面的法向量有兩個(gè)相反的方向，取的方向不同求出來的角度就不同，所以最后還應(yīng)該根據(jù)這個(gè)二面角的實(shí)際形態(tài)確定其大小.題型四、利用底面的中心與高所在的直線，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系例4如圖所示，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O.(1)求證：平面O1DC⊥平面ABCD；證明如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)OA＝1，OA1＝a.則A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0，a)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，O1(－1,0，a).設(shè)m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分別是平面O1DC和平面ABCD的法向量.故m·n＝0，即平面O1DC與平面ABCD的法向量垂直，故平面O1DC⊥平面ABCD.(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AA1，BC上，且AE＝2EA1，問點(diǎn)F在何處時(shí)，EF⊥AD?故當(dāng)F為BC的三等分點(diǎn)(靠近B)時(shí)，有EF⊥AD.點(diǎn)評依托于平行六面體的高所在直線與底面正方形的兩對角線便可建立空間直角坐標(biāo)系.1231.如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，E，F(xiàn)分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，則EF和CD所成的角為____.45°當(dāng)堂檢測解析以D為原點(diǎn)，分別以射線DA，DC，DD1為x軸、y軸、z軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz如圖所示，設(shè)正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，∴異面直線EF和CD所成的角是45°.1232.在底面為直角梯形的四棱錐S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝

則平面SCD與平面SAB所成銳二面角的余弦值為_____.123解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AS所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，1233.在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB＝2，AA1＝

D是AA1的中點(diǎn)，BD與AB1交于點(diǎn)O，且OC⊥平面ABB1A1.(1)證明：BC⊥AB1；123又∠ABD，∠AB1B為三角形的內(nèi)角，故∠ABD＝∠AB1B，又CO⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1，所以AB1⊥CO，因?yàn)锽D∩CO＝O，BD，CO?平面CBD，所以AB1⊥平面CBD，又BC?平面CBD，所以AB1⊥BC.123(2)若OC＝OA，求直線CD與平面ABC