石油大學彈性力學

1Chapter10Torsion

Elasticity2第十章扭轉(zhuǎn)3第10章扭轉(zhuǎn)§10-1等截面直桿的扭轉(zhuǎn)§10-2橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)§10-3薄膜比擬§10-4矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)§10-5開口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)4扭轉(zhuǎn)對于任意截面桿的扭轉(zhuǎn)，這是一個空間問題，根據(jù)問題的特點，本章首先給出了求解扭轉(zhuǎn)問題的應力函數(shù)所應滿足的微分方程和邊界條件。其次，為了求解相對復雜截面桿的扭轉(zhuǎn)問題，我們介紹了薄膜比擬方法。柱體的扭轉(zhuǎn)是工程中廣泛存在的一類實際問題。材料力學中研究了圓截面桿的扭轉(zhuǎn)，采用了平面假設。對非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)，一般橫截面不再保持平面，即截面產(chǎn)生翹曲。對兩端承受扭矩的等截面直桿，如截面的翹曲不受限制，這類扭轉(zhuǎn)稱為自由扭轉(zhuǎn)；如截面的翹曲受到限制，則稱為約束扭轉(zhuǎn)。約束扭轉(zhuǎn)條件下，桿中會產(chǎn)生附加正應力。本章討論任意截面柱形桿的自由扭轉(zhuǎn)。5扭轉(zhuǎn)§10-1等截面直桿的扭轉(zhuǎn)一應力函數(shù)

設有等截面直桿，體力不計，在兩端平面內(nèi)受扭矩M作用。取桿的一端平面為xy面，圖示。橫截面上除了切應力τzx、τzy以外，其余的應力分量為零將應力分量及體力X=Y=Z=0代入平衡方程，得xMMoyz根據(jù)前兩方程可見，τzx、τzy只是x和y的函數(shù)，與z無關，由第三式6扭轉(zhuǎn)

根據(jù)微分方程理論，一定存在一個函數(shù)x,y，使得函數(shù)x,y稱為扭轉(zhuǎn)問題的應力函數(shù)。a§10-1等截面直桿的扭轉(zhuǎn)

將應力分量代入不計體力的相容方程，可見：前三式及最后一式得到滿足，其余二式要求注：體力為零時，空間問題應力分量表示的相容方程即b7扭轉(zhuǎn)二邊界條件

在桿的側(cè)面上，將n=0，及面力分量為零代入邊界條件，可見前兩式總能滿足，而第三式要求注：空間問題應力邊界條件即由于在邊界上§10-1等截面直桿的扭轉(zhuǎn)于是有

說明在橫截面的邊界上，應力函數(shù)φ為常量，由于應力函數(shù)減一個常數(shù)，應力分量不受影響，因此在單連通截面（實心桿）時可設c8扭轉(zhuǎn)§10-1等截面直桿的扭轉(zhuǎn)對多連通截面（即空心桿）的情況，應力函數(shù)在每一個邊界上都是常數(shù)，但各常數(shù)一般不相同。只能把其中的一個邊界上的取為零。xys0s1s2sn通常取外邊界s0的，即jj為其他邊界的待定常數(shù)。9扭轉(zhuǎn)分步積分，并注意φ在邊界上為零最后得到d§10-1等截面直桿的扭轉(zhuǎn)在桿的任一端，剪應力合成為扭矩AB同樣得：10扭轉(zhuǎn)三位移公式

根據(jù)應力、應變、位移的關系可以得到由上面得到§10-1等截面直桿的扭轉(zhuǎn)其中K表示桿的單位長度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角.不計剛體位移e11扭轉(zhuǎn)代入前面右邊前兩式上兩式可用來求出位移分量w。f§10-1等截面直桿的扭轉(zhuǎn)上兩式分別對y和x求導，再相減，得可見前面公式b中得C=-2GK.

顯然，為了求得扭轉(zhuǎn)問題的解，只須尋出應力函數(shù)，使它滿足方程b、c和d，然后由a式求出應力分量，由式e和f給出位移分量的值。12扭轉(zhuǎn)§10-2薄膜比擬

對于矩形、薄壁桿件這些截面并不復雜的柱體，要求出其精確解都是相當困難的，更不用說較復雜截面的桿件了。為了解決較復雜截面桿件的扭轉(zhuǎn)問題，特提出薄膜比擬法。該方法是建立在柱體扭轉(zhuǎn)問題與受均勻側(cè)壓力而四周張緊的彈性薄膜之間數(shù)學關系相似的基礎上。比擬的條件是二者的微分方程和邊界條件相同。薄膜比擬法是求解扭轉(zhuǎn)問題的一種實驗方法。

設有一塊均勻薄膜，張在與扭轉(zhuǎn)桿件截面相同或成比例的邊界上。當在側(cè)面上受著微小的均勻壓力時，在薄膜內(nèi)部將產(chǎn)生均勻的張力，薄膜的各點將發(fā)生圖示z方向微小的垂度。xxydxdyOTqzbc13扭轉(zhuǎn)

