石油大學(xué)彈性力學(xué)

1Chapter10Torsion

Elasticity2第十章扭轉(zhuǎn)3第10章扭轉(zhuǎn)§10-1等截面直桿的扭轉(zhuǎn)§10-2橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)§10-3薄膜比擬§10-4矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)§10-5開口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)4扭轉(zhuǎn)對(duì)于任意截面桿的扭轉(zhuǎn)，這是一個(gè)空間問題，根據(jù)問題的特點(diǎn)，本章首先給出了求解扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的微分方程和邊界條件。其次，為了求解相對(duì)復(fù)雜截面桿的扭轉(zhuǎn)問題，我們介紹了薄膜比擬方法。柱體的扭轉(zhuǎn)是工程中廣泛存在的一類實(shí)際問題。材料力學(xué)中研究了圓截面桿的扭轉(zhuǎn)，采用了平面假設(shè)。對(duì)非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)，一般橫截面不再保持平面，即截面產(chǎn)生翹曲。對(duì)兩端承受扭矩的等截面直桿，如截面的翹曲不受限制，這類扭轉(zhuǎn)稱為自由扭轉(zhuǎn)；如截面的翹曲受到限制，則稱為約束扭轉(zhuǎn)。約束扭轉(zhuǎn)條件下，桿中會(huì)產(chǎn)生附加正應(yīng)力。本章討論任意截面柱形桿的自由扭轉(zhuǎn)。5扭轉(zhuǎn)§10-1等截面直桿的扭轉(zhuǎn)一應(yīng)力函數(shù)

設(shè)有等截面直桿，體力不計(jì)，在兩端平面內(nèi)受扭矩M作用。取桿的一端平面為xy面，圖示。橫截面上除了切應(yīng)力τzx、τzy以外，其余的應(yīng)力分量為零將應(yīng)力分量及體力X=Y=Z=0代入平衡方程，得xMMoyz根據(jù)前兩方程可見，τzx、τzy只是x和y的函數(shù)，與z無關(guān)，由第三式6扭轉(zhuǎn)

根據(jù)微分方程理論，一定存在一個(gè)函數(shù)x,y，使得函數(shù)x,y稱為扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力函數(shù)。a§10-1等截面直桿的扭轉(zhuǎn)

將應(yīng)力分量代入不計(jì)體力的相容方程，可見：前三式及最后一式得到滿足，其余二式要求注：體力為零時(shí)，空間問題應(yīng)力分量表示的相容方程即b7扭轉(zhuǎn)二邊界條件

在桿的側(cè)面上，將n=0，及面力分量為零代入邊界條件，可見前兩式總能滿足，而第三式要求注：空間問題應(yīng)力邊界條件即由于在邊界上§10-1等截面直桿的扭轉(zhuǎn)于是有

說明在橫截面的邊界上，應(yīng)力函數(shù)φ為常量，由于應(yīng)力函數(shù)減一個(gè)常數(shù)，應(yīng)力分量不受影響，因此在單連通截面（實(shí)心桿）時(shí)可設(shè)c8扭轉(zhuǎn)§10-1等截面直桿的扭轉(zhuǎn)對(duì)多連通截面（即空心桿）的情況，應(yīng)力函數(shù)在每一個(gè)邊界上都是常數(shù)，但各常數(shù)一般不相同。只能把其中的一個(gè)邊界上的取為零。xys0s1s2sn通常取外邊界s0的，即jj為其他邊界的待定常數(shù)。9扭轉(zhuǎn)分步積分，并注意φ在邊界上為零最后得到d§10-1等截面直桿的扭轉(zhuǎn)在桿的任一端，剪應(yīng)力合成為扭矩AB同樣得：10扭轉(zhuǎn)三位移公式

根據(jù)應(yīng)力、應(yīng)變、位移的關(guān)系可以得到由上面得到§10-1等截面直桿的扭轉(zhuǎn)其中K表示桿的單位長(zhǎng)度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角.不計(jì)剛體位移e11扭轉(zhuǎn)代入前面右邊前兩式上兩式可用來求出位移分量w。f§10-1等截面直桿的扭轉(zhuǎn)上兩式分別對(duì)y和x求導(dǎo)，再相減，得可見前面公式b中得C=-2GK.

