隨機積分與Ito定理

第八章隨機積分—Ito積分第一節(jié)引言第二節(jié)Ito積分的理論第三節(jié)Ito積分的特征第四節(jié)Ito定理及應(yīng)用第五節(jié)更復(fù)雜情況下的Ito公式目前一頁\總數(shù)六十二頁\編于七點第一節(jié)引言一、Ito積分的導(dǎo)出在物理現(xiàn)象中是用微分方程來描述其模型，而建立微分方程是從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)。并可根據(jù)微分與積分的關(guān)系，建立相應(yīng)的積分方程。但在隨機環(huán)境中，由于不可預(yù)測的“消息”不斷出現(xiàn)，并且表示現(xiàn)象動態(tài)性的等式是這些噪音的函數(shù)，這就無法定義一個有效的導(dǎo)數(shù)，建立一個微分方程。然而，在某些條件下可以定義一個積分—Ito積分，建立積分方程。首頁目前二頁\總數(shù)六十二頁\編于七點前面討論的隨機微分等式，其中的項都只是近似討論，而沒給出精確的解釋。但如果給出Ito積分的定義，反過來才能更確切地討論。即若用微分方程代表資產(chǎn)價格的動態(tài)行為，那么能否對兩邊取積分，即也就是說，是否等式右邊第二項的積分有意義？為解釋此項積分的含義，需引進Ito積分首頁目前三頁\總數(shù)六十二頁\編于七點也就是說，一旦定義Ito積分，則上積分等式才有意義即有其中h為一定的時間間隔。若則上等式改寫為即或這正是在固定間隔下的隨機微分方程表示式首頁目前四頁\總數(shù)六十二頁\編于七點此表示式為一近似式，其精確公式為二、Ito積分的重要性首先隨機微分方程只能根據(jù)Ito積分方程來定義，要理解隨機微分方程的真正含義，必須首先理解Ito積分。其次在實際運用當(dāng)中，經(jīng)常先用固定的時間間隔，得出隨機微分方程的近似值，然后再通過Ito積分就可以給出近似值的精確形式。返回首頁目前五頁\總數(shù)六十二頁\編于七點第二節(jié)Ito積分的理論Ito積分是用來定義隨時間的變化無法統(tǒng)計和不可預(yù)測的隨機增量的總和。布朗運動如果標準布朗運動一、Ito積分的定義首頁目前六頁\總數(shù)六十二頁\編于七點定義1滿足作和式如果均方極限存在則稱記為首頁目前七頁\總數(shù)六十二頁\編于七點注意在定義中不能按通常的黎曼積分那樣作和式原因是即所以這里取固定的左端點。定理1首頁目前八頁\總數(shù)六十二頁\編于七點定理2則證令則首頁目前九頁\總數(shù)六十二頁\編于七點因為0首頁目前十頁\總數(shù)六十二頁\編于七點例1解試求故首頁目前十一頁\總數(shù)六十二頁\編于七點注表明Ito隨機積分不同于黎曼積分二、Ito積分的性質(zhì)性質(zhì)1則（1）（2）證明與黎曼積分相仿（略）首頁目前十二頁\總數(shù)六十二頁\編于七點性質(zhì)2則證明略首頁目前十三頁\總數(shù)六十二頁\編于七點性質(zhì)3則存在且關(guān)于t是均方連續(xù)的。證明首頁目前十四頁\總數(shù)六十二頁\編于七點三、Ito微分法則則第二個積分作為Ito積分存在，且（1）這時稱(1)式定義的隨機過程有(Ito)隨機微分并記為首頁目前十五頁\總數(shù)六十二頁\編于七點例2求隨機微分解由例１可知即由隨機微分的定義首頁目前十六頁\總數(shù)六十二頁\編于七點定理3Ito公式的二次微分函數(shù)，則且首頁目前十七頁\總數(shù)六十二頁\編于七點例3求隨機微分解設(shè)因為所以由Ito公式得首頁目前十八頁\總數(shù)六十二頁\編于七點定理4都是連續(xù)函數(shù)．