取薄膜的一個微小部分abcd圖示，它在xy面上的投影是一個矩形，矩形的邊長分別是dx和dy。設薄膜單位寬度上的拉力為T，則由z方向的平衡條件得簡化后得TdxTdydxdyabdcxyTTxzqoy§10-2薄膜比擬14扭轉(zhuǎn)即此外，薄膜在邊界上的垂度顯然等于零，即a而應力函數(shù)所滿足的微分方程和邊界條件為§10-2薄膜比擬其中Gk也是常量，b將式b與式a對比，可見與決定于同樣的微分方程和邊界條件，如果調(diào)整，使，則有.

因而必然具有相同的解答。于是有15扭轉(zhuǎn)即c§10-2薄膜比擬

則有從而有d由又可得e設薄膜及其邊界平面之間的體積為V，并注意到16扭轉(zhuǎn)1懶扭桿昆的應毫力函走數(shù)等于始薄膜太的垂案度z。2愿扭桿牧所受塞的扭獵矩M等于爭該薄誰膜及刮其邊斃界平類面之貌間的憤體積尋的兩匙倍。3消扭桿厚橫截弦面上撇某一漂點處拼的、封沿任功意方津向的股切應畝力，撓就等炊于該普薄膜戴在對纏應點拍處的孤、沿舌垂直已方向印的斜互率。§1性0-猾2薄膜結(jié)比擬扭轉(zhuǎn)M薄膜2V扭轉(zhuǎn)干問題蠅和薄材膜問蓄題的肥對應御關系

調(diào)整薄膜所受的壓力q，使得則可得出如下結(jié)論：17扭轉(zhuǎn)§1缸0-較3橢圓梁截面垮桿的嚼扭轉(zhuǎn)設有遷等截揀面直秋桿。馬它的欺橫截否面具示有一桐個橢日圓，符橢圓蓋的半販軸分攏別為a和b，其敬邊界扁方程狡為應力絲式函數(shù)攀在邊醒界上廚應等階于零晃，故棗取代入1雞xyabo得求得1、求尚應力塊函數(shù)18扭轉(zhuǎn)回代殿入1式得由§1肥0-蟲3橢圓隸截面校桿的伙扭轉(zhuǎn)可得由材端料力貼學知于是得最后得19扭轉(zhuǎn)最后把得到俱解答于是咱由橫截萍面上歲任意策一點不的合剝切應梳力是§1奮0-乘3橢圓淚截面埋桿的獸扭轉(zhuǎn)最大罵切應律力發(fā)德生在泰短半財軸的窮兩端最小址切應壞力發(fā)兔生在約長半誰軸的土兩端xyO2、求料應力20扭轉(zhuǎn)§1沫0-下3橢圓國截面舉桿的膀扭轉(zhuǎn)C=甲-2GK.3.求位皇移分桂量21扭轉(zhuǎn)§9喂-4矩形睜截面陵桿的近扭轉(zhuǎn)一哭狹變長矩阿形截臂面桿傳的扭旦轉(zhuǎn)設矩竟形截量面的居邊長毀為a和b(圖示)。若a?b，則稱昌為狹凳長矩劑形。糟由薄蓮膜比岔擬可尼以推何斷，邀應力昏函數(shù)在或絕大悼部分愚橫截予面上賄幾乎遍不隨x變化譯，于雨是有則成為yaxbo積分趴，并完注意栽在邊眠界上即得將代畏入積分發(fā)后得故應力分量為22扭轉(zhuǎn)由薄欠膜比束擬可呀知，挖最大喚剪應埋力發(fā)挎生在喊矩形陶截面論的長群邊上觸，方誰向平萍行于x軸，漸其大東小為§9礎-4矩形迎截面綢桿的因扭轉(zhuǎn)二喚矩昏形截昌面桿在狹臘矩形慈截面為扭桿輔應力械函數(shù)稈的基濾礎上向，取關任意誤矩形去截面疼桿應降力函箏數(shù)為代入探微分宵方程并使?jié)M足控邊界蔬條件得到23扭轉(zhuǎn)

將上式右邊在y∈-b/2,b/2區(qū)間展為的級數(shù)，然后比較兩邊的系數(shù)，得將Am代入我，艙得確爛定的臘應力橫函數(shù)§9鍬-4矩形靈截面宴桿的距扭轉(zhuǎn)由薄舟膜比年擬可魚以推紡斷，啊最大資剪應艷力發(fā)課生在沾矩形蹦截面億長邊懸的中規(guī)點若a≥b24扭轉(zhuǎn)其中輕扭角k由§9竿-4矩形普截面趟桿的隔扭轉(zhuǎn)求得將上遼面兩繩個公鈔式分旬別寫近成：因子只與比值有關，數(shù)值如下圖所示.

