高考數(shù)學二輪復習名師知識點總結(jié)導數(shù)及其應用

(完好版)高考數(shù)學二輪復習名師知識點總結(jié)：導數(shù)及其應用(完好版)高考數(shù)學二輪復習名師知識點總結(jié)：導數(shù)及其應用(完好版)高考數(shù)學二輪復習名師知識點總結(jié)：導數(shù)及其應用知識點總結(jié)與練習導數(shù)及其應用高考主要觀察1．利用導數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程．2．觀察導數(shù)的有關(guān)計算，特別是簡單的函數(shù)求導．3．利用導數(shù)研究函數(shù)的單一性，會求函數(shù)的單一區(qū)間．4．由函數(shù)單一性和導數(shù)的關(guān)系，求參數(shù)的范圍．5．利用導數(shù)求函數(shù)的極值．6．利用導數(shù)求函數(shù)閉區(qū)間上的最值．7．利用導數(shù)解決某些實質(zhì)問題．8．觀察定積分的觀點，定積分的幾何意義，微積分基本定理．9．利用定積分求曲邊形面積、變力做功、變速運動的質(zhì)點的運動行程．【復習指導】復習時，應充分利用詳細實質(zhì)情形，理解導數(shù)的意義及幾何意義，應能靈巧運用導數(shù)公式及導數(shù)運算法例進行某些函數(shù)求導.；復習時，應理順導數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，理解導數(shù)的意義，領(lǐng)會導數(shù)在解決函數(shù)有關(guān)問題時的工具性作用，要點解決利用導數(shù)來研究函數(shù)的單一性及求函數(shù)的單；復習主要掌握定積分的觀點和幾何意義，使用微積分基本定理計算定積分，使用定積分求曲邊圖形的面積和解決一些簡單的物理問題等．基礎(chǔ)梳理1．函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的均勻變化率函數(shù)y＝f(x)從x1到x2fx2－fx1y的均勻變化率為2.若x＝x2－x1，y＝f(x2)－f(x1)，則均勻變化率可表示為.1xx－x2．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)(1)定義稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0x→0yx→0fx0＋x－fx0為函數(shù)y＝f(x)在x＝x00處的剎時變化率limxx處的導數(shù)，記作f′(x)或y′|x＝x0x→0y0)＝lix.，即f′(xm(2)幾何意義函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(x0，f(x0))處切線的斜率．相應地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．fx＋x－fx為f(x)的導函數(shù)，導函數(shù)有時也記作y′.3．函數(shù)f(x)的導函數(shù)：稱函數(shù)f′(x)＝limx4．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式若f(x)＝c，則f′(x)＝0；－若f(x)＝xα(α∈R)，則f′(x)＝αxα1；若f(x)＝sinx，則f′(x)＝cosx；若f(x)＝cosx，則f′(x)＝－sinx；若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，則f′(x)＝axln_a；若f(x)＝ex，則f′(x)＝ex；若f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，則f′(x)＝1；xlna1若f(x)＝lnx，則f′(x)＝x.-1-/18知識點總結(jié)與練習5．導數(shù)四則運算法例(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；fx′＝f′xgx－fxg′x(g(x)≠0)．(3)gx[gx]26．復合函數(shù)的求導法例復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′.注意：一個差別曲線y＝f(x)“在”點P(x0000，y)處的切線與“過”點P(x，y)的切線的差別：曲線y＝f(x)在點P(x00P為切點，若切線斜率存在時，切線斜率為0，y)處的切線是指k＝f′(x)，是獨一的一條切線；曲線y＝f(x)過點P(x00P點，點P能夠是切點，也能夠不是切點，并且這樣的直線可能有多條．，y)的切線，是指切線經(jīng)過7．導數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)f′(x0)是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處切線l的斜率,切線l的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．8．導數(shù)的物理意義若物體位移隨時間變化的關(guān)系為s＝f(t)，則f′(t0)是物體運動在t＝t0時刻的剎時速度．9．函數(shù)的單一性在(a，b)內(nèi)可導函數(shù)f(x)，f′(x)在(a，b)隨意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.f′(x)≥0?函數(shù)f(x)在(a，b)上單一遞加；f′(x)≤0?函數(shù)f(x)在(a，b)上單一遞減．10．