晶體中電子的運(yùn)動(dòng)特征

在我們了解了電子在晶體周期勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的本征態(tài)和本征能量之后，就可以開(kāi)始研究晶體中電子運(yùn)動(dòng)的具體問(wèn)題了，由于周期勢(shì)場(chǎng)的作用，晶體中的電子的本征能量和本征函數(shù)都已不同于自由電子，因而在外場(chǎng)中的行為也完全不同于自由電子，我們稱之為

Bloch電子。首先分析一下它和自由電子的區(qū)別及其一般特征。一.Bloch電子的準(zhǔn)經(jīng)典描述波包與電子速度電子的準(zhǔn)動(dòng)量電子的加速度和有效質(zhì)量見(jiàn)黃昆書(shū)5.1節(jié)p237第七篇

晶體中電子的運(yùn)動(dòng)特征

一.Bloch電子的準(zhǔn)經(jīng)典描述：

當(dāng)外加場(chǎng)（電場(chǎng)、磁場(chǎng)等）施加到晶體上時(shí)，晶體中的電子不只是感受到外場(chǎng)的作用，而且還同時(shí)感受著晶體周期場(chǎng)的作用。通常情況下，外場(chǎng)要比晶體周期勢(shì)場(chǎng)弱得多。因?yàn)榫w周期場(chǎng)強(qiáng)度一般相當(dāng)于108V/cm。而外電場(chǎng)是難以達(dá)到這個(gè)強(qiáng)度的。因此，晶體中的電子在外場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)必須在周期場(chǎng)本征態(tài)的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論。采用的方法有兩種：

求解含外場(chǎng)的單電子波動(dòng)方程。或者是在一定條件下，把晶體中電子在外場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子來(lái)處理。通常情況下求解含外場(chǎng)的波動(dòng)方程，但只能近似求解。含外場(chǎng)的波動(dòng)方程外場(chǎng)較弱且恒定。不考慮電子在不同能帶間的躍遷。不考慮電子的衍射、干涉及碰撞。另一種方法是在：等條件下把晶體中電子在外場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子來(lái)處理。這種方法圖像清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)單，我們樂(lè)于采用。

經(jīng)典粒子同時(shí)具有確定的能量和動(dòng)量，但服從量子力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的微觀粒子是不可能的，如果一個(gè)量子態(tài)的經(jīng)典描述近似成立，則在量子力學(xué)中這個(gè)態(tài)就要用一個(gè)“波包”來(lái)代表，所謂波包是指該粒子（例如電子）空間分布在r0附近的△r

范圍內(nèi)，動(dòng)量取值在附近的范圍內(nèi)，滿足測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。把波包中心r0

看作該粒子的位置，把看作該粒子的動(dòng)量。

晶體中的電子，可以用其本征函數(shù)Bloch波組成波包，從而當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子來(lái)處理。二.波包與電子速度：

在晶體中，電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)可以用Bloch函數(shù)組成的波包描述。由于波包中含有能量不同的本征態(tài)，因此，必須用含時(shí)間因子的Bloch函數(shù)。首先考慮于一維情況。設(shè)波包由以k0為中心，在k的范圍內(nèi)的波函數(shù)組成，并假設(shè)k很小，可近似認(rèn)為不隨k而變。對(duì)于一確定的k

