2.1.1平面教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1.1平教設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)1．平面的概念：平面是沒(méi)有厚薄的，可以無(wú)限延伸，這是平面最基本的屬常的桌面，黑板面，平靜的水面都是平面的局部形象一個(gè)面把空間分成兩部分，一條直線把平面分成兩部分2．平面的畫法及其表示方法：在立體幾何中，常用平行四邊形表示平當(dāng)平面水平放置時(shí)通把平行四邊形的銳畫成橫畫成鄰邊的兩倍畫個(gè)平面相交時(shí)當(dāng)個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面住時(shí)，應(yīng)把被遮住的部分成虛線或不畫②一般用一個(gè)希臘字母、、?來(lái)表示，還可用平行四邊形對(duì)角頂點(diǎn)的字母來(lái)表示如平面平面AC等3．空間圖形是由點(diǎn)、線、面組的

點(diǎn)、線、面的基本位置關(guān)系如表所示：圖形AA

aa

符號(hào)語(yǔ)言AA

文字語(yǔ)言（讀法）點(diǎn)A在線上點(diǎn)A不直線a上

AA

點(diǎn)A在面內(nèi)點(diǎn)A不平面

a

直線a、交點(diǎn)集合中“∈”的符號(hào)只能用于與直線，點(diǎn)與平面的關(guān)系

”和“”符號(hào)只能用于直線與直線、直線與平、平面與平面的關(guān)系，雖借用于集合符號(hào)，但在讀法上仍用幾何語(yǔ)言．

a或二、解課1平面的基本性質(zhì)立體幾何中有一些公理構(gòu)成一個(gè)公理體系人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)的觀察和實(shí)踐平面的三條基本性質(zhì)歸納成三條公理公理1如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)

AB

推理模式：

AB

．如圖示：或：∵

，∴

AB應(yīng)用這條公理是判定直線是在平面內(nèi)的依據(jù)可于驗(yàn)證一個(gè)面是否是平面泥瓦工用直的木條刮平地面上的泥漿．①判定直線在平面內(nèi)；②判定在平面內(nèi)模：

a

．公理1說(shuō)了平面與曲面的本區(qū)別．通過(guò)直線的“直”刻劃平面的“平直線的“無(wú)限延伸”來(lái)描述平面的無(wú)限延展性既是判斷直線在平面內(nèi)，又是檢驗(yàn)平面的方法．公理2如果個(gè)平面有一個(gè)公點(diǎn),那么它們還有其他公共且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線推理模式：

如圖示：或者：∵

∴,A應(yīng)用：①確定兩相交平面的交位置；②判定點(diǎn)在直線上公理揭示兩個(gè)平面相交的要特征判兩平面相交的依據(jù)供了確定兩個(gè)平面交線的方法．指出今后所說(shuō)的兩個(gè)平(或兩條直線,如無(wú)特殊說(shuō),均不同的平面直線公理經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平推理模式：

,C不共線,C重或：∵,C

不共線，∴存在唯一的平面

，使得

.應(yīng)用：①確定平面；②證明兩平面重合“有且只有一個(gè)”的含義分兩分理解說(shuō)明圖形存，但不唯一個(gè)”說(shuō)明圖形如果有頂多只有一個(gè)，不保證符合條件的圖形存只有一個(gè)”既保證了圖形的存在性，又保證了圖形唯一性．在數(shù)學(xué)語(yǔ)言的敘中一個(gè)且只能作一個(gè)”與“有且只有一”是同義詞，因此，在證有關(guān)這類語(yǔ)句的命題時(shí)，要從“存在性”和“唯一性”兩方來(lái)論證．實(shí)例:(1):兩個(gè)合,一把鎖(2)攝像機(jī)的三角支架；(3)自車的撐腳公理3及下面要學(xué)習(xí)的三個(gè)論是空間里確定一個(gè)平面置的方法與途徑定平面是將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題重要條件轉(zhuǎn)使得立體幾何的問(wèn)題得以在確定的平面內(nèi)充分使用平面幾何的知識(shí)解決體幾何中解決相當(dāng)一部分問(wèn)題的主要的思想方

法．2平面圖形與空間圖形的概念如果一個(gè)圖形的所有都在同一個(gè)平面內(nèi)，則稱這個(gè)圖形為平面圖形，否則稱為間圖形推論1經(jīng)一條直和直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè).已知：直線

l

，點(diǎn)

A

是直線

l

外一點(diǎn).求證：過(guò)點(diǎn)

A

和直線

l

有且只有一個(gè)平面證明在直線

l

上任取兩點(diǎn)

B

、

，∵

Al

，∴

不共線．由公理，經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)