如果隨機過程有隨機微分則首頁目前十九頁\總數(shù)六十二頁\編于七點注是復(fù)合函數(shù)鏈式微分法則在隨機微分中的表現(xiàn)，稱為Ito公式首頁目前二十頁\總數(shù)六十二頁\編于七點四、Ito隨機微分方程則在Ito積分和微分的基礎(chǔ)上建立的隨機微分方程稱為Ito隨機微分方程與Ito隨機微分方程等價的Ito隨機積分方程其中右邊第一個積分是均值積分，第二個積分是Ito積分首頁目前二十一頁\總數(shù)六十二頁\編于七點例4考慮Ito方程取由Ito公式得即所以即注將看作普通函數(shù)，則解為返回首頁目前二十二頁\總數(shù)六十二頁\編于七點第三節(jié)Ito積分的特征資產(chǎn)價格理論意義下Ito積分其中在信息集下是非預(yù)期的一、Ito積分是鞅在間隔內(nèi)影響資產(chǎn)價格不可預(yù)測的干擾總和可表示為則此Ito積分就是鞅。因為首頁目前二十三頁\總數(shù)六十二頁\編于七點給定時間t的信息集，如果每個增量是不可預(yù)測的，則這些增量的總和也是不可預(yù)測的，即于是故Ito積分是鞅。首頁目前二十四頁\總數(shù)六十二頁\編于七點下面考慮兩種有意思的情況：1．第一種情況假設(shè)此時Ito積分就等同于Riemann積分即有則即積分是鞅首頁目前二十五頁\總數(shù)六十二頁\編于七點因為維納過程的增量具有0均值且是非相關(guān)的，故此積分是鞅注當(dāng)是常數(shù)時，Riemann和Ito積分是相同的且都是鞅首頁目前二十六頁\總數(shù)六十二頁\編于七點2．第二種情況若此時Ito積分就不同于Riemann積分。Ito積分將保持鞅特性，而Riemman將不再具有鞅特性。例如如果衍生產(chǎn)品的標的資產(chǎn)具有幾何分布，其方差則可表明Ito積分就不同于Riemann積分。用Riemann求和來大致估計Ito積分會導(dǎo)致自相矛盾，方法具體過程如下例：首頁目前二十七頁\總數(shù)六十二頁\編于七點3．一個例子其中偏移量和方差率分別為假設(shè)資產(chǎn)價格滿足隨機微分方程即兩個參數(shù)都比例于資產(chǎn)價格考慮一個小時間間隔，對隨機微分方程積分現(xiàn)在用Rieman求和來討論上式右邊的第二項積分的近似計算，看會有什么結(jié)果？首頁目前二十八頁\總數(shù)六十二頁\編于七點Rieman求和的一種近似計算是用子間隔的中點處的維納過程測值來計算。首先計算然后再乘以矩形的底得從而有兩項相關(guān)下面考慮上隨機微分方程的簡單形式則其新增項形式為首頁目前二十九頁\總數(shù)六十二頁\編于七點用Riemann求和來大致估計這樣一個積分，根據(jù)底和高為矩形的面積可得由于期望這意味著上式右邊的條件期望不為0，即是可預(yù)測的，首頁目前三十頁\總數(shù)六十二頁\編于七點從而可知，用Riemann求和來估計Ito積分意味著新增干擾項有一個非零期望值，即但由于Ito積分存在條件：即有則Ito積分的近似計算必須是矛盾首頁目前三十一頁\總數(shù)六十二頁\編于七點注如果被積函數(shù)不是非預(yù)期的，則不能保證用來構(gòu)建Ito積分的部分求和的均方值會收斂為一個有效的隨機變量，即Ito積分根本就不存在。二、路徑積分考察在期間[0，T]內(nèi)資產(chǎn)價格間隔長度為分割：且有首頁目前三十二頁\總數(shù)六十二頁\編于七點假設(shè)一個金融分析家要計算積分其有限求和形式為取特殊路徑則顯然但路徑積分在隨機過程中并不一定收斂。