二次型與二次曲面

第七章二次型與二次曲面

二次型討論的對象是多元二次齊次函數(shù)，這種函數(shù)在物理、統(tǒng)計(jì)、規(guī)劃、極值等問題中有廣泛的應(yīng)用．例如在三維空間的幾何問題中，一般二次曲面在直角坐標(biāo)系下表示為三元二次函數(shù)，通過對二次型的討論，可以研究二次曲面的分類.本章主要討論：1．

二次型的理論；2．

空間曲面與曲線；3.二次曲面的分類．

7.1實(shí)二次型7.1.1二次型的定義及矩陣表示1．定義7.1n個(gè)變量的二次齊次函數(shù)

稱為n元二次型，簡稱二次型.當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，稱為實(shí)二次型，為復(fù)數(shù)時(shí)為復(fù)二次型，本書只討論實(shí)二次型．2．矩陣形式：

則二次型的矩陣形式為

為二次型的矩陣,為二次型的秩．

3．二次型對稱陣注：討論二次型問題，首要的問題是給定二次型能準(zhǔn)確地寫出二次型的矩陣，反之，給定一個(gè)對稱陣，會(huì)寫出以它為矩陣的二次型.這里的關(guān)鍵概念是二次型的矩陣是一個(gè)對稱矩陣.

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例1設(shè)二次型試寫出二次型的矩陣.（為三元二次型）

解：將交叉項(xiàng)的系數(shù)即平均分配給及的二次型的系數(shù)矩陣為.

例２將二次型寫成矩陣形式.

解：是一個(gè)四元二次型，先寫出二次型的矩陣

例３設(shè)，試寫出以為矩陣的二次型.

分析：是一個(gè)3階對稱陣，對應(yīng)的三元二次型，把與合并后寫出二次型.

解：設(shè)

7.1.2合同矩陣1．定義7.2（合同）二個(gè)階方陣和，可逆陣，使，則稱與合同（Congruent）記成.矩陣合同的定義與矩陣相似的定義很相似，也是階方陣之間的一種等價(jià)關(guān)系.即2．合同等價(jià)，合同等秩，反之都不成立．但不等秩，則一定不合同.

3．合同關(guān)系具有以下性質(zhì)：（1）自反性：.（2）對稱性：則.（3）傳遞性：，則.（4）與合同，則.可逆，.4．（二次型的變換）合同二次型設(shè)二次型，經(jīng)可逆線性變換（可逆）

其中，即與合同，仍是對稱陣.所以經(jīng)可逆線性變換后，二次型的對應(yīng)矩陣是合同的.也可以說：合同的矩陣是同一二次型關(guān)于不同變量的矩陣[我們教材是將變量看成個(gè)基下的坐標(biāo)，是一個(gè)基到另一個(gè)基的過渡矩陣，合同陣是不同基下的矩陣].5．實(shí)對稱陣（不但和對角陣相似，也與對角陣合同）.由于實(shí)對稱可正交相似對角化.所以存在正交陣，使所以實(shí)對稱陣都與對角陣合同.換句話說，就是任意實(shí)二次型都可通過一個(gè)適當(dāng)?shù)目赡婢€性變換化成只有平方項(xiàng)而沒有混合項(xiàng).這就引出了二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的概念.

例4.與矩陣既相似又合同的矩陣是（）

（A）.（B）.（C）.（D）.

分析：是實(shí)對稱矩陣，所以正交陣，使它和一個(gè)對角陣既相似又合同，對角陣的對角元恰是的特征值.

解：的特征值是，與既相似又合同的矩陣是，所以應(yīng)選（D）.7.2化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)1．標(biāo)準(zhǔn)二次型：只含有平方項(xiàng)的二次型稱為元二次型的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型.不惟一.線性變換為

設(shè)（1）

令（1）可變?yōu)?但不惟一.（2）當(dāng)是可逆陣時(shí).（1）式是可逆線性變換.

7.2.1用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對于實(shí)二次型，最實(shí)用的方法是正交變換法，即所作的可逆線性變換中可逆矩陣不只是可逆，還是正交矩陣.這個(gè)正交陣的存在是由實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)決定的，值得注意的是這種方法僅限于實(shí)二次型.

定理7.1對元實(shí)二次型，正交線性變換：（不惟一），使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.是的個(gè)特征值.

注1o的秩的標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)不為0的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù).2o任一個(gè)實(shí)二次型都可通過可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.元二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不惟一，有三種方法化標(biāo)準(zhǔn)形.

例5

用正交線性變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.化成標(biāo)準(zhǔn)形.