可確定一個(gè)平面∵點(diǎn)B,在平面，根據(jù)公理1，l即平面是經(jīng)過(guò)直線l點(diǎn)A的平.（唯一性

l，點(diǎn)B

，由公理3，經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)

的平面只有一個(gè)，所，經(jīng)過(guò)

l

和點(diǎn)

A

的平面只有一個(gè)推理模式：

A

存在唯一的平面

，使得

，

l推論2經(jīng)兩條相直線有且只有一個(gè)平面已知：直線

aP

求證：過(guò)直線直線有只有一平面證明在直線上取兩點(diǎn)A，線上，∵

aP

，∴

P

不共線．由公理，經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)

P

可確定一個(gè)平面∵點(diǎn)

P

在平面，根據(jù)公理1∴

,即平面是經(jīng)過(guò)直線和線的平面（唯一性

aP

，

,

，

,

，∴點(diǎn)

P

，由公理3，經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)

P

的平面只有一個(gè)，所以，經(jīng)過(guò)線

a

和直線

的平面只有一個(gè)推理模式：

aP存唯的平面使得b推論3經(jīng)兩條平直線有且只有一個(gè)平面已知：直線//.求證：過(guò)直線和直線有只有一個(gè)平面證明在∵

//

∴由平行線的定義，直線

a

和直線

b

在同一個(gè)平面，

．．即平面經(jīng)過(guò)直線直b的平面（唯一性

a

，

Bb

，∵

,,

∴點(diǎn)不線且

，由公理3，經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)

的平面只有一個(gè)，所以，經(jīng)過(guò)線a直線b的平面只有一個(gè)推模式：

a//

存在唯一的平面使得ab例1求:三角形是平面圖形已知：三角形ABC求證：三角形ABC是平面圖形證明：∵三角形的點(diǎn)A、、C共線∴由公理知，在平面

使得、、

再由公理知，ABBC、

∴三角形ABC的每一個(gè)點(diǎn)都同一個(gè)平面內(nèi)∴三角形ABC是平面圖形例2點(diǎn)A平面，F(xiàn)H分別是BC,CD,DA上點(diǎn)若EH與FG交P（樣的四邊形ABCD就叫做空間四邊形）求證：在線BD上

A證明：∵EH∴PEH∵分別屬于直線AB，

，

PFG

，

E

HD

P∴EH平面ABD，P平，

G同理：P平面CBD，又∵平面ABD面CBD

，

B

F

C所以，

P

在直線

BD

上五、結(jié)：課主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容是平面的基本性質(zhì)，三條公理中公理1用判定直線是否在平面內(nèi)，公理用判定兩平面相交，公3是定平面的據(jù)定個(gè)平面”與“有且只有一個(gè)平面”是同詞即存在”即“唯一證明有關(guān)“有且只有一個(gè)”語(yǔ)句的題時(shí)，要證兩方面——存性和唯一性．證明的方法是反證法和同一法2.1.2空間兩條直的位置關(guān)系復(fù)習(xí)：把一紙對(duì)折幾次，為么它們的折痕平行？（每個(gè)矩形的豎邊是互相平行，再應(yīng)用平行公理，可得它們的折痕是互相平行的）二、講解新課1空兩直線位置關(guān)系（1）相交——有且只有一個(gè)公點(diǎn)平——在同一面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；（3）異面——不在任一個(gè)平內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)2平直（1）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行推模式：說(shuō)明：公理述的性質(zhì)叫做空平行線的傳遞性；

a,////

．

（）等角理：如果一個(gè)角的兩邊和另一角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等分析：在平面內(nèi)，這個(gè)結(jié)論我已經(jīng)證明成立了．在空間，這個(gè)結(jié)論是否成立，還需通過(guò)證明．要證明兩個(gè)角相，常用的方法有：證明兩三角形全等或相似，則對(duì)應(yīng)角相等；證明兩直線平行，則同角、內(nèi)錯(cuò)角相等；證明平四邊形，則它的對(duì)角相等，等等．根據(jù)題意，我們只能證明個(gè)三角形全等或相似，為需要構(gòu)造兩個(gè)三角形，這也是本題證明的關(guān)鍵所在．已知：

和

C

的邊

//A

A

C

且方向相同，求證：

BAC

．證明：在

和

C

E

′

C

′的兩邊分別截取

D

A

′

DB′A

DA

D

，∴

D

DA

是平行四邊形，∴

E

CAA

//

，同理

//

，∴

AD

B

//DD

，即平行四邊形，∴

EDE

，∴DE

BAC

．(4)等角定理的推:如果兩條交直線和另兩條相交直線別平那么這兩條直線所成的銳角或直相等指出等角定理及其推,說(shuō)明了空間角通過(guò)任意平行移動(dòng)有保值,因而成為異面直線所成角的基.3.空間兩條異面直線的畫法、4異面直線定理平面內(nèi)點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線面不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線推理模式：

llAB

與

l

是異面直線證明證法）假設(shè)直與l共，∵

Bl

，∴點(diǎn)