如首頁目前三十三頁\總數(shù)六十二頁\編于七點取符號函數(shù)則有即故此路徑積分在隨機過程中不收斂。注路徑積分意義在計算路徑積分時，沒有用到與相聯(lián)系的概率，而是用實際測值來計算的。另一方面，Ito積分是用均方收斂值來計算并由隨機等式來決定。非預(yù)期重要性由于可預(yù)測的符號，函數(shù)能“看到未來情況”，則求和公式中各部分都為正，當(dāng)n增加時，就會發(fā)散。首頁目前三十四頁\總數(shù)六十二頁\編于七點三、Ito積分存在性存在的條件是也就是說的均方會收斂到某個稱為Ito積分的隨機變量首頁目前三十五頁\總數(shù)六十二頁\編于七點四、相關(guān)性Ito積分是一隨機過程，因此它有各種不同的量一次量即二次量協(xié)方差方差返回首頁目前三十六頁\總數(shù)六十二頁\編于七點第四節(jié)Ito定理及應(yīng)用在隨機環(huán)境中，導(dǎo)數(shù)的概念是不存在的，資產(chǎn)價格的變動被認為是不可預(yù)測的，且在連續(xù)時間內(nèi)變動太不規(guī)則，導(dǎo)致資產(chǎn)價格可能連續(xù)卻不光滑，必須用隨機微分來代替導(dǎo)數(shù)進行計算。Ito規(guī)則給出了一個簡化隨機微分的公式，并給出了詳細的計算。一、導(dǎo)數(shù)類型在標準計算中，所有變量都是確定型的，可以有三種類型的導(dǎo)數(shù)：首頁目前三十七頁\總數(shù)六十二頁\編于七點偏導(dǎo)數(shù)全微分鏈式導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)在金融市場中作用偏導(dǎo)數(shù)為計算資產(chǎn)價格相對于風(fēng)險因子的變化反應(yīng)提供了一個“乘數(shù)”。典型例子：是在計算套期保值參數(shù)中用到偏導(dǎo)數(shù)，假設(shè)一個市場參與者知道的函數(shù)形式，1則首頁目前三十八頁\總數(shù)六十二頁\編于七點因此對維納過程定義一個關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)不會有任何困難，但需要知道的不是隨時間的變化，而是假定在時間固定情況下，它對的小變化有什么反應(yīng)。23全微分是在假定時間和標的資產(chǎn)的價格都發(fā)生變動，而導(dǎo)致的變化，其結(jié)果就是隨機微分。它代表了在時間間隔內(nèi)衍生資產(chǎn)價格的變化，對市場交易者很有用。在標準計算中，鏈式導(dǎo)數(shù)表示一個變量相對于初始變量經(jīng)過某些連鎖效應(yīng)的最終變化速率。在隨機計算中，鏈式導(dǎo)數(shù)指的是隨機微分相互間的關(guān)系，也就是全微分的隨機形式。首頁目前三十九頁\總數(shù)六十二頁\編于七點例1且則注但全微分同隨機事件的實際發(fā)生率有關(guān)，二者不同。上式給出的是對為非隨機變量的情況。首頁目前四十頁\總數(shù)六十二頁\編于七點二、Ito定理的應(yīng)用（一）Ito定理則有Ito公式可得或首頁目前四十一頁\總數(shù)六十二頁\編于七點說明在分析金融衍生產(chǎn)品時，一旦知道標的資產(chǎn)的隨機微分方程，運用Ito公式就可得到金融衍生產(chǎn)品的隨機微分方程，即知道衍生資產(chǎn)價格的變化。例2求解因故有Ito定理可得首頁目前四十二頁\總數(shù)六十二頁\編于七點因此得到在信息集下的的隨機微分方程，其偏移率和方差項為即漂移率是常數(shù)，方差依賴于信息集。