解：（1）二次型的矩陣為（2）由，得的特征值為.（3）對時(shí)，解.即所以得同解方程組為

得基礎(chǔ)解系為.正交化：

∥

單位化：

當(dāng)時(shí)，由方程組

即

得基礎(chǔ)解系為，單位化為.

得正交陣

.則

注：正交變換不惟一，但正交變換得到的標(biāo)準(zhǔn)形是惟一的.（不考慮對角元的次序時(shí)）7.2.2用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形如果不考慮正交變換，可以用可逆線性變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，得到標(biāo)準(zhǔn)形不是惟一的.

例6

用配方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形

分析：這是只有交叉項(xiàng)沒有平方項(xiàng)的二次型，先對用平方差公式.

解：令（1）

則

再令（2）

則

所作可逆線性變換為（2）代入（1）得

可逆.為可逆線性變換.7.2.3用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的初等變換法是對二次型矩陣，構(gòu)造一個(gè)的矩陣，對交替作初等行變換和相應(yīng)的初等列變換，對作列變換時(shí)，同時(shí)對作相同的列變換，當(dāng)化作標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，就化作了.這就是作可逆線性變換那個(gè)可逆矩陣.

對角陣.

例7用初等變換法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求可逆線性變換

分析：由于左上角的元素為0，而主對角線上第二個(gè)元素不為0，將第一列和第二列變換，同時(shí)將第一行和第二行交換，使得左上角元素不為0.解：由此得標(biāo)準(zhǔn)形所用的可逆線性變換為所以7.3正定實(shí)二次型7.3.1實(shí)二次型的慣性定律我們知道元二次型都可以通過一個(gè)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)形不唯一，因?yàn)橛貌煌目赡婢€性變換把同一個(gè)實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，這些標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)一般說是不同的.但在實(shí)可逆線性變換下，同一個(gè)實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中的正系數(shù)、負(fù)系數(shù)及零系數(shù)的個(gè)數(shù)是不變的，（實(shí)可逆線性變換可以不同），這就是實(shí)二次型的慣性定律.

定理7.2設(shè)元實(shí)二次型經(jīng)實(shí)可逆線性變換分別化成標(biāo)準(zhǔn)形

及則中正數(shù)的個(gè)數(shù)，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)及0的個(gè)數(shù)都與中正數(shù)的個(gè)數(shù)，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)及0的個(gè)數(shù)相同，正數(shù)的個(gè)數(shù)稱為的正慣性指數(shù)，記為負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)稱為的負(fù)慣性指數(shù)，記為.7.3.2正定二次型對于實(shí)二次型有一個(gè)特別重要的性質(zhì)——正定性.1．定義7.3設(shè)有元實(shí)二次型，如果對且，都有，則稱為正定（負(fù)定、半正定、半負(fù)定）二次型.的矩陣稱為正定（負(fù)定、半正定、半負(fù)定）矩陣.2．正定陣實(shí)對稱陣，但反之不一定.3．二次型正定的充要條件：

定理7.3實(shí)二次型正定正慣性指數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)形中個(gè)系數(shù)全為正）.

證：設(shè)，經(jīng)實(shí)可逆性變換化為.反證：若某個(gè)取，而而與正定矛盾，正慣性指數(shù).維實(shí)向量，由可逆知

故為正定二次型.

推論7.1實(shí)二次型正定的矩陣的特征值全大于.

證

是實(shí)二次型，由定理7.1知正交變換，使

由定理7.3知，正定

其中.

推論7.2實(shí)二次型正定實(shí)可逆陣使，.

證維實(shí)向量可逆，.

所以是正定二次型.

已知是正定二次型，由推論7.1知，正交陣，使

，

令，則所以由可逆及可逆，知可逆.定理7.4實(shí)對稱陣為正定的的各階順序主子式都大于零.即總結(jié)：二次型正定的充要條件實(shí)二次型正定的正慣性指數(shù).的特征值全大于實(shí)可逆陣，使.的各階順序主子式全

與合同

注：當(dāng)正定時(shí)，可證，正定.負(fù)定正定.的奇數(shù)階主子式，偶數(shù)階主子式.重點(diǎn)與難點(diǎn)：在實(shí)二次型（或?qū)崒ΨQ陣）中，合同是一種分類的辦法，正定性是另一種分類的方法，重點(diǎn)是正定二次型（或正定矩陣）.注：說或是正定的，已經(jīng)包涵了實(shí)對稱，，可逆，及.利用的正定性，來證明其他的問題，則是一個(gè)難點(diǎn)，要具體問題具體分析.1．正定陣（正定二次型的判斷）

例8

判別二次型的正定性.

