2020版高考數(shù)學一輪復習第七章立體幾何第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)講義

第節(jié)直、面直判與質(zhì)突破點一直與平面垂直的判與性質(zhì)[基本知識]1．直線和平面垂直的定義直線與面α內(nèi)任意一條直線都垂直，就說直線與面α互相垂直．2．直線與平面垂直的判定定理性質(zhì)定理判定定理

文字語言一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

圖形語言

符號語言a，αa∩＝l⊥l⊥

l⊥α性質(zhì)定理

垂直于同一個平面的兩條直線平行

a⊥b⊥

∥b3．直線與平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個平面所成的角．π(2)線面角θ的圍：

.[基本能力]一、判斷題對的打“√”，錯的打“×”)(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則lα.()(2)若直線a平面，線α，直線與b直．)(3)直線aα，α，a∥.()答案：(1)×(2)√(3)√二、填空題1．過一點有_條線與已知平面垂直．答案：一2．在三棱錐P中，點P在平面中的射為點，①若PAPBPC則點O是ABC的_______心．②若PAPBPBPC，⊥，則點O是△________心．答案：外垂

PACPABCeq\o\ac(△,S)PACeq\o\ac(△,S)ABCPACPABCeq\o\ac(△,S)PACeq\o\ac(△,S)ABC3如圖已∠BAC＝90°⊥面則△，△PAC的邊所在的直線中，與PC直的直線；垂直的直線有_______．解析：因為⊥面，所以PC垂于直線AB，，.因為ABACABPC，∩，所以AB平面，又因為平面，所以ABAP與AP垂直的直線是AB.答案：，，[典例](2019·鄭州一)如，在三棱錐ABC中平面PAB⊥平面6＝3＝6為段AB上點＝DB，⊥AC(1)求證：⊥面ABCπ(2)若∠PAB，求點到面的距離．4[解](1)證：連接，據(jù)題知AD＝，＝AC＋BC＝，233∴∠ACB＝90°，∴cos∠ABC＝，63∴＝＋3)－2×2×23cos∠＝，∴＝2，＋＝AC，則CDAB∵平面PAB⊥平面，∴⊥平面PABCD⊥，∵⊥，∩CD＝，∴⊥平面ABCπ(2)由(1)得PD⊥，∵PAB＝，4∴＝＝，＝2，在eq\o\ac(△,Rt)PCD中，PCPD＋CD＝6，∴△PAC是等腰三角形，∴可求＝82.eq\o\ac(△,S)PAC設(shè)點到面的離為d11由＝，得×＝×，33

eq\o\ac(△,S)ABCeq\o\ac(△,S)ABC∴＝

×＝3.eq\o\ac(△,S)PAC故點到面的離為3.[方法技巧證明直線與平面垂直的方法(1)定義法：若一條直線垂直于個平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于這個平面不用；(2)判定定理(常用方法)；(3)若條平行直線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面客觀常用；(4)若一條直線垂直于兩個平行面中的一個平面必垂直于另一個平(客觀題常用；(5)若兩平面垂直一平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平(常用方法);(6)若兩相交平面同時垂直于第個平面兩平面的交線垂直于第三個平(客觀題常用．[針對訓練(2019·貴州模擬)如圖，在直棱ABCD中，底面為平行四邊形，且＝＝，AA＝

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，∠＝60°.(1)求證：⊥；(2)求四面體DAB的積解(1)證連BD與交點O因為四邊形為行四邊形，且AB＝，所以四邊形ABCD為菱形，所以ACBD在直四棱柱A中⊥平面可BB⊥AC則⊥平面BB，又平BB，AC⊥.(2)＝V－VCABCB

－V

－V－＝VABDCBDABD111111

－4

＝

36×－2213624×××＝.3424突破點二平與平面垂直的判與性質(zhì)[基本知識]1．平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義兩平面相交，如它們所成的二面角是直二面角說這兩個平面互相垂直．(2)平面與平面垂直的判定定理性質(zhì)定理：判定定理性質(zhì)定理