顯然，為了求得扭轉(zhuǎn)問題的解，只須尋出應(yīng)力函數(shù)，使它滿足方程b、c和d，然后由a式求出應(yīng)力分量，由式e和f給出位移分量的值。12扭轉(zhuǎn)§10-2薄膜比擬

對(duì)于矩形、薄壁桿件這些截面并不復(fù)雜的柱體，要求出其精確解都是相當(dāng)困難的，更不用說較復(fù)雜截面的桿件了。為了解決較復(fù)雜截面桿件的扭轉(zhuǎn)問題，特提出薄膜比擬法。該方法是建立在柱體扭轉(zhuǎn)問題與受均勻側(cè)壓力而四周張緊的彈性薄膜之間數(shù)學(xué)關(guān)系相似的基礎(chǔ)上。比擬的條件是二者的微分方程和邊界條件相同。薄膜比擬法是求解扭轉(zhuǎn)問題的一種實(shí)驗(yàn)方法。

設(shè)有一塊均勻薄膜，張?jiān)谂c扭轉(zhuǎn)桿件截面相同或成比例的邊界上。當(dāng)在側(cè)面上受著微小的均勻壓力時(shí)，在薄膜內(nèi)部將產(chǎn)生均勻的張力，薄膜的各點(diǎn)將發(fā)生圖示z方向微小的垂度。xxydxdyOTqzbc13扭轉(zhuǎn)

取薄膜的一個(gè)微小部分abcd圖示，它在xy面上的投影是一個(gè)矩形，矩形的邊長(zhǎng)分別是dx和dy。設(shè)薄膜單位寬度上的拉力為T，則由z方向的平衡條件得簡(jiǎn)化后得TdxTdydxdyabdcxyTTxzqoy§10-2薄膜比擬14扭轉(zhuǎn)即此外，薄膜在邊界上的垂度顯然等于零，即a而應(yīng)力函數(shù)所滿足的微分方程和邊界條件為§10-2薄膜比擬其中Gk也是常量，b將式b與式a對(duì)比，可見與決定于同樣的微分方程和邊界條件，如果調(diào)整，使，則有.

因而必然具有相同的解答。于是有15扭轉(zhuǎn)即c§10-2薄膜比擬

則有從而有d由又可得e設(shè)薄膜及其邊界平面之間的體積為V，并注意到16扭轉(zhuǎn)1懶扭桿昆的應(yīng)毫力函走數(shù)等于始薄膜太的垂案度z。2愿扭桿牧所受塞的扭獵矩M等于爭(zhēng)該薄誰膜及刮其邊斃界平類面之貌間的憤體積尋的兩匙倍。3消扭桿厚橫截弦面上撇某一漂點(diǎn)處拼的、封沿任功意方津向的股切應(yīng)畝力，撓就等炊于該普薄膜戴在對(duì)纏應(yīng)點(diǎn)拍處的孤、沿舌垂直已方向印的斜互率?！?性0-猾2薄膜結(jié)比擬扭轉(zhuǎn)M薄膜2V扭轉(zhuǎn)干問題蠅和薄材膜問蓄題的肥對(duì)應(yīng)御關(guān)系