解

二次型的對應(yīng)矩陣為，和具有相同的正定性，故判定的正定性即可（將分?jǐn)?shù)運(yùn)算化成參數(shù)運(yùn)算）

的全部順序主子式都大于0.正定，正定.

例9

判斷階矩陣是否正定陣..

解法1

順序主子式：，

正定.

解法2

求的特征值.

得的特征值為全.故正定.2．矩陣（二次型）正定性的證明例10

設(shè)是階正定陣，證明也正定.證因?yàn)檎?所以是實(shí)對稱，即，可逆，也是實(shí)對稱.證1用正定陣全部特征值.已知正定，的個(gè)特征值都.又的特征值為都,正定.

證2

正定實(shí)可逆陣使.求逆令為實(shí)可逆陣，所以正定.

例11設(shè)是階實(shí)對稱陣，其中正定,試證當(dāng)實(shí)數(shù)充分大時(shí)，也正定.

證由正定，可逆陣，使，即，令.

仍是對稱陣，故正交陣，

使，其中是的特征值.

正定（由Th7.3）.當(dāng)時(shí)，全，.由Th7.3知正定，從而正定，（實(shí)對稱顯然）.

例12設(shè)為實(shí)，證明是正定的.證是實(shí)對稱陣.若正定，則.又.設(shè)，則齊次方程組只有0解.對，有，設(shè).

由二次型定義知，正定.

7.伸4曲面錦與曲壯線在3.奸3節(jié)已乓熟悉惜了平轎面和慮空間公的直喘線與絹三元商一次錯(cuò)方程率之間逗的關(guān)氣系，舊現(xiàn)在予在前騎兩節(jié)矮研究饞二次縱型的挽基礎(chǔ)椅上，解本節(jié)毫重點(diǎn)家又從茄代數(shù)荷轉(zhuǎn)向裂幾何別，主棗要是至討論企二次圾曲面.與平勾面、京直線阿一樣意，曲肅面和桶曲線攀也可煩以看首成是赤滿足譽(yù)某種骨條件額的點(diǎn)屑的集恢合.在坐含標(biāo)系刮下，猜這個(gè)析條件駐表現(xiàn)奴為方清程.在空卵間直濫角坐施標(biāo)系靜下，撒若曲賓面和異三元場方程角有下識(shí)述關(guān)崇系：溝曲面搖上的單任一游點(diǎn)的咽坐標(biāo)漂都滿鉛足方崗程；踐坐標(biāo)巴滿足非方程盟的點(diǎn)館都在購曲面闖上，仆則稱逐方程投為曲榴面的鴉方程態(tài)，也托稱為流方程剝的圖獲形.下面勉對幾僚何特般征很液明顯姨的幾啄種常頂見的歷曲面忘和曲慈線建輝立它屈們的癥方程.7.4.1球面已知球心在點(diǎn)，半徑為，求該球面的方程.

在球面上，有，

該球面方程為（*）

如果球心在坐標(biāo)原點(diǎn)，球面方程為將（*）展開，得這個(gè)方程的特點(diǎn)是：（1）是三元二次方程（2）二次項(xiàng)的系數(shù)相同（3）沒有交叉項(xiàng).滿足這三個(gè)條件的方程一般說來圖形也是球面,可將其

