《最短路徑問題》-教學設計【初中數學人教版八年級上冊】

《最短路徑問題》教學設計教材分析教材分析在生產和經營中為了省時省力常希望尋求最短路徑，因此最短路徑問題在現(xiàn)實生活中是經常遇到的問題.本節(jié)課以數學史中的一個經典問題——“將軍飲馬問題”為載體開展對“最短路徑問題“的課題研究，讓學生將實際問題抽象為數學中線段和最短問題，再利用軸對稱將線段和最小轉化為兩點之間，線段最短問題，讓學生體會數學來源于生活，又服務于生活.教學目標教學目標能利用所學軸對稱的知識解決簡單的最短路徑問題.在探索最短路徑的過程中，培養(yǎng)學生的探究能力、數學歸納能力，分析問題、解決問題的能力.在探索最短路徑的過程中，讓學生感悟轉化的思想，獲得成功的體驗.教學重難點教學重難點【教學重點】將實際問題轉化成數學問題，運用軸對稱平移解決生活中路徑最短的問題，確定出最短路徑的方法.【教學難點】探索發(fā)現(xiàn)“最短路徑”的方案，確定最短路徑的作圖及原理.課前準備課前準備多媒體課件、教具等.教學過程教學過程一、創(chuàng)設情境，引入新知前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們會稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}，同學們仔細回顧一下原來的知識，然后思考我們教材中的問題1.相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫.有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？精通數學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題.這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”.你能將這個問題抽象為數學問題嗎？二、合作交流，探究新知這是一個實際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線.你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數學問題嗎？（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程之和；（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點.設C為直線上的一個動點，上面的問題就轉化為：當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最?。ㄈ鐖D）.三、運用新知如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？追問1如何將點B“移”到l的另一側B′處，滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB的長度相等？追問2你能利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條件的點B′嗎？作法：（1）作點B關于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C.則點C即為所求.轉化為數學問題，如圖所示，點A，B分別是直線l同側的兩個點，在l上找一個點C，使CA＋CB最短，這時先作點B關于直線l的對稱點B′，則點C是直線l與AB′的交點.為了證明點C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點C′，連接AC′，BC′，B′C′，證明AC＋CB＜AC′＋C′B如下：證明：由作圖可知，點B和B′關于直線l對稱，所以直線l是線段BB′的垂直平分線.因為點C與C′在直線l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.問題2如圖，從A地到B地經過一條小河(河岸平行)，今欲在河上建一座與兩岸垂直的橋，應如何選擇橋的位置才能使從A地到B地的路程最短？思路導引：從A到B要走的路線是A→M→N→B，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可.此時兩線段應在同一平行方向上，平移MN到AC，從C到B應是余下的路程，連接BC的線段即為最短的，此時不難說明點N即為建橋位置，MN即為所建的橋.學生之間相互交流合作完成問題2的求解以及證明.四、鞏固新知1.如圖，在平面直角坐標系中，點A(－2，4)，B(4，2)，在x軸上取一點P，使點P到點A和點B的距離之和最小，則點P的坐標是()A.(－2，0)B.(4，0)C.(2，0)D.(0，0)2.如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑.基本思路：由于兩點之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為旅游船最短路徑中的必經線路.將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉化為“點P，Q在直線BC的同側，如何在BC上找到一點R，使PR與QR的和最小”.五、鞏固小結1.最短路徑問題的類型：(1)兩點一線型的線段和最小值問題；(2)兩線一點