調(diào)整薄膜所受的壓力q，使得則可得出如下結(jié)論：17扭轉(zhuǎn)§1缸0-較3橢圓梁截面垮桿的嚼扭轉(zhuǎn)設(shè)有遷等截揀面直秋桿。馬它的欺橫截否面具示有一桐個(gè)橢日?qǐng)A，符橢圓蓋的半販軸分?jǐn)n別為a和b，其敬邊界扁方程狡為應(yīng)力絲式函數(shù)攀在邊醒界上廚應(yīng)等階于零晃，故棗取代入1雞xyabo得求得1、求尚應(yīng)力塊函數(shù)18扭轉(zhuǎn)回代殿入1式得由§1肥0-蟲3橢圓隸截面校桿的伙扭轉(zhuǎn)可得由材端料力貼學(xué)知于是得最后得19扭轉(zhuǎn)最后把得到俱解答于是咱由橫截萍面上歲任意策一點(diǎn)不的合剝切應(yīng)梳力是§1奮0-乘3橢圓淚截面埋桿的獸扭轉(zhuǎn)最大罵切應(yīng)律力發(fā)德生在泰短半財(cái)軸的窮兩端最小址切應(yīng)壞力發(fā)兔生在約長(zhǎng)半誰軸的土兩端xyO2、求料應(yīng)力20扭轉(zhuǎn)§1沫0-下3橢圓國(guó)截面舉桿的膀扭轉(zhuǎn)C=甲-2GK.3.求位皇移分桂量21扭轉(zhuǎn)§9喂-4矩形睜截面陵桿的近扭轉(zhuǎn)一哭狹變長(zhǎng)矩阿形截臂面桿傳的扭旦轉(zhuǎn)設(shè)矩竟形截量面的居邊長(zhǎng)毀為a和b(圖示)。若a?b，則稱昌為狹凳長(zhǎng)矩劑形。糟由薄蓮膜比岔擬可尼以推何斷，邀應(yīng)力昏函數(shù)在或絕大悼部分愚橫截予面上賄幾乎遍不隨x變化譯，于雨是有則成為yaxbo積分趴，并完注意栽在邊眠界上即得將代畏入積分發(fā)后得故應(yīng)力分量為22扭轉(zhuǎn)由薄欠膜比束擬可呀知，挖最大喚剪應(yīng)埋力發(fā)挎生在喊矩形陶截面論的長(zhǎng)群邊上觸，方誰向平萍行于x軸，漸其大東小為§9礎(chǔ)-4矩形迎截面綢桿的因扭轉(zhuǎn)二喚矩昏形截昌面桿在狹臘矩形慈截面為扭桿輔應(yīng)力械函數(shù)稈的基濾礎(chǔ)上向，取關(guān)任意誤矩形去截面疼桿應(yīng)降力函箏數(shù)為代入探微分宵方程并使?jié)M足控邊界蔬條件得到23扭轉(zhuǎn)

將上式右邊在y∈-b/2,b/2區(qū)間展為的級(jí)數(shù)，然后比較兩邊的系數(shù)，得將Am代入我，艙得確爛定的臘應(yīng)力橫函數(shù)§9鍬-4矩形靈截面宴桿的距扭轉(zhuǎn)由薄舟膜比年擬可魚以推紡斷，啊最大資剪應(yīng)艷力發(fā)課生在沾矩形蹦截面億長(zhǎng)邊懸的中規(guī)點(diǎn)若a≥b24扭轉(zhuǎn)其中輕扭角k由§9竿-4矩形普截面趟桿的隔扭轉(zhuǎn)求得將上遼面兩繩個(gè)公鈔式分旬別寫近成：因子只與比值有關(guān)，數(shù)值如下圖所示.

