理論力學(xué)-機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)

第十八章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)1

動(dòng)力學(xué)

振動(dòng)是日常生活和工程實(shí)際中常見(jiàn)的現(xiàn)象。例如：鐘擺的往復(fù)擺動(dòng),汽車行駛時(shí)的顛簸，電動(dòng)機(jī)、機(jī)床等工作時(shí)的振動(dòng)，以及地震時(shí)引起的建筑物的振動(dòng)等。

利：振動(dòng)給料機(jī)弊：磨損，減少壽命，影響強(qiáng)度振動(dòng)篩引起噪聲，影響勞動(dòng)條件振動(dòng)沉拔樁機(jī)等消耗能量，降低精度等。3.研究振動(dòng)的目的：消除或減小有害的振動(dòng)，充分利用振動(dòng)為人類服務(wù)。2.振動(dòng)的利弊：1.所謂振動(dòng)就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。2

動(dòng)力學(xué)4.振動(dòng)的分類：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)的振動(dòng)

按振動(dòng)系統(tǒng)的自由度分類多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)彈性體的振動(dòng)

按振動(dòng)產(chǎn)生的原因分類：自由振動(dòng)：無(wú)阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng)，衰減振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)：無(wú)阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)自激振動(dòng)本章重點(diǎn)討論單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)。3§18–1單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)§18–2求系統(tǒng)固有頻率的方法§18–3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)§18–4單自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)§18–5單自由度系統(tǒng)的有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)§18–6臨界轉(zhuǎn)速·減振與隔振的概念第十八章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)4

動(dòng)力學(xué)§18-1單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)

一、自由振動(dòng)的概念：5

動(dòng)力學(xué)6

動(dòng)力學(xué)

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總指向物體平衡位置的力稱為恢復(fù)力。物體受到初干擾后，僅在系統(tǒng)的恢復(fù)力作用下在其平衡位置附近的振動(dòng)稱為無(wú)阻尼自由振動(dòng)。質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)：?jiǎn)螖[：復(fù)擺：7二、單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解

動(dòng)力學(xué)

對(duì)于任何一個(gè)單自由度系統(tǒng)，以q為廣義坐標(biāo)（從平衡位置開(kāi)始量?。?，則自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程必將是：

a,c是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)的常數(shù)。令則自由振動(dòng)的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：

解為：8

動(dòng)力學(xué)設(shè)

t=0時(shí)，則可求得：或：C1，C2由初始條件決定為9

動(dòng)力學(xué)

三、自由振動(dòng)的特點(diǎn)：

A——物塊離開(kāi)平衡位置的最大位移，稱為振幅。

nt+——相位，決定振體在某瞬時(shí)t

的位置

——初相位，決定振體運(yùn)動(dòng)的起始位置。

T——周期，每振動(dòng)一次所經(jīng)歷的時(shí)間。

f——頻率，每秒鐘振動(dòng)的次數(shù)，

f=1/T?！逃蓄l率，振體在2秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。反映振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，只與系統(tǒng)本身的固有參數(shù)有關(guān)。10

動(dòng)力學(xué)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的特點(diǎn)是：

(2)振幅A和初相位取決于運(yùn)動(dòng)的初始條件(初位移和初速度)；(1)振動(dòng)規(guī)律為簡(jiǎn)諧振動(dòng)；(3)周期T和固有頻率僅決定于系統(tǒng)本身的固有參數(shù)(m,k,I)。四、其它

1.如果系統(tǒng)在振動(dòng)方向上受到某個(gè)常力的作用，該常力只影響靜平衡點(diǎn)O的位置，而不影響系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律，如振動(dòng)頻率、振幅和相位等。11

動(dòng)力學(xué)

2.彈簧并聯(lián)系統(tǒng)和彈簧串聯(lián)系統(tǒng)的等效剛度并聯(lián)串聯(lián)并聯(lián)串聯(lián)121.

由系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2.

