初中數(shù)學(xué)人教八年級(jí)上冊軸對(duì)稱-等腰三角形

導(dǎo)入新課等腰三角形情境引入下列圖形不一定是軸對(duì)稱圖形的是（

）A.圓

B.長方形

C.線段D.三角形D定義及相關(guān)概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.ACB腰腰底邊頂角底角底角講授新課等腰三角形的性質(zhì)1一剪一剪：把一張長方形的紙按圖中的紅線對(duì)折，并剪去陰影部分（一個(gè)直角三角形），再把得到的直角三角形展開，得到的三角形ABC有什么特點(diǎn)？互動(dòng)探究ABCAB=AC等腰三角形找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對(duì)折，找出其中重合的線段和角.重合的線段重合的角

ACBDAB與AC

BD與CD

AD與AD∠B

與∠C.∠BAD

與∠CAD∠ADB與∠ADC

猜一猜：

由這些重合的角，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)嗎？說一說你的猜想.性質(zhì)1等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）.ABCD猜想與驗(yàn)證已知：△ABC

中，AB=AC.求證：∠B=∠C.證法1：作底邊BC邊上的中線AD.在△ABD與△ACD中：AB=AC（已知），BD=DC（作圖），

AD=AD（公共邊），∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠B=∠C（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）.應(yīng)用格式：∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角）想一想:

還有其他的方法嗎？還可以作BC邊上的高線或∠BAC的角平分線來解決.ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x

例1

如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù).典例精析解析：（1）觀察∠BDC與∠A、∠ABD的關(guān)系，∠BDC與∠C、∠ABC呢？∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A,∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.（2）設(shè)∠A=x,請(qǐng)把△ABC的內(nèi)角和用含x的式子表示出來.∵∠A+∠ABC+∠C=180°∴x+2x+2x=180°,方法總結(jié)：利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可以得到角與角之間的關(guān)系，當(dāng)這種等量關(guān)系或和差關(guān)系較多時(shí)，可考慮列方程解答，設(shè)未知數(shù)時(shí)，一般設(shè)較小的角的度數(shù)為x.如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數(shù).解：∵AB=AD=DC∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC設(shè)∠C=x，則∠DAC=x，∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2x，在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得2x+x+26°+x=180°，解得x=38.5°.∴∠C=x=38.5°，

∠B=2x=77°.針對(duì)訓(xùn)練：例2

等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是50°，則這個(gè)三角形的底角的大小是(

)A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°解析：當(dāng)50°的角是底角時(shí)，三角形的底角就是50°；當(dāng)50°的角是頂角時(shí)，兩底角相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理易得底角是65°.故選A.A等腰三角形的性質(zhì)2二建筑工人在蓋房子時(shí)，用一塊等腰三角板放在梁上，從頂點(diǎn)系一重物，如果系重物的繩子正好經(jīng)過三角板底邊中點(diǎn)，就說房梁是水平的，你知道為什么嗎?

想一想：

剛才的證明除了能得到∠B＝∠C

你還能發(fā)現(xiàn)什么?重合的線段重合的角

ABDC

AB＝AC

BD＝CD

AD＝AD∠B

＝∠C∠BAD

＝∠CAD∠ADB

＝∠ADC=90°性質(zhì)2

等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合（通常說成等腰三角形的“三線合一”）.ABCD((12

填一填:根據(jù)等腰三角形性質(zhì)定理2完成下列填空.在△ABC中，

AB=AC時(shí)，（1）∵AD⊥BC,∴∠_____=∠_____，____=____.(2)∵AD是中線，∴____⊥____，∠_____=∠_____.(3)∵AD是角平分線，∴____⊥____，_____=_____.122BDCDADBCBD1BCADCD畫出任意一個(gè)等腰三角形的底角平分線、這個(gè)底角所對(duì)的腰上的中線和高，看看它們是否重合？不重合！三線合一為什么不一樣?1.等腰三角形的頂角一定是銳角.2.等腰三角形的底角可能是銳角或者直角、鈍角都可以.3.鈍角三角形不可能是等腰三角形.

4.等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊.5.等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合.6.等腰三角形底邊上的中線一定平分頂角.（X）（X）（X）（X）（√）明辨是非（√）例3

已知點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.(1)如圖①，若AD＝AE，求證：BD＝CE；(2)如圖②，若BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，求證：AF⊥BC.典例精析圖②圖①方法總結(jié)：在等腰三角形有關(guān)計(jì)算或證明中，有時(shí)需要添加輔助線，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線．1.（日照·中考）已知等腰梯形的底角為45°，高為2，上底為2，則其面積為（）A.2B.6C.8D.12【解析】選C.過上底的兩個(gè)頂點(diǎn)分別作下底的垂線，又因?yàn)榈捉菫?5°，高為2，則下底的長等于2+2+2=6，S=×（2+6）×2=8.

2.（泰州·中考）等腰△ABC的兩邊長為2和5，則第三邊長為

．【解析】因?yàn)?,5,5能構(gòu)成三角形，2,2,5不能構(gòu)成三角形，所以第三邊長為5.答案：53．已知：AD=DC=CB，∠A=25°,求：∠DCB的度數(shù)。ＡＢＣD【解析】∵在△ADC中，AD=CD，∴∠DCA=∠A=25°（等邊對(duì)等角）∴∠BDC=∠DCA+∠A=50°（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）在△BDC中，DC=CB，∴∠B=∠BDC=50°（等邊對(duì)等角）∴∠DCB=180°－∠B－∠BDC=80°（三角形內(nèi)角和定理）∴∠DCB=80°．4.如圖：在△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它們相交于點(diǎn)H，且AE=BE。求證：AH=2BDABCDEH證明：∵AB=AC,AD是高,∴BC=2BD⌒1⌒2又∵BE是高，∴∠ADC=∠BEC=∠AEH=90°在△AEH和△BEC中∴△AEH≌△BEC(ASA)∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°∴∠1=∠2

∠AEH=∠BECAE=BE∠1=∠2

∴AH=BC,∴AH=2BD5.如圖，已知△ABC中，AB=AC,F在AC上，在BA的延長線上截取AE=AF,求證：ED⊥BCABCDEF證明一：∵在△ABC中,AB＝AC,∴∠ABC=∠ACB(等邊對(duì)等角）.∵在△AEF,中AE＝AF，∠AEF=∠AFE（等邊對(duì)等角），∴∠CFD=∠AFE=∠AEF（對(duì)頂角相等）∵∠EDB=∠C+∠CFD，∠EDC=∠B+∠E，∵∠EDB+∠EDC=180°，∴∠EDB=∠EDC=90°，即ED⊥BC證明二：過A作AG∥ED交BC于G,∵在△AEF中AE＝AF,∴∠AEF=∠AFE，∵AG∥ED，∴∠BAG=∠AEF(同位