25扭轉(zhuǎn)§9仍-4矩形沾截面鴿桿的噸扭轉(zhuǎn)系數(shù)攏與盈的虛關(guān)系1.00.1410.2081.003.00.2630.2670.751.20.1660.2190.934.00.2810.2820.741.50.1960.2300.865.00.2910.2910.742.00.2290.2460.7910.00.3120.3120.742.50.2490.2580.77很大0.3330.3330.74狹長(zhǎng)紐奉矩形替截面26扭轉(zhuǎn)§9須-5薄壁斃桿件箏的扭利轉(zhuǎn)實(shí)際占工程悔上經(jīng)坡常遇閑到開紅口薄部壁桿偶件，仔例如化角鋼親、槽在鋼、炸工字組鋼等吩，這究些薄貪壁件埋其橫芒截面婚大都乒是由懲等寬泄的狹塊矩形施組成增。無拌論是襖直的強(qiáng)還是擱曲的工，根燒據(jù)薄群膜比屢擬，狼只要框狹矩奔形具肚有相洽同的勾長(zhǎng)度闊和寬凈度，幻玉則兩貍個(gè)扭罩桿的蘿扭矩涉及其匯橫截料面剪彩應(yīng)力竄沒有膀多大憲差別政。a1b1a2a1a1b2a3a2a1a3b2設(shè)ai及bi分別芽表示商扭桿且橫截認(rèn)面的頑第i個(gè)狹劇矩形貪的長(zhǎng)誰度和研寬度流，Mi表示劉該矩濕形截扣面上滾承受使的扭響矩，M表示垮整個(gè)莊橫截畝面上均的扭峰矩，i代表世該矩添形長(zhǎng)撓邊中勿點(diǎn)附乏近的枝剪應(yīng)競(jìng)力，k代表售扭桿訴的扭遺角。輪則由刻狹矩筋形的嬸結(jié)果神，得開口薄壁否桿件27扭轉(zhuǎn)由后平一式哥得a1b1a2a1a1b2a3a2a1a3b2而故有從而普有值得繼注意私的是亡：由辨上述旦公式頌給出綁的狹筋矩形嬸長(zhǎng)邊駛中點(diǎn)積的剪等應(yīng)力脫已相衛(wèi)當(dāng)精除確，陳然而末，由集于應(yīng)灰力集逮中的條存在本，兩究個(gè)狹湯矩形艱的連牌接處斥，可垮能存漂在遠(yuǎn)投大于貫此的準(zhǔn)局部足剪應(yīng)釋力。§9吉-5開口夢(mèng)薄壁辯桿件桃的扭蛇轉(zhuǎn)28扭轉(zhuǎn)§9挖-5開口打薄壁長(zhǎng)桿件崇的扭身轉(zhuǎn)閉口薄壁葛桿件ooABCDABCD

應(yīng)用薄膜比擬法求桿件應(yīng)力。假象在薄壁桿件的界面邊界上張一塊薄膜，在邊界的垂度為零，在內(nèi)邊界處垂度為，且為常量，可以假象CD是一塊無重的剛性平板。

由于很小，可以認(rèn)為薄膜的斜率沿厚度不變，于是切應(yīng)力的大小為：扭矩M應(yīng)等銷于體逗積AB黎CD的兩埋倍，詠即面積A可以它取為孩內(nèi)外單兩邊男界所太包圍冶的面恭積的迎平均游值，牧也可奇取為如桿壁倍的中梯線所秀包圍鈔的面茫積，孤由上酷兩式同得：最大羞切應(yīng)交力發(fā)錘生在萍桿壁慌最薄么處.29扭轉(zhuǎn)§9哨-5開口意薄壁稿桿件勿的扭陣轉(zhuǎn)ooABCDABCD設(shè)薄膜對(duì)平板所施加的拉力為在豎升直方架向的摔投影很為：由整滿個(gè)平默板在幅豎直串方向崇的平司衡上式枯變?yōu)檠牛河捎谇笈けмD(zhuǎn)角當(dāng)是常數(shù)時(shí)S是桿鬧壁中奔線的爺全長(zhǎng)30設(shè)空省心圓掏截面耐桿，岡外半蘆徑為a，內(nèi)睜半徑士為bxyab取應(yīng)約力函分?jǐn)?shù)側(cè)面略邊界珠條件端面奴邊界宗條件結(jié)果蕉與材查料力貍學(xué)相失同。扭轉(zhuǎn)§9洪-6空心夾圓截呼面桿版的扭孩轉(zhuǎn)31扭轉(zhuǎn)習(xí)題10贊.1有一創(chuàng)根高朋為a的等鵝邊三氧角形禾截面吉扭桿扎，坐慶標(biāo)如郵圖所抽示?？抢稳\條邊AB，OA，OB的方憤程分擔(dān)別為慮：試證濃應(yīng)力榨函數(shù)能滿或足一井切條建件，陽(yáng)并求徹出最親大剪花應(yīng)力韻及扭潔角。解：將

代入相容方程得即oxyBAa練習(xí)銷題32扭轉(zhuǎn)故

扭桿無孔洞，顯然滿足側(cè)面邊界條件，由桿端部邊界條件得從而僅得練習(xí)伯題33扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)鄉(xiāng)豐力對(duì)于等邊三角形，由薄膜比擬法知，最大剪應(yīng)力發(fā)生在

處，即單位蒼長(zhǎng)度將上的濁扭角練習(xí)