靜變形法：3.能量法：

動(dòng)力學(xué)§18-2求系統(tǒng)固有頻率的方法：集中質(zhì)量在全部重力作用下的靜變形由Tmax=Umax,求出13

動(dòng)力學(xué)

無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到距靜平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)，速度為零，即系統(tǒng)動(dòng)能等于零，勢(shì)能達(dá)到最大值（取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)）。當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到靜平衡位置時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為零，動(dòng)能達(dá)到最大值。如：14

動(dòng)力學(xué)

能量法是從機(jī)械能守恒定律出發(fā)，對(duì)于計(jì)算較復(fù)雜的振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率來(lái)得更為簡(jiǎn)便的一種方法。

例1圖示系統(tǒng)。設(shè)輪子無(wú)側(cè)向擺動(dòng)，且輪子與繩子間無(wú)滑動(dòng)，不計(jì)繩子和彈簧的質(zhì)量，輪子是均質(zhì)的，半徑為R，質(zhì)量為M，重物質(zhì)量m，試列出系統(tǒng)微幅振動(dòng)微分方程，求出其固有頻率。15

動(dòng)力學(xué)解：以x

為廣義坐標(biāo)（靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)）則任意位置x時(shí)：靜平衡時(shí)：16

動(dòng)力學(xué)應(yīng)用動(dòng)量矩定理：由，有振動(dòng)微分方程：固有頻率：17

動(dòng)力學(xué)解2：用機(jī)械能守恒定律以x為廣義坐標(biāo)（取靜平衡位置為原點(diǎn)）以平衡位置為計(jì)算勢(shì)能的零位置，并注意輪心位移x時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)2x因平衡時(shí)18

動(dòng)力學(xué)由T+U=有：對(duì)時(shí)間

t

求導(dǎo)，再消去公因子，得19

動(dòng)力學(xué)

例2鼓輪：質(zhì)量M，對(duì)輪心回轉(zhuǎn)半徑，在水平面上只滾不滑，大輪半徑R，小輪半徑

r，彈簧剛度，重物質(zhì)量為m,不計(jì)輪D和彈簧質(zhì)量，且繩索不可伸長(zhǎng)。求系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率。

解：取靜平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，取C偏離平衡位置x為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的最大動(dòng)能為：20

動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的最大勢(shì)能為：21

動(dòng)力學(xué)設(shè)則有根據(jù)Tmax=Umax,解得22

動(dòng)力學(xué)§18-3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)一、阻尼的概念：

阻尼：振動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)所受的阻力。

粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時(shí)，由于介質(zhì)粘性引起的阻尼認(rèn)為阻力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。投影式：

c——粘性阻尼系數(shù)，簡(jiǎn)稱阻尼系數(shù)。23

動(dòng)力學(xué)二、有阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解：質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。24

動(dòng)力學(xué)其通解分三種情況討論：

1、小阻尼情形—有阻尼自由振動(dòng)的圓頻率25

動(dòng)力學(xué)衰減振動(dòng)的特點(diǎn)：(1)振動(dòng)周期變大，頻率減小。——阻尼比有阻尼自由振動(dòng)：當(dāng)時(shí)，可以認(rèn)為26

動(dòng)力學(xué)(2)振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減

對(duì)數(shù)減縮率2、臨界阻尼情形臨界阻尼系數(shù)相鄰兩次振幅之比27

動(dòng)力學(xué)

可見(jiàn)，物體的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而無(wú)限地趨向平衡位置，不再具備振動(dòng)的特性。代入初始條件3、過(guò)阻尼（大阻尼）情形所示規(guī)律已不是周期性的了，隨時(shí)間的增長(zhǎng)，x0，不具備振動(dòng)特性。28

動(dòng)力學(xué)例3質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，W=150N，st=1cm,A1=0.8cm,A21=0.16cm。求阻尼系數(shù)c。解：由于很小，29

