浙江省湖州市三賢聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題Word版含答案

絕密★考試結(jié)束前湖州市三賢聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字；3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.在空間坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為A.B.C.D.2.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的斜率是A.B.C.D.3.已知向量，且與互相垂直，則k＝A.B.C.D.4.“且”是“方程表示橢圓”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件5.已知直線分別與軸、軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓=2上，則面積的取值范圍是A.B.C.D.6.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,,離心率為,若橢圓上存在點(diǎn),使得QUOTE,則該離心率的取值范圍是A.B.C.D.7.如圖，某市有相交于點(diǎn)的一條東西走向的公路與一條南北走向的公路，有一商城的部分邊界是橢圓的四分之一，這兩條公路為橢圓的對(duì)稱軸，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為1（單位：千米）．根據(jù)市民建議，欲新建一條公路，點(diǎn)，分別在公路，上，且要求與橢圓形商城相切，當(dāng)公路長(zhǎng)最短時(shí)，(第7題圖)的長(zhǎng)為(第7題圖)A.B.C.D.8.在三棱錐中，兩兩垂直且相等，若空間中動(dòng)一點(diǎn)滿足，其中且.記與平面所成的角為，則的最大值為A.B.C.D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分；在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向量為，則下列結(jié)論中正確的是A.在軸上的截距為B.的傾斜角等于C.與直線垂直D.向量為直線的一個(gè)法向量10.若，分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，且∥，下面說法正確的有A.直線的斜率為定值 B.當(dāng)時(shí)，的最小值為C.當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時(shí)，D.11.直線與曲線恰有一個(gè)交點(diǎn)，實(shí)數(shù)可取下列哪些值A(chǔ).B.C.1D.12.在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則A.當(dāng)時(shí),的周長(zhǎng)為定值B.當(dāng)時(shí),三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，，若，，共面，則實(shí)數(shù)＝▲.14.過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為▲.15.經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為▲．16.舒騰尺是荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰（1615-1660）設(shè)計(jì)的一種作圖工具，如圖，是滑槽的中點(diǎn)，短桿可繞轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿通過處的鉸鏈與連接，上的栓子QUOTE可沿滑槽滑動(dòng).當(dāng)點(diǎn)QUOTE在滑槽內(nèi)作往復(fù)移動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)繞轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)也隨之而運(yùn)動(dòng).記點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為.若，，過(第16題圖)上的點(diǎn)向作切線，則切線長(zhǎng)的最大值為▲．(第16題圖)四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分10分)如圖，在平行六面體中，，.求：(Ⅰ)；(Ⅱ)的長(zhǎng).(第17題圖)(第17題圖)18.(本小題滿分12分)已知直線經(jīng)過點(diǎn).（Ⅰ）當(dāng)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等時(shí)，求的方程；（Ⅱ）若與軸、軸的正半軸分別相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)三角形的面積最小時(shí)，求的方程.19.(本小題滿分12分)如圖所示，某隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個(gè)長(zhǎng)方形的三邊構(gòu)成．已知隧道總寬度為，行車道總寬度為，側(cè)墻高，為，弧頂高為.(Ⅰ)以所在直線為軸，所在直線為軸，為單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，求圓弧所在的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)為保證安全，要求隧道頂部與行駛車輛頂部(設(shè)為平頂)在豎直方向上的高度之差至少為，問車輛通過隧道的限制高度是多少？(第19題圖)(第19題圖)20.(本小題滿分12分)已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?(第20題圖)(第20題圖)21.(本小題滿分12分)已知兩個(gè)定點(diǎn),，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線.（Ⅰ）求曲線的軌跡方程；（Ⅱ）若是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作曲線的兩條切線,，切點(diǎn)為，，探究：直線是否過定點(diǎn)QUOTE若有，請(qǐng)求出定點(diǎn)，否則說明理由．22.(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系中,過橢圓右焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且的斜率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知,為上的兩點(diǎn)，若四邊形的對(duì)角線，求四邊形面積的最大值.湖州市三賢聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案題號(hào)123456789101112答案CACBACDBACDABDACBD13.14.15.16.10.簡(jiǎn)解1：已知且，點(diǎn)的可行域?yàn)槿忮F的表面及其內(nèi)部.設(shè)三棱錐中，則三棱錐中棱.與平面所成的角的正弦值即轉(zhuǎn)化為與平面所成的角的正弦值.取的中點(diǎn)，則，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).點(diǎn)即點(diǎn)在平面內(nèi)的投影，且點(diǎn)落在外部.所以當(dāng)點(diǎn)取點(diǎn)時(shí)，取到最大值.此時(shí)，，，，進(jìn)一步解得.簡(jiǎn)解2:由上面分析可知，當(dāng)點(diǎn)取點(diǎn)時(shí)，取到的最大值，如圖建立坐標(biāo)系，則平面的法向?yàn)椋藭r(shí).16.簡(jiǎn)解：點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓周上()，點(diǎn)在以為圓心，3為半徑的圓周上()，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，線段取到最大值4，此時(shí)上的點(diǎn)作的切線，切線長(zhǎng)取到最大值為.17.解析：(1)…（3分）；…（5分）(2)………（7分），所以..………………（10分）18.（1）在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)它的方程為，把點(diǎn)代入可得，故的方程為，即.……………（3分）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)它的方程為，把點(diǎn)代入可得，故的方程為，即.……（5分）綜上可得，直線的方程為或.（2）設(shè)直線的方程為，則.………..（6分）得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，………..（8分）此時(shí)△面積最小，最小值為48.直線的方程為，即.…（10分）19．(1)由題意，有．∵所求圓的圓心在軸上，∴設(shè)圓的方程為，∵)都在圓上，∴解得∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是................................................................（6分）(2)設(shè)限高為，作，交圓弧于點(diǎn)(圖略)，則.將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入圓的方程，得，得或(舍去)．∴．故車輛通過隧道的限制高度為....................（12分）20.因?yàn)槿庵侵比庵?，所以底面，所以因?yàn)?，，所以，又，所以平面．所以兩兩垂直．（需證明后方可建系，否則適當(dāng)扣分）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．所以，．.......................................................（2分）由題設(shè)（）．（1）因?yàn)?，所以，所以?.................................................（5分）（2）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，即．令，則...........................................（7分）因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為．........................................（10分）所以，此時(shí)．.............（12分）21.（1）設(shè)點(diǎn)，由可得，，整理可得，所以曲線的軌跡方程為．................（5分）（2）依題意，，則都在以為直徑的圓上，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則圓的圓心為，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，即圓的方程為，又因?yàn)樵谇€上，由QUOTE可得，即直線的方程為，..............................................（10分）由且，可得，解得.所以直線是過定點(diǎn)...............................................（12分）22.把右焦點(diǎn)代入直線，得............（1分）設(shè)，的中點(diǎn)為，則，相減得，即，即，即.又，則又，解得，故橢圓的方程為..............（5分）（2）聯(lián)立消去，可得，解得