，含時(shí)間的Bloch函數(shù)為

把與k0相鄰近的各k’狀態(tài)疊加起來(lái)就可以組成與量子態(tài)k0相對(duì)應(yīng)的波包：波包令為分析波包的運(yùn)動(dòng)，只需分析2，即幾率分布即可。令0波函數(shù)集中在尺度為的范圍內(nèi)，波包中心為：w＝0。有若將波包看成一個(gè)準(zhǔn)粒子，則粒子的速度為布里淵區(qū)的寬度：2/a，而假設(shè)k很小，一般要求即推廣到三維情況，電子速度為注意，這里給出了把Bloch波當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子處理的條件。由于Bloch波有色散，一個(gè)穩(wěn)定的波包所包含的波矢范圍△k應(yīng)是一個(gè)很小的量。Bloch波有獨(dú)立物理意義的波矢被限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)，因?yàn)闇y(cè)不準(zhǔn)關(guān)系這表明，如果波包的大小比原胞尺寸大得多，晶體中電子的運(yùn)動(dòng)就可以用波包的運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)描述。對(duì)于輸運(yùn)現(xiàn)象，只有當(dāng)電子平均自由程遠(yuǎn)大于原胞尺寸的情況下，才可以把晶體中的電子當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子，波包移動(dòng)的速度（群速度）等于處于波包中心處粒子所具有的平均速度。附錄：更簡(jiǎn)明的說(shuō)明：

量子力學(xué)告訴我們，晶體中處于狀態(tài)的電子，在經(jīng)典近似下，其平均速度相當(dāng)于以k0為中心的波包速度，而波包的傳播速度是群速度：量子力學(xué)中的德布羅意關(guān)系：所以電子的平均速度：考慮到不同能帶的電子，晶體中電子速度的一般表述：

這個(gè)公式表達(dá)了一個(gè)非常重要的事實(shí)，那就是：

晶體中電子的平均速度只與能量和波矢有關(guān)，對(duì)時(shí)間和空間而言，它是常數(shù)，因此平均速度將永遠(yuǎn)保持不變而不衰減。也就是說(shuō)可以一直流動(dòng)下去而不衰減。這意味著：電子不會(huì)被靜止的原子所散射，嚴(yán)格周期性晶體的電阻率為零。這一點(diǎn)和自由電子論中離子是作為散射中心對(duì)電子產(chǎn)生散射而影響電子的平均（漂移）速度的概念完全不同。

下一節(jié)還將仔細(xì)分析這種情況。

換句話說(shuō)：若電子處于一個(gè)確定的狀態(tài)時(shí)，只要晶格的周期性不變，則永遠(yuǎn)處于這個(gè)態(tài)，因此，只要這種情況不變，則電子將以同樣的速度在整個(gè)晶體中不斷運(yùn)動(dòng)，而不被任何晶格所阻礙，即電子速度是一個(gè)常數(shù)，因?yàn)榫Ц駥?duì)傳播速度的影響，都已經(jīng)通過(guò)能量包括在內(nèi)了。

當(dāng)然，晶格對(duì)周期性的偏離會(huì)引起電子的散射，使它的速度發(fā)生變化，例如，電子在熱振動(dòng)的晶格中運(yùn)動(dòng)，會(huì)和聲子多次碰撞，對(duì)電子的速度產(chǎn)生極大影響；此外，外加電場(chǎng)和磁場(chǎng)也會(huì)對(duì)電子運(yùn)動(dòng)速度帶來(lái)變化，以后將陸續(xù)討論到這些情況。這個(gè)公式還表明：電子速度的方向?yàn)閗空間中能量梯度的方向，即垂直于等能面。因此，電子的運(yùn)動(dòng)方向決定于等能面的形狀，在一般情況下，在k空間中，等能面并不是球面，因此，v的方向一般并不是k的方向。下圖比較準(zhǔn)確地反映了Bloch電子的這一特點(diǎn)。只有當(dāng)?shù)饶苊鏋榍蛎妫蛟谀承┨厥夥较蛏?，v才與k的方向相同。電子運(yùn)動(dòng)速度的大小與k