文字語言一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直

圖形語言

符號語言βα⊥β⊥αα⊥βlβl⊥α∩β＝l⊥α2．二面角的有關(guān)概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的個半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角二角上的任一點兩個半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角α的圍：[0，.[基本能力]一、判斷題對的打“√”，錯的打“×”)(1)若α⊥，βaα.()(2)若平面α內(nèi)一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥.()(3)如果平面α⊥面β，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面β.()答案：(1)×(2)×(3)×二、填空題1．，為線α，β為平面，若m⊥α，，β，則與β的置關(guān)系為．答案：垂直2．α，為兩個不同的平面，直線α，“⊥β”是“α⊥β”立的____________條．答案：充分不必要3．已知PD垂直正方形所的平面，連PC，，則一定互相垂直的平面________對

eq\o\ac(△,S)ACDABCBADCeq\o\ac(△,S)ACDeq\o\ac(△,S)ACDABCBADCeq\o\ac(△,S)ACD解析：由于PD⊥平面，平面⊥平面ABCD，平面⊥平面ABCD，平面⊥平面，面PDA⊥面PDC，平面PAC平面，平面PAB平面平PBC⊥平面PDC，7對答案：[典例](2019·開封定位考)圖，在三棱錐DABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝60°AD＝6，3，平面ADC⊥平面.(1)證明：平面⊥面ADC(2)求三棱錐D的體積．[解](1)證：在△中由余弦定理可得，BC＝

＋

－AB··cosBAC＝

14＋1－2×2×1×＝3，2∴＋AC＝，∴BCAC∵平面ADC⊥平面，平面ADC平面ABCAC，∴⊥平面ADC又BC平BDC∴平面BDC⊥平面ADC2(2)由余弦定理可得cos∠＝，3∴sin∠ACD＝

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，15∴＝···sin∠＝，22115則＝＝··＝.36[方法技巧面面垂直判定的兩種方法與一個轉(zhuǎn)化兩種方法一個轉(zhuǎn)化

(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理(⊥，αα⊥β)在已知兩個平面垂直時一般要性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直[針對訓練(2019·洛陽一)如，在四棱錐E中，△EAD為邊三

2EBDEBCDeq\o\ac(△,S)EBDeq\o\ac(△,S)BCD22EBDEBCDeq\o\ac(△,S)EBDeq\o\ac(△,S)BCD21角形，底面為等腰梯形，滿足∥，＝＝AB且AE⊥.2(1)證明：平面⊥面EAD(2)若△的面積為3，求點C到平面的離．解：(1)證明：如圖，取AB的中，連接DM，則由題意可知四邊形BCDM為平四邊形，1∴＝＝＝AB，即點D在以線段AB為直徑的圓上，2∴⊥，又AE⊥BD且∩＝，∴⊥平面EAD∵平EBD∴平面EBD⊥平面EAD.(2)∵⊥面EAD且平ABCD，∴平面ABCD⊥平面EAD∵等邊△的面積為3，∴＝＝＝，取AD的點O，連接EO，則⊥，＝3，∵平面EAD⊥平面，面EAD平面ABCD＝AD，∴⊥平面ABCD由1)知△ABD△都是直角三角形，∴＝AB－AD＝，1＝ED·＝3，eq\o\ac(△,S)EBD設(shè)點到面的離為h11由＝，得·＝·，331又＝BC·CD120°＝3eq\o\ac(△,S)BCD∴＝

3.∴點到面的距離為.22突破點三平與垂直的綜合問1．平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化在證明線面面面平行時一般循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化從線線平行”

到“線面平行”到面面平”在用性質(zhì)定理時順序恰好相反也注意，轉(zhuǎn)化的方向是由題目的具體條件而定的，不可過于“模式化”．2．垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化在證明線面垂直面直時定要注意判定定理成立的條件時住線線面面面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即：在證明兩平面垂直時般從有的直線中尋找平面的垂線這的直線在圖中不存在，則可通過作輔助線來解決．[典例](2018·北京高)如，在四棱錐PABCD中底面為矩形，平面⊥平面，⊥，＝，F(xiàn)分為AD，的中點．(1)求證：⊥；(2)求證：平面⊥面PCD(3)求證：∥面.[證明](1)因PA＝PD，為的點，所以PEAD因為底面為矩形，所以BCAD所以PE⊥.(2)因為底面為形，所以AB⊥.又因為平面PAD⊥面，平面∩平面＝，平ABCD，所以AB平面，因為PD平PAD，以ABPD又因為PA⊥，∩＝A，所以PD平面.因為PD平PCD，以平面PAB⊥平面PCD.(3)如圖，取的點，接FG，DG.1因為，分為PB，的中點，所以∥，＝BC.2因為四邊形ABCD為矩，且E為的中點，

1所以DEBCDE.2所以DEFGDEFG所以四邊形DEFG為平四邊形．所以EF∥DG又因為EF平面，平面，所以EF平面.[方法技巧平行與垂直的綜合問題主要是利用平行關(guān)系、垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化去解決．注意遵循“空間到平面”“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化關(guān)系．[針對訓練(2019·北京西城區(qū)期末如，多面體ABCDEF中，面是邊長為的正形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，＝，，分是CE的中點．(1)求證：⊥面；(2)求證：平面BDGH