函數(shù)的極值(1)判斷f(x0)是極值的方法一般地，當函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時，①假如在x0鄰近的左邊f(xié)′(x)＞0，右邊f(xié)′(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②假如在x0鄰近的左邊f(xié)′(x)＜0，右邊f(xié)′(x)＞0，那么f(x0)是極小值．(2)求可導函數(shù)極值的步驟①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③檢查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符號．假如左正右負，那么f(x)在這個根處獲得極大值；假如左負右正，那么f(x)在這個根處獲得極小值，假如左右雙側(cè)符號同樣，那么這個根不是極值點．11．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單一遞加，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單一遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．(3)設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟以下：①求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，此中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．-2-/18知識點總結(jié)與練習12．定積分(1)定積分的定義及有關(guān)觀點假如函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點a＝x0<x1<xi－1<xi<＜xn＝b，將區(qū)間[a，b]平分紅n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間[xi－1i]上任取一點nnb－aiiini＝1i＝1這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作bf(x)dx.a在bf(x)dx中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，af(x)dx叫做被積式．(2)定積分的性質(zhì)bkf(x)dx＝kbf(x)dx(k為常數(shù))．a(chǎn)a②b[f1(x)±f2(x)]dx＝bf1(x)dx±bf2(x)dx.aaa③bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx(此中a<c<b)．a(chǎn)ac13．微積分基本定理假如f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)＝f(x)，那么bf(x)dx＝F(b)－F(a)，這個結(jié)論叫微積分基本定理，又叫a牛頓—萊布尼茲公式．14．定積分的應用(1)定積分與曲邊梯形的面積定積分的觀點是從曲邊梯形面積引入的，可是定積分其實不必定就是曲邊梯形的面積．這要聯(lián)合詳細圖形來定：設暗影部分面積為S.①S＝bf(x)dx；a②S＝－bf(x)dx；a③S＝cf(x)dx－bf(x)dx；ac④S＝b－b＝b－f(x)dxg(x)dx[f(x)g(x)]dx.aaa(2)勻變速運動的行程公式作變速直線運動的物體所經(jīng)過的行程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)(v(t)≥0)在時間區(qū)間[a，b]上的定積分，即s＝bv(t)dt.a-3-/18知識點總結(jié)與練習雙基自測1．(人教A版教材習題改編)函數(shù)f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的導數(shù)為()．A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)分析f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．答案Csinx1π2．(2011湖·南)曲線y＝sinx＋cosx－2在點M4，0處的切線的斜率為( )．1122A．－2B.2C．－2D.2分析本小題觀察導數(shù)的運算、導數(shù)的幾何意義，觀察運算求解能力．cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx1π1y′＝sinx＋cosx2＝，把x＝4代入得導數(shù)值為2.1＋sin2x答案B3．(2011江·西)若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)＞0的解集為()．A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)分析令f′(x)＝2x－2－42x－2x＋1＝x＞0，利用數(shù)軸標根法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，所以x＞2.應選C.x答案C答案2－24．(2011?！そ?若a＞0，b＞0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于( )．A．2B．3C．6D．