的關(guān)系，以一維為例說(shuō)明在能帶底和能帶頂，E(k)取極值，因此，在能帶底和能帶頂，電子速度v＝0。E(k)v(k)而在能帶中的某處：電子速度的數(shù)值最大，這種情況與自由電子的速度總是隨能量的增加而單調(diào)上升是完全不同的。上頁(yè)圖取自黃昆書(shū)圖5-2，右圖表示的更準(zhǔn)確，一維晶格的能帶結(jié)構(gòu)（上圖）相應(yīng)的電子速度（下圖），虛線表示自由電子的速度。這種變化可用NEF模型來(lái)解釋：在區(qū)心處，電子可以用平面波描寫(xiě)，因而速度成線性變化，但隨著k值的增加，自由波受晶格散射波的影響越來(lái)越大，散射波對(duì)入射波的消弱越來(lái)越明顯，直到布里淵區(qū)邊界，強(qiáng)的Bragg反射使散射波和入射波相等，所以波速度為零。這個(gè)結(jié)果和一切幅射波在有周期性的晶體中的傳播是一樣的。三.電子棒的準(zhǔn)掩動(dòng)量竹：在外填場(chǎng)中誼，電到子所竹受的噸力為F，在dt時(shí)間蛇內(nèi)，經(jīng)外場(chǎng)總對(duì)電疊子所快做的烏功為Fvdt根據(jù)怨功能猴原理才，有在平氧行于v的方毒向上禁，dk擇/d騙t和F的分林量相長(zhǎng)等；違當(dāng)F與速棍度v垂直繪時(shí)，途不能喂用功茫能原扛理來(lái)續(xù)討論逐電子唇能量狀蹲態(tài)的柏變化畜，但挎是我偵們?nèi)栽梢越蹲C明飛在垂阻直于閘速度的方守向上睛，dk從/d舞t和外打力F的分逆量也亞相等暮。上式惱是電造子在活外場(chǎng)日作用帶下運(yùn)噴動(dòng)狀昏態(tài)變堤化的累基本贊公式，具有質(zhì)與經(jīng)份典力右學(xué)中沃牛頓朋定律果相似六的形丘式。k是電第子的錄準(zhǔn)動(dòng)森量，準(zhǔn)動(dòng)藍(lán)量不摘是嚴(yán)驅(qū)格意言義上筐的Bl難oc沒(méi)h電子鹽的動(dòng)蒸量，嚴(yán)格叛意義謊上的床動(dòng)量雪的變紀(jì)化率溪等于宋作用韻在電子乞上面犯所有績(jī)力的滿和，真而準(zhǔn)戴動(dòng)量謹(jǐn)?shù)淖兗埢疏F只是騎外場(chǎng)較力作用租的結(jié)判果，萄這里收沒(méi)有賠包括爛晶格壤勢(shì)場(chǎng)頁(yè)作用究力。晶威格勢(shì)場(chǎng)的懶作用動(dòng)被包萌含在持準(zhǔn)動(dòng)攝量中就。是Bl典oc賣(mài)h電子目準(zhǔn)動(dòng)屑量的賊另一拳種說(shuō)懇明：對(duì)于根自由孕電子甜，k=殘p就是仰電子環(huán)的動(dòng)捉量。對(duì)于肅晶體赴周期增場(chǎng)中鏈的電悼子用Bl粥oc臟h波描某述，腳動(dòng)量叮算符高作用嘉下：這表沒(méi)明Bl棋oc燃h波不專是動(dòng)妨量算役符的斜本征漏函數(shù)。彼在晶疊體周唐期場(chǎng)中，伴k是動(dòng)市量概挺念的哈擴(kuò)展閉，稱世為準(zhǔn)動(dòng)脊量或電子潤(rùn)晶格乳動(dòng)量。四.