動(dòng)力學(xué)§18-4單自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)一、強(qiáng)迫振動(dòng)的概念強(qiáng)迫振動(dòng)：在外加激振力作用下的振動(dòng)。簡(jiǎn)諧激振力：

H—力幅；

—激振力的圓頻率；—激振力的初相位。無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。二、無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解30

動(dòng)力學(xué)為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為特解全解為：穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)3、強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅大小與運(yùn)動(dòng)初始條件無(wú)關(guān)，而與振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率、激振力的頻率及激振力的力幅有關(guān)。三、穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的主要特性：1、在簡(jiǎn)諧激振力下，單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)亦為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。2、強(qiáng)迫振動(dòng)的頻率等于簡(jiǎn)諧激振力的頻率，與振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量及剛度系數(shù)無(wú)關(guān)。31

動(dòng)力學(xué)(1)=0時(shí)

(2)時(shí)，振幅b隨增大而增大；當(dāng)時(shí)，(3)時(shí)，振動(dòng)相位與激振力相位反相，相差。

b

隨增大而減??；—振幅比或稱動(dòng)力系數(shù)—頻率比—曲線幅頻響應(yīng)曲線（幅頻特性曲線）132

動(dòng)力學(xué)4、共振現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為共振。此時(shí)，33

動(dòng)力學(xué)§18-5單自由度系統(tǒng)的有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)一、有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解將上式兩端除以m，并令有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次微分方程。34

動(dòng)力學(xué)x1是齊次方程的通解小阻尼：（A、

積分常數(shù)，取決于初始條件）x2是特解：代入標(biāo)準(zhǔn)形式方程并整理—強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅—強(qiáng)迫振動(dòng)相位滯后激振力相位角振動(dòng)微分方程的全解為

衰減振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)35

動(dòng)力學(xué)振動(dòng)開(kāi)始時(shí)，二者同時(shí)存在的過(guò)程——瞬態(tài)過(guò)程。僅剩下強(qiáng)迫振動(dòng)部分的過(guò)程——穩(wěn)態(tài)過(guò)程。需著重討論部分。

頻率比振幅比阻尼比因此：二、阻尼對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)的影響1、振動(dòng)規(guī)律簡(jiǎn)諧振動(dòng)。2、頻率：有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)的頻率，等于激振力的頻率。3、振幅36

動(dòng)力學(xué)(1)(2)阻尼也可忽略。(3)阻尼對(duì)振幅影響顯著。一定時(shí)，阻尼增大，振幅顯著下降?！舱耦l率此時(shí)：37

動(dòng)力學(xué)4、相位差有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)相位總比激振力滯后一相位角，稱為相位差。(1)總在0至區(qū)間內(nèi)變化。(2)相頻曲線（-曲線）是一條單調(diào)上升的曲線。隨增大而增大。(3)共振時(shí)=1，，曲線上升最快，阻尼值不同的曲線，均交于這一點(diǎn)。(4)>1時(shí)，隨增大而增大。當(dāng)》1時(shí)，反相。38

動(dòng)力學(xué)例1已知P=3500N，k=20000N/m,H=100N,f=2.5Hz

,c=1600N·s/m,求b,,強(qiáng)迫振動(dòng)方程。解：39

動(dòng)力學(xué)40

動(dòng)力學(xué)§18-6臨界轉(zhuǎn)速減振與隔振的概念

一、轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速引起轉(zhuǎn)子劇烈振動(dòng)的特定轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。這種現(xiàn)象是由共振引起的，在軸的設(shè)計(jì)中對(duì)高速軸應(yīng)進(jìn)行該項(xiàng)驗(yàn)算。單圓盤(pán)轉(zhuǎn)子：圓盤(pán)：質(zhì)量m,質(zhì)心C點(diǎn)；轉(zhuǎn)軸過(guò)盤(pán)的幾何中心A點(diǎn)，AC=e，盤(pán)和軸共同以勻角速度

轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)<n（n為圓盤(pán)轉(zhuǎn)軸所組成的系統(tǒng)橫向