B和l確的平面為，∴直線

AB

與

l

共面于，

，與

矛盾，所以，

AB

與

l

是異面直線．．異面直線所成的角：已知兩條異面直線a,b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作線a無(wú)關(guān)，把

//a,，a大小與點(diǎn)O的選擇所成的銳角（或直角）叫異面線a,b所的角

O

′

（或夾角了簡(jiǎn)便，點(diǎn)通取在異面直線的一條異面直線所成的角的范圍：

2

]6．異面直線垂直：如果兩條異直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直．兩條異面直線垂，記作b．．求異面直線所成的角的方法：（）通過(guò)移，在一條直線上找一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做另一直線的平行線）出與一條直線平行且與另一條相交的直線那么這兩條相交直線所成角即為所求例已四邊形ABCD空間四邊形EH分別是ABAD的中點(diǎn)分別是邊CB上點(diǎn)

2CBCD3

，

E

H

A求證：四邊形是梯形分析形就是一組對(duì)邊平行且相等的四邊形考哪

B

D對(duì)邊會(huì)平行呢？為什么平行理）證對(duì)邊不相等可以利用平行線分線段成比例證明：如圖，連接BD

F

G1∵EH是△的中位線，∴EH//BD,EH=BD.2

C又在△BCD，

CG22，∴FG//BD,FG=BD.CB根據(jù)公理4，EH//FG又FGEH,四邊形EFGH一對(duì)邊平行但不相等例2如，A是面外一點(diǎn)GH分是ABC

的重心，求證：

//BD

．證明：連結(jié)

AG

分別交

BC,CD

于

，連結(jié)

MN

，∵

分別是

,

的重心，

∴M,分別是的點(diǎn)，AG2∴//BD，∵，AM∴//MN，由公理知GH//．

H

例4正方體

ABCDA

中些棱所在的直線

與直線

BA

是異面直線？求

BA

與

CC

夾角的度數(shù)．那些棱所在的直與直線

垂直？解）面線的判定方法可知，與直線

BA

成異面線有直線

CCDDD

，（2

BB

//

知

等于異面直線

BA

與

CC

的夾角以異面直線

BA

與CC

的夾角為45五、小結(jié)：節(jié)課我們學(xué)習(xí)了條直線的位置關(guān)系（平行、相交、異面理和等角定理及其推論異面直線的念判斷及異面直線夾角的概念明兩直線異面的一般方法是“反證法”或“判定定異面直線的夾角的一步驟是證—算—答”2.1.3直線與平面的位關(guān)系復(fù)習(xí)：1.只筆所在的直線與個(gè)作業(yè)本所在的平面可能幾種位置關(guān)系學(xué)生演示）二、講解新課：空直線與面的位置關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)公共點(diǎn)：（）直線與平面相交——有且有一個(gè)公共點(diǎn)；（）線與平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)；直線與平面相交或平行的情況稱為直線在平面外02.三種位置關(guān)系的圖形語(yǔ)言、號(hào)語(yǔ)言表示及文字表述如：3.讓學(xué)生舉出空間直線與平面位置關(guān)系的實(shí).三、解例例1直

a在平面內(nèi)外，則（）（A（B）直與面至少有一個(gè)公共點(diǎn)（）

aA

（D）直線

a

與平面

至多有一個(gè)公共點(diǎn)答案D例2分別按下列條件畫出直觀.（1）a∩b=P∥平面

，b∩平面

=A（2）平面∩面平面與平面間的位置關(guān)系復(fù)習(xí)提、空間中兩條直線有幾種位置關(guān)系？分別是什么？2、直線與平面在幾種位置關(guān)系？分別是什么？、兩條異面直線所成的角怎么求？二、新1、新課引入（）拿出本書，看作兩個(gè)平面，上下、左右移動(dòng)和翻轉(zhuǎn)，看看它們之間的位置關(guān)系有幾種？（2）如圖，圍成方體ABCD－B’D’六個(gè)面，兩兩之間的位置關(guān)系有幾種？2、新課在問(wèn)題（）中，通過(guò)察可以發(fā)現(xiàn)，兩本書可以平行，也可以是相交，注意平面是無(wú)限延展的。在問(wèn)

題（2）中上下面，左右面，前后面是平行的，相鄰的兩個(gè)面