電子作的加我速度課和有鳳效質(zhì)嘉量晶體躬中電戀子運(yùn)賽動(dòng)的椅準(zhǔn)經(jīng)項(xiàng)典模藝型為稿，外岡場(chǎng)用姐經(jīng)典答方式禽處理省，晶牲體周虹期場(chǎng)測(cè)用能憂帶論踩的處飽理，船電子蒸位置嚇用Bl弓oc窩h波包展的中智心位么置代較替。準(zhǔn)經(jīng)俯典運(yùn)密動(dòng)的俯基本冊(cè)關(guān)系呆式：此外袋，假在定能撕帶指琴標(biāo)n是運(yùn)柴動(dòng)常始數(shù)，旗即電求子總戀是呆努在同班一能坊帶中駱，忽獎(jiǎng)略電臭子在循能帶補(bǔ)之間申的躍佳遷。相當(dāng)效于牛如頓第堪二定陜律從電偶子運(yùn)覽動(dòng)的撥基本渣關(guān)系牛式可將以直堪接導(dǎo)奇出在同外力急作用箏下電子盛的加倡速度岔。1.一維澤情況引入教電子舉的有效憑質(zhì)量：由于培周期維場(chǎng)的直作用楚，當(dāng)繳把加底速度林在形隸式上絲式寫(xiě)成紙僅由鞏外力隔引起配的形調(diào)式時(shí)賢，外辯力與淚加速賢度之奸間的攻關(guān)系憑顯然隙不是呀由電捷子的組慣性貝質(zhì)量給所聯(lián)寬系的黨，而鼻必須匪引入配一個(gè)催有效拒質(zhì)量產(chǎn)的概造念，它計(jì)濾入了抓周期舅場(chǎng)的旁影響。有由于倚周期壞場(chǎng)中竿電子借的能經(jīng)量E(k)與k的函翁數(shù)關(guān)部系不含是拋劇物線關(guān)系背，因擔(dān)此，電子閑的有殺效質(zhì)盾量不具是常局?jǐn)?shù)，m*與k有關(guān)。在能外帶底改，E(k)取極晨小值設(shè)，這時(shí)援，m*>0；E(k)取極許大值雀，所以爽，m*<0。在能幅帶頂2.三維纏情況其分券量形最式為＝1,芽2褲,管3矩陣科形式與牛周頓定襲律相比勤可知?jiǎng)偅F(xiàn)祝在是痰用一帶個(gè)二織階張量欄代替境了稱為縣倒有哭效質(zhì)討量張向量。抖由于餅微商座可以胃交換博順序驗(yàn)，倒米有效災(zāi)質(zhì)量擔(dān)張量肚是一村個(gè)對(duì)煌稱張毒量。夏同時(shí)傭，晶成體的恩點(diǎn)群育對(duì)稱勵(lì)性也兇會(huì)使嗚張量搬的獨(dú)筑立分導(dǎo)量減擱少，對(duì)于順各向主同性谷晶體吐，它肅退化鐵為一途個(gè)標(biāo)錫量。由于隆倒有堡效質(zhì)堅(jiān)量張?zhí)ち渴呛虒?duì)稱索張量堪，如殼將kx、ky、kz取為澆張量非的主須軸方以向，嬸就可距將其咽對(duì)角迅化。這時(shí)楚有有效扶質(zhì)量潔的作揉用在影于它病概括繩了晶叔體內(nèi)柔部周吊期場(chǎng)馬作用左（把這摧個(gè)作娘用用禮有效因質(zhì)量偉代替），姐使我仿們能止夠簡(jiǎn)有單地拘由外洗場(chǎng)力勝確定啞電子搬的加謹(jǐn)速度站。需要緩注意稅電子慰的加問(wèn)速度擔(dān)方向法并不觀一定吼與外吳場(chǎng)力蝕的方閉向一賠致，答這是么由倒賠有效香質(zhì)量拌張量栽的性占質(zhì)所各決定肥的。電子提有效純質(zhì)量賴常用瓜電子繪比熱檢數(shù)據(jù)猴計(jì)算先得到泳：其中0為自米由電裳子的請(qǐng)比熱營(yíng)系數(shù)態(tài)，ex侄p為實(shí)尸驗(yàn)值現(xiàn)。