9分析f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函數(shù)f(x)在x＝1處有極值，可知函數(shù)f(x)在x＝1處的導數(shù)值為零，12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由題意知a，b都是正實數(shù)，所以ab≤a＋b262＝9，當且僅當a＝b＝3時取到等號．2＝2答案D5．已知函數(shù)14x3＋2x2，則f(x)()．f(x)＝x4－43A．有極大值，無極小值B．有極大值，有極小值C．有極小值，無極大值D．無極小值，無極大值分析f′(x)＝x3－4x2＋4x＝x(x－2)2f′(x)，f(x)隨x變化狀況以下x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0＋f(x)043所以有極小值無極大值．答案C-4-/18知識點總結(jié)與練習x2＋aa＝________.在x＝1處取極值，則6．若函數(shù)f(x)＝x＋1分析∵f(x)在x＝1處取極值，∴f′(1)＝0，2xx＋1－x2＋a又f′(x)＝，x＋122×1×1＋1－1＋a∴f′(1)＝＝0，1＋12即2×1×(1＋1)－(1＋a)＝0，故a＝3.答案3雙基自測1．(2011·福建)1(ex＋2x)dx等于()．0A．1B．e－1C．eD．e＋1分析1(ex＋2x)dx0ex＋x210(e＋1)－1＝e.答案Cππ)．2．(2011湖·南)由直線x＝－，x＝，y＝0與曲線y＝cosx所圍成的關(guān)閉圖形的面積為(3313A.2B．1C.2D.3分析ππππS＝∫－cosxdx＝2∫0cosxdx＝2sinx|0＝3.3333答案D3．(2011·山東)由曲線y＝x2，y＝x3圍成的關(guān)閉圖形面積為( )．1117A.12B.4C.3D.12分析y＝x2，(0,0)，(1,1)，所以所求圖形面由得交點坐標為y＝x3，積為S＝1(x2－x3)dx＝1x3－1x401＝1.03412答案A4．如圖，在一個長為π，寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線y＝sinx(0≤x≤π)與x軸圍成以下圖的暗影部分，向矩形OABC內(nèi)隨機投一點(該點落在矩形OABC內(nèi)任何一點是等可能的)，則所投的點落在暗影部分的概率是( )．-5-/18知識點總結(jié)與練習分析暗影部分的面積S＝πsinxdx＝－cosxπ00＝－(－1－1)＝2，矩形的面積為2π.概率P＝暗影部分的面積21矩形面積＝＝.故應選A.2ππ答案A12π3A.πB.πC.4D.π定積分的計算【例1】計算以下積分\\當原函數(shù)較難求時，可考慮由其幾何意義解得．-6-/18知識點總結(jié)與練習考向二導數(shù)的運算【例2】?求以下各函數(shù)的導數(shù)：x＋x5＋sinx(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝sinx2x；(4)y＝1＋1；(1)y＝x2；21－2cos41＋x1－x[審題視點]先把式子化為最簡式再進行求導．1＋x5＋sinxxx，解(1)∵y＝22＝x－3＋x3＋sin2x2xy′＝x－3′＋(x3)′＋(x－2sinx)′＝－3x－5＋3x2－2x－3sinx＋x－2cosx.222(2)法一y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.法二y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·(x＋2)(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)3x2＋12x＋11.xx＝－1111(3)∵y＝sin－cos2sinx，∴y′＝－sinx′＝－(sinx)′＝－cosx.22222(4)y＝1＋1＝1＋x＋1－x＝2，∴y′＝2′＝－21－x′＝21－x1＋x1－x1＋x1－x1－x1－x21－x2.(5)由y＝xcosx－5sinx為奇函數(shù)1－＋＝1－12dx＝2x－11＝4.(xcosx5sinx2)dx－1(1)熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及四則運算法例是正確求導的基礎(chǔ)．-7-/18知識點總結(jié)與練習(2)必需時對于某些求導問題可先化簡函數(shù)分析式再求導．【訓練2】求以下函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝xnex；(2)y＝cosx；(3)y＝exlnx；(4)y＝(x＋1)2(x－1)．sinx解(1)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)．－sin2x－cos2x＝－1(2)y′＝sin2xsin2x.x1＝ex1＋lnx.(3)y′＝elnx＋e·x(4)∵y＝(x＋1)2(x－1)＝(x＋1)(x2－1)＝x3＋x2－x－1，∴y′＝3x2＋2x－1.考向三求復合函數(shù)的導數(shù)【例3】?求以下復合函數(shù)的導數(shù)．(1)y＝(2x－3)5；(2)y＝3－x；(3)y＝sin22x＋π；(4)y＝ln(2x＋5)．3[審題視點]正確分解函數(shù)的復合層次，逐層求導．解(1)設u＝2x－3，則y＝(2x－3)5，由y＝u5與u＝2x－3復合而成，∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2＝10u4＝10(2x－3)4.(2)設u＝3－x，則y＝3－x.由y＝u1與u＝3－x復合而成．