配方為

時(shí)，表示球心在,半徑為的球面；時(shí)，球面收縮為一點(diǎn)（點(diǎn)球面）；時(shí)，無圖形（虛球面）．例1.配方得表示球心為的球面.平行慘于定硬直線扒并沿閘定曲班線帆移揭動(dòng)的巡壽直線奶形成柄的軌睡跡叫負(fù)做柱想面，曠定曲綿線夫叫中做柱瞞面的京準(zhǔn)線竭，動(dòng)紅直線膀叫做響柱面慘的母勻線.設(shè)柱岔面的疼母線評軸，茫準(zhǔn)線陣是永平面鴨上恨的曲線蒼，則斬此柱訓(xùn)面方曲程為.一般贏地，慮含有緊兩個(gè)晨變量堂的方瓣程在問平面召上表潛示一緒條曲秋線，店在空睡間里開表示顫一個(gè)逗柱面,母線滔平行螺于不清出現(xiàn)腸的那煌個(gè)變舍量對推應(yīng)的莫坐標(biāo)缸軸，壟同理當(dāng)表辯示母應(yīng)線平稅行于字軸革的柱堪面，表示生母線淹平行軍于彎軸知的柱忍面.7.趨4.斤2柱面例2表示母線平行于x軸的雙曲柱面.例3表示母線平行y軸的平面.7.奔4.鞭3旋轉(zhuǎn)錫曲面平面爬曲線C繞平涉面一妖直線L旋轉(zhuǎn)弄一周尤，所虎成的益曲面浮叫做迫旋轉(zhuǎn)食曲面.曲線C稱為丙母線擦，L稱為碌旋轉(zhuǎn)動(dòng)軸.設(shè)在糞面yO反z上，睛給定祥曲線C：將其呀繞軸z旋轉(zhuǎn)何一周差，求酒此旋四轉(zhuǎn)曲嶄面方售程.設(shè)為奧曲面定上任應(yīng)一點(diǎn)銳，位殘于曲瞎線嚴(yán)上點(diǎn)篇的轉(zhuǎn)誘動(dòng)軌壘道（自圓周墳）上牧，顯片然兩，險(xiǎn)且由傳到軸粘的距粒離相櫻等，慮有澤，忘所以柏旋轉(zhuǎn)傭曲面親方程紋為.同理屢曲線揮繞米軸轉(zhuǎn)盡一周邁得旋冬轉(zhuǎn)曲懸面方伸程為輔：總之五，在軟坐標(biāo)用面上幕的曲爆線繞喬其上桌一個(gè)冰軸轉(zhuǎn)勝動(dòng)得斷到的捎旋轉(zhuǎn)個(gè)曲面渣方程竭可以忽這樣委寫處踏：將屈曲線泄方程掘中與盟轉(zhuǎn)軸抽相同走的變講量不響動(dòng)，返而把選另一窮個(gè)變弄量換賺為它困自己篇的平粉方與樂方程堵未出碧現(xiàn)的鉗變量迫的平理方和命的平擴(kuò)方根史即可.例4直線步繞板軸爸轉(zhuǎn)動(dòng)餅得到塑的曲勻面為拳即酒，陜或.圖稱惑為圓撞錐面始，其的半頂躺角板的正恩為.例5橢圓量繞奪軸旋榴轉(zhuǎn)得至到旋接轉(zhuǎn)橢挑球面我：例6雙曲廁線穿繞慰軸具旋轉(zhuǎn)灑得旋估轉(zhuǎn)單植葉雙迅曲面例7拋物效線昆繞撇軸旋垮轉(zhuǎn)得校旋轉(zhuǎn)漆拋物棍面一般襲地說蜘：在稈一個(gè)雜方程廚中，構(gòu)若有較兩個(gè)毒變量箏以平窩方和諸的形純式出懸現(xiàn)，渣它就園是旋宇轉(zhuǎn)曲償面的偏方程.一、鼠空間架曲線晝的一委般方斬程屈空間疼曲線咸可以役看作永兩曲顛面閥，襖的賤交線柜稱為元空間匯曲線苦的駱一般串方程.注：勢由于資過曲肉線歇的曲攔面有藥無窮呈多，采所以發(fā)的芽方程牲不唯昆一.例如予，以糟原點(diǎn)唯為球累心，1為半雨徑的項(xiàng)球面戴與萌面仇的交把線，儀是萬平面尿上的話以原商點(diǎn)為仁圓心爹的單林位圓奧，其儉方程務(wù)為7.謙5空間削曲線泥及其血方程例8方程濕組殊表置示怎籃樣的蹲曲線.解限為車平行絹于填軸懇的圓是柱面,為平板行于格軸的塑平面座，方綢程組償表示炭平面晌與圓太柱面掌的交淋線.例9方程脹組膏表己示怎雪樣的胃曲線.解成第首一個(gè)做方程呼表示爭以原泊點(diǎn)為漲球心迎，a為半你徑的帥球的饞上半范球面.第二攏個(gè)方蘭程表妻示準(zhǔn)輪線為獲的面歸上的電圓且母卸線平鉛行于觸軸票的圓霜柱面.方程玻組為魚上半諒球面鄉(xiāng)豐與圓駱柱面知的交芽線.也稱敗為維敘維亞乘尼曲映線.①與面的交線：即曲線是橢圓；

②與面的交線：是雙曲線；

③與面的交線：是雙曲線解:例10曲面劃與坐剩標(biāo)面料的交停線是詞什么?.二、欠空間鵲曲線謙的參致數(shù)方抖程與平神面曲畫線一檢樣，球空間退曲線沸也可嘗由參鹽數(shù)方那程表猴示，刻上的頌動(dòng)點(diǎn)芳為參怖數(shù)弟的屑函數(shù)持，給余定微得火上和的一頓點(diǎn)栽隨趣的雖變動(dòng)帝便得捏到c的全雅部點(diǎn).即性為曲竊線辮的野參數(shù)粘方程.例11在圓柱面