對(duì)于執(zhí)有些童材料塞，這責(zé)個(gè)比音值可簽以很女大，10汗0～10分00倍，威即電哭子的柴有效區(qū)質(zhì)量揉很大泊，稱輝為重費(fèi)昌米子，相命應(yīng)材妖料稱爐為重族費(fèi)米出子材訂料。煩這類倒材料衡對(duì)應(yīng)膝于費(fèi)栗米能謙級(jí)處有非常寨高的禍態(tài)密哀度。核這一五點(diǎn)我協(xié)們可首以從根自由檢電子示氣比溝熱系叫數(shù)中籮看到γ∝N(邀EF)例如托，19稻75年發(fā)徒現(xiàn)化茄合物Ce收Al3，其損低溫開(kāi)電子菌比熱緞系數(shù)γ高達(dá)16盒20漠m醉J/稠mo莊l·謊K。通禁常把γ值大耗于40阻0除mJ門(mén)/m稿ol流·K的材充料稱動(dòng)為重創(chuàng)費(fèi)米跡子系佛統(tǒng)。漁（暢見(jiàn)黃拍昆書(shū)p2嫂86）例：胡求簡(jiǎn)堂單立約方晶播體s態(tài)電英子的歉有效段質(zhì)量糞。,喝1搭,虎2,宋3即kx,岔ky,夾kz為張佩量的夠主軸希方向著，由垂此可只得這表桂明有濾效質(zhì)哥量的偏三個(gè)槳主分望量均破與J1成反母比，疑若原饅子間拐距越大跑，J1越小周，則呀有效疾質(zhì)量支就越夜大。在能握帶底點(diǎn)凱：k=法(0愁,奏0,妙0撇)，這時(shí)李有效橡質(zhì)量斧張量聞退化晉為一輩個(gè)標(biāo)策量。在能允帶頂R點(diǎn)：這表助明，在能倉(cāng)帶底烈和能研帶頂阻電子兼的有始效質(zhì)拆量是失各向尼同性張的，胸退化干為一雜標(biāo)量且，這瓦是立責(zé)方對(duì)雖稱的針結(jié)果腳。在X點(diǎn)：有效北質(zhì)量弊是一就個(gè)很孫重要到的概造念，忍它把碎晶體睜中電幅子準(zhǔn)抵經(jīng)典鐵運(yùn)動(dòng)鐵的加趨速度開(kāi)與外揭力聯(lián)堂系起割來(lái)。有效區(qū)質(zhì)量強(qiáng)中包道含了勺周期餅場(chǎng)對(duì)冶電子刻的作有用。并在一班般情牢況下概，倘有暫效質(zhì)辦量是淋一個(gè)鄉(xiāng)豐張量嬸，在再特殊課情況柳下也概可以帝退化虛為標(biāo)肉量。怖有效殃質(zhì)量?jī)?chǔ)不僅猾可以宇取正杰，也仿可以供取負(fù)寧。在能塞帶底鼓附近膏，有舅效質(zhì)卵量總天是正圓的；懼而在賭能帶劑頂附讀近，凝有效簽質(zhì)量啞總是處負(fù)的春。這材是因采為在執(zhí)能帶場(chǎng)底和領(lǐng)能帶脅頂E(k)分番別取獨(dú)極大子值和慨極小艷值，承分別咬具有艘正的藏和負(fù)廉的二星價(jià)微轎商。補(bǔ)充辛：有蟻效質(zhì)豪量的孩再理則解：電子療的運(yùn)堅(jiān)動(dòng)應(yīng)答該同鞭時(shí)受儲(chǔ)到晶圓格力Fl和外桃場(chǎng)力F,但在晶實(shí)際救中，郊是難淋以表膠示清年楚的政，因梳此可阿將公蠅式改寫(xiě)蜂為：通過(guò)怕引入蹤蝶有效億質(zhì)量m*取代兇真實(shí)拆質(zhì)量m而將雙未知啞的晶歷格力的作點(diǎn)用考蒸慮進(jìn)濱來(lái)，采用攤有效格質(zhì)量陶后，恒就可像以仍蹲采用部我們