211u－1(－1)＝－11＝－1＝3－xy′＝f′(u)·u′(x)＝(u)′(3－x)′＝22u－23－x.2222x－6π(3)設y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋，3則yx′＝y(tǒng)u′·uv′·vx′＝2u·cosv·2＝4sin2x＋π·cos2x＋π＝2sin4x＋2π.33312(4)設y＝lnu，u＝2x＋5，則yx′＝y(tǒng)u′·ux′y′＝2x＋5·(2x＋5)′＝2x＋5.由復合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解這類問題的要點是正確剖析函數(shù)的復合層次，一般是從最外層開始，由外向內(nèi)，一層一層地剖析，把復合函數(shù)分解成若-8-/18知識點總結(jié)與練習干個常有的基本函數(shù),逐漸確立復合過程．【訓練3】求以下函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝2＋1；2－xsin2x;(4)y＝ln2x(2)y＝sin2x；(3)y＝e1＋x.解(1)y′＝1·2x＝x，x2＋12x2＋1(2)y′＝(2sin2x)(cos2x)×2＝2sin4x－－－x(2cos2x－sin2x)．(3)y′＝(－ex)sin2x＋ex(cos2x)×2＝e(4)y′＝1·1x·2x＝.1＋x221＋x21＋x2考向四：求曲線上某一點的切線方程1－a【示例】?(2010·山東)已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．(1)當a＝－1時，求曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；(2)當a≤12時，議論f(x)的單一性．(1)求出在點(2，f(2))處的斜率及f(2)，由點斜式寫出切線方程；(2)求f′(x)，再對a分類議論．[解答示范](1)當a＝－1時，f(x)＝lnx＋x＋2－1，xx∈(0，＋∞)．所以f′(x)＝x2＋x－2，x∈(0，＋∞)，(1分)x2所以f′(2)＝1，即曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線斜率為1.又f(2)＝ln2＋2，所以曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y＋ln2＝0.(3分)(2)因為f(x)＝lnx－ax＋1－a－1，所以f′(x)＝1－a＋a－21＝－ax2－x＋1－a2，x∈(0，＋∞)．(4分)xxxx令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)．①當a＝0時，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，所以當x∈(0,1)時，g(x)＞0，此時f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單一遞減；當x∈(1，＋∞)時，g(x)＜0，此時f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單一遞加；(6分)-9-/18知識點總結(jié)與練習②當a≠0時，由f′(x)＝0，即ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝1－1.a1時，x12f′(x)≤0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單一遞減；(7分)a．當a＝2＝x，g(x)≥0恒建立，此時11b．當0＜a＜2時，a－1＞1＞0.x∈(0,1)時，g(x)＞0，此時f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單一遞減；x∈1，1－1時，g(x)＜0，此時f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單一遞加；x∈1－1，＋∞時，g(x)＞0，此時f′(x)＜0，函數(shù)f(x)aa單一遞減；(9分)1c．當a＜0時，因為a－1＜0，x∈(0,1)時，g(x)＞0，此時f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單一遞減；x∈(1，＋∞)時，g(x)＜0，此時f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單一遞加．(11分)綜上所述：當a≤0時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單一遞減，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單一遞加；當a＝1時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單一遞減；2當0＜a＜1時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單一遞減，2函數(shù)f(x)在1，1a－1上單一遞加，1函數(shù)f(x)在a－1，＋∞上單一遞減．(12分)考向五求曲線切線的方程【例1】?已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲線f(x)在x＝2處的切線方程；(2)求經(jīng)過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程．[審題視點]由導數(shù)幾何意義先求斜率，再求方程，注意點能否在曲線上，能否為切點．