上有一動(dòng)點(diǎn)M以角速度w右旋繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)同時(shí)又以勻速v沿母線上升，求M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程.解取時(shí)間t為參數(shù)，當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)M位于處，經(jīng)過時(shí)間t，動(dòng)點(diǎn)由運(yùn)動(dòng)到M在面上的投影為角速度是則參數(shù)方程變?yōu)槁菪€在實(shí)踐中常用到，例平頭螺釘?shù)木壡€就是螺旋線，螺旋線上升的高度與速度成正比，當(dāng)轉(zhuǎn)過一周時(shí)，上升的高度在工程技術(shù)上稱為螺距.三、題空間吼曲線駁在坐鏡標(biāo)面耳上的平投影以空移間曲冷線爽為昂準(zhǔn)線非，作重母線暖平行運(yùn)于弟軸（凱或襲軸滅、或珠軸懼）的看柱面按，這核個(gè)柱芽面與乏坐標(biāo)移面融（或腹、斯）浮的交勾線稱吊為曲作線掏在聽坐標(biāo)優(yōu)面夸（或型、程）怕上的旱投影薪（曲特線）.求空貨間曲房誠線的戰(zhàn)投影班是很玩重要捆的，歐若已掃知曲司線局的方程尾為邀從這物個(gè)方訂程組備中，欺消去用所得丹到的狂方程涂，就跪是以島為勵(lì)準(zhǔn)線殿，母智線平抱行于園軸致的柱匪面方程霧，故若在鈴面上辦的投洲影為見同樣豈從個(gè)的方箏程中喚消去愁或版，避可得割到甲在和適面瓣上的盼投影.例12已知貼兩球準(zhǔn)面的瞎方程帆為情①方和江②求室它們勉的交適線在撥面敲上的喝投影乞方程解先求卸母線婆平行蛛軸過冊曲線案的土柱面戀方程濤，從義①②呆中消去渾，碰①-②化簡伸得庸再以掩代錯(cuò)入①獨(dú)或②糧得柱桿面方授程為餐兩水球面駱交線割在希面上階的投柴影是7.攻6二次顆曲面在第衛(wèi)五節(jié)外我們壞講了也空間通曲面嶼的概厚念，刻建立覆了球衛(wèi)面方柔程和福各種樸柱面忘方程欄等.這節(jié)終我們斗要專腹門討拾論二購次曲析面，壤在平怪面幾業(yè)何中砌我們月研究儀了二澤次曲炒線、陶圓、醫(yī)橢圓援、拋濕物線彼、雙噸曲線純等，鐘在空慘間解欺析幾勁何中簽我們保將三脊元二極次方廉程所謀表示議的曲鬼面稱需為二欠次曲吼面，催平面罩稱為丸一次陸曲面.7.牽4節(jié)講堤過球浩面、享圓柱輕面、滿拋物圣面和獸雙曲殃面，蝕這些昂都是癢二次食曲面薦在那魂節(jié)里壟我們恰只是維粗略且地描遙繪它浙們的購圖形.平面魯解析厭幾何豬中有跨時(shí)用鑰描點(diǎn)涼法研揚(yáng)究它雅的圖瓣形，膽對于召三元毯方程愚所表宇示的討曲面錢的形橫狀，鬼顯然伯難以純用描肆點(diǎn)法鐵得到秒，這好節(jié)我喬們用杠截痕勝法來鋪研究覆常用烏的二經(jīng)次曲逃面，勸即用蕩坐標(biāo)跪和平學(xué)行于尤坐標(biāo)達(dá)面的作平面捆與曲劣面相待截，培考察租其交承線（展即截替痕的郊形狀削，然孔后加塌以綜粱合，寬從而株了解煌曲面孝的全疲貌）.一、吵橢球賣面瓶由方產(chǎn)程刺（1）扶所確定定的慨曲面游叫做攀橢球壤面,稱為霸橢球姓面的憐半軸夏，由（1）知澡，鳥即橢球幫面（1）完腿全包斑含在太以原沸點(diǎn)為庸中心巖的長厲方體花內(nèi).為了辮知道禮這一孔曲面帳的形沾狀，土我們規(guī)先求閥出它計(jì)與三毫個(gè)坐獄標(biāo)面的交蹦線這些茅交線攀都是激橢圓泳，再治看這勢曲面繭與平穩(wěn)行于紙面的迎平面字的枝交線這是嗓平賣面內(nèi)蘿的橢摘圓，節(jié)它的軋兩個(gè)脅半軸副分別揚(yáng)為,當(dāng)訊由小橡變大守時(shí)，薪橢圓豬的截吵面由晨大到謠小，