也談阻尼振動的周期和頻率

--#-也談阻尼振動的周期和頻率文章提要：本文運用求解二階常系數(shù)齊次微分方程的方法，討論了在欠阻尼條件下阻尼振動的周期和頻率，得到了正確結論為阻尼振動的周期要略大于該振動系統(tǒng)的固有周期，而阻尼振動的頻率要小于其固有頻率。澄清了一些參考資料上對阻尼振動周期和頻率的錯誤認識。簡諧運動在不考慮摩擦和其他阻力等因素的影響時，振動過程中系統(tǒng)的機械能守恒，所以不管是單擺還是彈簧振子在振動過程中振幅始終保持不變，這種振動稱為無阻尼振動。然而，實際的振動總要受到阻力的影響，由于要克服阻力做功，振動系統(tǒng)的機械能不斷減少。同時振動系統(tǒng)與周圍介質相互作用，振動向外傳播形成波，隨著波的傳播，系統(tǒng)的機械能不斷減少，因此振幅也逐漸減小。這種振幅隨時間減小的振動稱為阻尼振動．因為振幅與振動的能量有關，阻尼振動也就是能量不斷減少的振動。阻尼振動是非簡諧運動，其圖象如圖1所示。筆者最近翻閱了幾本高中物理參考書，發(fā)現(xiàn)關于阻尼振動周期的說法，概括起來有以下兩種：⑴物體做阻尼振動時，振幅雖不斷減小，但它振動的周期和頻率仍由其自身的結構特點所決定，并不會隨振幅的減小而變化；⑵阻尼振動的振幅雖然不斷減小，但振動頻率并不改變，這是因為振動的頻率是由振動物體的自身結構決定的，等于固有頻率。無獨有偶，筆者在一些參考書上又看到了這樣的習題：“秒擺擺球質量為 2它振動到最大位移時距最低點的高度為 4當它完成次全振動回到最大位移時，因有阻尼作用距最低點的高度變?yōu)?3如果每振動次給它補充一次能量，使擺球回到原高度，那么 內總共應補充多少能量？”此題的求解過程就是依據(jù)秒擺在做阻尼振動時的周期依然是2秒來做的。TOC\o"1-5"\h\z對比以上兩種說法，似異而實同。第一種說法只是說明了阻尼振動的周期和頻率不隨振幅的減小而變化，這一點毫無疑問是正確的。但是它又說阻尼振動的周期和頻率仍由其自身的 …結構特點所決定，言外之意就是等于其固有周期和頻率，因為只有固有周期和頻率才是一手：由振動系統(tǒng)自身的性質所決定的。第二種說法則非常明確地說就是等于其固有周期和頻 建率。因此，這兩種說法無疑都認為阻尼振動的周期和頻率等于振動系統(tǒng)的固有周期和固 室有頻率。 r"i以上說法似乎言之鑿鑿，其實是錯誤的。教材中只說簡諧運動的周期和頻率由振動寸工」系統(tǒng)本身的性質所決定，稱為振動系統(tǒng)的固有周期和固有頻率，并未說阻尼振動的周期「二三占三二和頻率也由振動系統(tǒng)本身的性質所決定，更沒有說等于固有周期和固有頻率。筆者認為，57要徹底弄清這個問題，還應該進行定量計算。 留■以彈簧振子在較粘稠的液體中的緩慢運動為例，如圖2所示，由流體力學可知，當彈簧振子的速度較小時，其所受阻力的大小和速度的大小成正比，即dxf=_yv=_y （1.1）dt由牛頓第二定律，得

TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"d2x k dx(1.2)(1.3)m =--x-y—(1.2)(1.3)dt2 m dt式中y是阻力系數(shù)。以m遍除各項，得\o"CurrentDocument"d2x k ydx =——x- dt2 m mdtky\o"CurrentDocument"令 32=—,P= （1.4）0m 2m30為振動系統(tǒng)的固有圓頻率，P為阻尼系數(shù)，和振動系統(tǒng)的性質以及介質的性質有關。于是，方程可寫為d2x dx\o"CurrentDocument" +2P—+32x=0 （1.5）dt2 dt 0為二階常系數(shù)齊次微分方程，通解為x=ce-（p-邛2-32）t+ce-（p+邛2-32）t12為了與高中教材吻合，此處只討論阻力很小的欠阻尼狀態(tài)的阻尼振動，即6<30,由上式可求出彈簧振子中質點的運動學方程為x=Ae-Ptcos（3t+p） （1.6）其中3=32--P2 （1.7）A和①為待定常數(shù)，由初始條件決定。此式中包含兩個因子，Aert表示隨時間衰減的振幅，C0S（31+中）表示振動以3為圓頻率做周期性變化，二因子相乘表示質點做運動范圍逐漸減小的往復運動——阻尼振動，其對應的圖線亦如圖1所示。由于質點的運動狀態(tài)不可能每經(jīng)過一定時間便完全重復出現(xiàn)，因此阻尼振動不是周期性運動。不過，COS（3t+中）是周期變化的，它保證了質點每連續(xù)兩次通過平衡位置并沿相同方向運動的時間間隔是相同的，于是把cos（31+中）的周期叫做阻尼振動的周期，并用T'表示，則有2兀 2兀T=—=, ——3 132-P2顯然，阻尼振動的周期大于同樣振動系統(tǒng)的簡諧運動的周期（固有周期）2兀T=——3對應的頻率則小于其固有頻率。綜上所述，阻尼振動的周期和頻率是固定的，并不隨振幅的減小而改變，但也不等于其固有周期和固有頻率。在教學中雖不