解(1)f′(x)＝3x2－8x＋5f′(2)＝1，又f(2)＝－2∴曲線f(x)在x＝2處的切線方程為y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.(2)設切點坐標為(x32－4)20000000則切線方程為22)，又切線過320－4)點，y－(－2)＝(3x0－8x0＋5)(x－(x0，x0－4x0＋5x3222解得x0＝2，或x0＝1，則x0－4x0＋5x0－2＝(3x0－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)(x0－1)＝0，所以經(jīng)過A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程為x－y－4＝0，或y＋2＝0.-10-/18知識點總結(jié)與練習第一要分清是求曲線y＝f(x)在某處的切線仍是求過某點曲線的切線．(1)求曲線y＝f(x)在x＝x00處的切線方程可先求f′(x)，利用點斜式寫出所求切線方程；(2)求過某點的曲線的切線方程要先設切點坐標，求出切點坐標后再寫切線方程．【訓練1】若直線y＝kx與曲線y＝x3－3x2＋2x相切，試求k的值．解設y＝kx與y＝x3－3x2＋2x相切于P(x0，y0)則y0＝kx0，①322－6x＋2，∴k＝y(tǒng)′|x＝x2y0＝x0－3x0＋2x0，②又y′＝3x0＝3x0－6x0＋2，③232231由①②③得：或x0＝，∴k＝2或k＝－.(3x0－6x0＋2)x0＝x0－3x0＋2x0，即(2x0－3)x0＝0.∴x0＝042考向六函數(shù)的單一性與導數(shù)【例2】?已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，務實數(shù)a的取值范圍；(2)若x＝3是f(x)的極值點，求f(x)的單一區(qū)間．[審題視點]函數(shù)單一的充要條件是f′(x)≥0或f′(x)≤0且不恒等于0.解(1)對f(x)求導，得f′(x)＝3x2－2ax－3.由f′(x)≥0，得a≤312x－x.記t(x)＝3x－1，當x≥1時，t(x)是增函數(shù)，32x∴t(x)min＝(1－1)＝0.2∴a≤0.(2)由題意，得f′(3)＝0，即27－6a－3＝0，a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3.1令f′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝3.當x變化時，f′(x)、f(x)的變化狀況以下表：111(3，＋∞)x－∞，－3－3－3，33f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值11，3∴當x∈－∞，－3，[3，＋∞)時，f(x)單一遞加，當x∈－3時，f(x)單一遞減．-11-/18知識點總結(jié)與練習函數(shù)在指定區(qū)間上單一遞加(減)，函數(shù)在這個區(qū)間上的導數(shù)大于或等于0(小于或等于0)，只需不在一段連續(xù)區(qū)間上恒等于0即可，求函數(shù)的單一區(qū)間解f′(x)＞0(或f′(x)＜0)即可．【訓練2】已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的單一增區(qū)間；(2)能否存在a，使f(x)在(－2,3)上為減函數(shù)，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，說明原因．解f′(x)＝ex－a，(1)若a≤0，則f′(x)＝ex－a≥0，即f(x)在R上遞加，若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna.所以f(x)的遞加區(qū)間是[lna，＋∞)．(2)由f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒建立．∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒建立．又∵－2<x<3，∴e－2<ex<e3，只需a≥e3.當a＝e3時f′(x)＝ex－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)<0，即f(x)在(－2,3)上為減函數(shù)，∴a≥e3.故存在實數(shù)a≥e3，使f(x)在(－2,3)上單一遞減．考向七利用導數(shù)解決不等式問題【例3】?設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的單一區(qū)間與極值；(2)求證：當a＞ln2－1且x＞0時，ex＞x2－2ax＋1.[審題視點]第(2)問結(jié)構(gòu)函數(shù)h(x)＝ex－x2＋2ax－1，利用函數(shù)的單一性解決．(1)解由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2，于是當x變化時，f′(x)，f(x)的變化狀況以下表.x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)單一遞減2(1－ln2＋a)單一遞加故f(x)的單一遞減區(qū)間是(－∞，ln2]，單一遞加區(qū)間是[ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2處獲得極小值，極小值為f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．(2)證明設g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知當a＞ln2－1時，g′(x)的最小值為g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)＞0.