25扭轉(zhuǎn)§9仍-4矩形沾截面鴿桿的噸扭轉(zhuǎn)系數(shù)攏與盈的虛關系1.00.1410.2081.003.00.2630.2670.751.20.1660.2190.934.00.2810.2820.741.50.1960.2300.865.00.2910.2910.742.00.2290.2460.7910.00.3120.3120.742.50.2490.2580.77很大0.3330.3330.74狹長紐奉矩形替截面26扭轉(zhuǎn)§9須-5薄壁斃桿件箏的扭利轉(zhuǎn)實際占工程悔上經(jīng)坡常遇閑到開紅口薄部壁桿偶件，仔例如化角鋼親、槽在鋼、炸工字組鋼等吩，這究些薄貪壁件埋其橫芒截面婚大都乒是由懲等寬泄的狹塊矩形施組成增。無拌論是襖直的強還是擱曲的工，根燒據(jù)薄群膜比屢擬，狼只要框狹矩奔形具肚有相洽同的勾長度闊和寬凈度，幻玉則兩貍個扭罩桿的蘿扭矩涉及其匯橫截料面剪彩應力竄沒有膀多大憲差別政。a1b1a2a1a1b2a3a2a1a3b2設ai及bi分別芽表示商扭桿且橫截認面的頑第i個狹劇矩形貪的長誰度和研寬度流，Mi表示劉該矩濕形截扣面上滾承受使的扭響矩，M表示垮整個莊橫截畝面上均的扭峰矩，i代表世該矩添形長撓邊中勿點附乏近的枝剪應競力，k代表售扭桿訴的扭遺角。輪則由刻狹矩筋形的嬸結(jié)果神，得開口薄壁否桿件27扭轉(zhuǎn)由后平一式哥得a1b1a2a1a1b2a3a2a1a3b2而故有從而普有值得繼注意私的是亡：由辨上述旦公式頌給出綁的狹筋矩形嬸長邊駛中點積的剪等應力脫已相衛(wèi)當精除確，陳然而末，由集于應灰力集逮中的條存在本，兩究個狹湯矩形艱的連牌接處斥，可垮能存漂在遠投大于貫此的準局部足剪應釋力。§9吉-5開口夢薄壁辯桿件桃的扭蛇轉(zhuǎn)28扭轉(zhuǎn)§9挖-5開口打薄壁長桿件崇的扭身轉(zhuǎn)閉口薄壁葛桿件ooABCDABCD

應用薄膜比擬法求桿件應力。假象在薄壁桿件的界面邊界上張一塊薄膜，在邊界的垂度為零，在內(nèi)邊界處垂度為，且為常量，可以假象CD是一塊無重的剛性平板。

由于很小，可以認為薄膜的斜率沿厚度不變，于是切應力的大小為：扭矩M應等銷于體逗積AB黎CD的兩埋倍，詠即面積A可以它取為孩內(nèi)外單兩邊男界所太包圍冶的面恭積的迎平均游值，牧也可奇取為如桿壁倍的中梯線所秀包圍鈔的面茫積，孤由上酷兩式同得：最大羞切應交力發(fā)錘生在萍桿壁慌最薄么處.29扭轉(zhuǎn)§9哨-5開口意薄壁稿桿件勿的扭陣轉(zhuǎn)ooABCDABCD設薄膜對平板所施加的拉力為在豎升直方架向的摔投影很為：由整滿個平默板在幅豎直串方向崇的平司衡上式枯變?yōu)檠牛河捎谇笈けмD(zhuǎn)角當是常數(shù)時S是桿鬧壁中奔線的爺全長30設空省心圓掏截面耐桿，岡外半蘆徑為a，內(nèi)睜半徑士為bxyab取應約力函分數(shù)側(cè)面略邊界珠條件端面奴邊界宗條件結(jié)果蕉與材查料力貍學相失同。扭轉(zhuǎn)§9洪-6空心夾圓截呼面桿版的扭孩轉(zhuǎn)31扭轉(zhuǎn)習題10贊.1有一創(chuàng)根高朋為a的等鵝邊三氧角形禾截面吉扭桿扎，坐慶標如郵圖所抽示。葵三角利形三襖條邊AB，OA，OB的方憤程分擔別為慮：試證濃應力榨函數(shù)能滿或足一井切條建件，陽并求徹出最親大剪花應力韻及扭潔角。解：將

代入相容方程得即oxyBAa練習銷題32扭轉(zhuǎn)故

扭桿無孔洞，顯然滿足側(cè)面邊界條件，由桿端部邊界條件得從而僅得練習伯題33扭轉(zhuǎn)剪應鄉(xiāng)豐力對于等邊三角形，由薄膜比擬法知，最大剪應力發(fā)生在

處，即單位蒼長度將上的濁扭角練習