例3若則有此時得到在信息集下的的隨機微分方程，其偏移率和方差項為首頁目前四十三頁\總數(shù)六十二頁\編于七點例4計算Ito積分解設(shè)得其相關(guān)積分等式故即注這個結(jié)果與本章第二節(jié)計算出來的結(jié)果相同，可作為計算Ito積分的工具。首頁目前四十四頁\總數(shù)六十二頁\編于七點例5計算積分解定義由Ito定理得其對應(yīng)的積分等式故首頁目前四十五頁\總數(shù)六十二頁\編于七點注用Ito定理計算Ito積分的步驟123對新得到的隨機微分方程兩邊進行積分處理，得到一個新的積分等式，該等式所包含的積分的計算要比原積分簡單。4重新排列積分等式各項，得到最終結(jié)果。首頁目前四十六頁\總數(shù)六十二頁\編于七點（二）伊托定理在遠期合約定價中的應(yīng)用（補充內(nèi)容）現(xiàn)在以不支付股息的股票為例說明伊托定理在遠期合約領(lǐng)域中的應(yīng)用。假定各個時期的無風(fēng)險利率r等于常數(shù)，遠期價格用F表示，則遠期價格F與即期價格S之間的關(guān)系可表示為所以首頁目前四十七頁\總數(shù)六十二頁\編于七點如果股票價格S遵循幾何布朗運動，并且預(yù)期收益和波動率分別是和，即那么由伊托公式可得遠期價格F變化的隨機過程為將代入上式，得可見，遠期價格F與股票價格S一樣，也遵循幾何布朗運動。但是，遠期價格的預(yù)期增長率是，而不是。首頁目前四十八頁\總數(shù)六十二頁\編于七點三、Ito定理的積分形式微分形式進而可得Ito定理的另一特性：兩邊取積分，得積分形式該式說明關(guān)于維納過程和其它連續(xù)時間隨機過程的積分是用時間的積分函數(shù)表達出來的。注返回首頁目前四十九頁\總數(shù)六十二頁\編于七點第五節(jié)更復(fù)雜情況下的Ito公式第一種是在某些條件下，函數(shù)可能不只是依賴于單一隨機變量，這樣就要用到多變量的Ito公式。不能直接使用Ito公式的兩種情況：第二種考慮金融市場受到小概率事件影響，這樣需要對隨機微分方程加上跳躍過程來決定資產(chǎn)價格，相應(yīng)的Ito公式會改變很多。首頁目前五十頁\總數(shù)六十二頁\編于七點一、多變量情況設(shè)為兩個受維納過程影響的隨機過程其中則首頁目前五十一頁\總數(shù)六十二頁\編于七點是兩個獨立的維納過程的增量結(jié)果這個問題可由下面Ito定理的多變量形式得到解決：由于在單變量Ito定理中，等交叉項在均方意義下都等于0。且若在一個固定的間隔內(nèi)，有則在均方意義下，有首頁目前五十二頁\總數(shù)六十二頁\編于七點由此可得這些等式代入上式即得雙變量Ito公式首頁目前五十三頁\總數(shù)六十二頁\編于七點例1（金融衍生品）在評價利率期權(quán)衍生品的價值時，收益曲線起到很大作用。利率期權(quán)的模型之一是假設(shè)收益曲線依賴于兩個狀態(tài)變量，分別是短期利率和長期利率則利率衍生品的價格就可表示為假定利率服從隨機微分方程其中，長短期利率誤差項具有相關(guān)性，在固定間隔h內(nèi)，相關(guān)系數(shù)為首頁目前五十四頁\總數(shù)六十二頁\編于七點市場參與者可通過參數(shù)的選擇，由該等式得到長短期利率的相關(guān)性和方差特性。在評估利率期權(quán)時，需要知道期權(quán)價格對收益曲線的變化和會怎樣變化，也就是要知道隨機微分，即有Ito公式的多變量形式可得首頁目前五十五頁\總數(shù)六十二頁\編于七點例2財富假設(shè)市場有n種資產(chǎn)，都是受同一隨機變動影響的連續(xù)時間的隨機過程投資總價格可由財富函數(shù)表示則由Ito定