于是對隨意x∈R，都有g(shù)′(x)＞0，所以g(x)在R內(nèi)單一遞加．-12-/18知識點總結(jié)與練習于是當a＞ln2－1時，對隨意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)＞g(0)．而g(0)＝0，進而對隨意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0.即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x2－2ax＋1.利用導數(shù)證明不等式要考慮結(jié)構(gòu)新的函數(shù)，利用新函數(shù)的單一性或最值解決不等式的證明問題．比方要證明對?x∈[a，b]都有f(x)≥g(x)，可設h(x)＝f(x)－g(x)只需利用導數(shù)說明h(x)在[a，b]上的最小值為0即可．【訓練3】已知m∈R，函數(shù)f(x)＝(x2＋mx＋m)ex(1)若函數(shù)沒有零點，務實數(shù)m的取值范圍；(2)當m＝0時，求證f(x)≥x2＋x3.(1)解由已知條件f(x)＝0無解，即x2＋mx＋m＝0無實根，則＝m2－4m<0，解得0<m<4，實數(shù)m的取值范圍是(0,4)(2)證明2x當m＝0時，f(x)＝xe設g(x)＝ex－x－1，∴g′(x)＝ex－1，g(x)，g′(x)隨x變化狀況以下：x(－∞，0)0(0，＋∞)g′(x)－0＋g(x)0由此可知對于x∈R，g(x)≥g(0)即ex－x－1≥0，所以x2(ex－x－1)≥0，整理得x2ex≥x3＋x2，即f(x)≥x3＋x2.考向八函數(shù)的極值與導數(shù)【例1】設f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的導數(shù)為f′(x),若函數(shù)y＝f′(x)的圖象對于直線x＝－1對稱,且f′(1)＝0.2(1)務實數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值．1[審題視點]由條件x＝－2為y＝f′(x)圖象的對稱軸及f′(1)＝0求得a，b的值，再由f′(x)的符號求其極值．a(chǎn)a2解(1)因f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x)＝6x2＋2ax＋b.進而f′(x)＝6x＋62＋b－6，-13-/18知識點總結(jié)與練習即y＝f′(x)的圖象對于直線x＝－a對稱，6進而由題設條件知－a＝－1，解得a＝3.62又因為f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x1＝－2，x2＝1.當x∈(－∞，－2)時，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上為增函數(shù)；當x∈(－2,1)時，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,1)上為減函數(shù)；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)．進而函數(shù)f(x)在x1＝－2處獲得極大值f(－2)＝21，在x2＝1處獲得極小值f(1)＝－6.運用導數(shù)求可導函數(shù)y＝f(x)的極值的步驟：(1)先求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢查f′(x)在方程根的左右的值的符號，假如左正右負，那么f(x)在這個根處獲得極大值，假如左負右正，那么f(x)在這個根處獲得極小值．ex【訓練1】(2011·安徽)設f(x)＝，此中a為正實數(shù)．1＋ax24(1)當a＝3時，求f(x)的極值點；(2)若f(x)為R上的單一函數(shù)，求a的取值范圍．解對f(x)求導得f′(x)＝ex1＋ax2－2ax.①1＋ax22(1)當a＝4時，若f′(x)＝0，則4x2－8x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝1.322綜合①，可知x－∞，111，333，＋∞222222f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值-14-/18知識點總結(jié)與練習所以，x3是極小值點，x1是極大值點．1＝22＝2(2)若f(x)為R上的單一函數(shù)，則f′(x)在R上不變號，聯(lián)合①與條件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒建立．所以＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并聯(lián)合a＞0，知0＜a≤1.考向九函數(shù)的最值與導數(shù)【例2】?已知a為實數(shù)，且函數(shù)f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求導函數(shù)f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求函數(shù)f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值．[審題視點]先化簡再求導，求極值、端點值，進行比較得最值．解(1)f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，得f′(x)＝3x2－2a