二元選擇模型

二元選擇模型1第一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

在實(shí)際中，還會經(jīng)常遇到因變量受到某種限制的情況，這種情況下，取得的樣本數(shù)據(jù)來自總體的一個(gè)子集，可能不能完全反映總體。這時(shí)需要建立的經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型稱為受限因變量模型（limiteddependentvariablemodel)。這兩類模型經(jīng)常用于調(diào)查數(shù)據(jù)的分析中。2第二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五§13.1二元選擇模型

在離散選擇模型中，最簡單的情形是在兩個(gè)可供選擇的方案中選擇其一，此時(shí)被解釋變量只取兩個(gè)值，稱為二元選擇模型（binarychoicemodel）。在實(shí)際生活中，我們經(jīng)常遇到二元選擇問題。例如，在買車與不買車的選擇中，買車記為1，不買記為0。是否買車與兩類因素有關(guān)系：一類是車本身所具有的屬性，如價(jià)格、型號等；另一類是決策者所具有的屬性如收入水平、對車的偏好程度等。如果我們要研究是否買車與收入之間的關(guān)系，即研究具有某一收入水平的個(gè)體買車的可能性。因此，二元選擇模型的目的是研究具有給定特征的個(gè)體作某種而不作另一種選擇的概率。

3第三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

為了深刻地理解二元選擇模型，首先從最簡單的線性概率模型開始討論。線性概率模型的回歸形式為：

（7.1.1）其中：N是樣本容量；k是解釋變量個(gè)數(shù)；xj為第j個(gè)個(gè)體特征的取值。例如，x1表示收入；x2表示汽車的價(jià)格；x3表示消費(fèi)者的偏好等。設(shè)yi表示取值為0和1的離散型隨機(jī)變量：

式（7.1.1）中ui為相互獨(dú)立且均值為0的隨機(jī)擾動項(xiàng)。1、

線性概率模型及二元選擇模型的形式

4第四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五令pi=P(yi=1)，那么

1-pi=P(yi=0)，于是（7.1.2）又因?yàn)镋(ui)

=0，所以E(yi)

=xi，xi=(x1i,

x2i,…,xki),

=(1

,

2,…,k)，從而有下面的等式：（7.1.3）

5第五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五式(7.1.3)只有當(dāng)xi的取值在(0,1)之間時(shí)才成立，否則就會產(chǎn)生矛盾，而在實(shí)際應(yīng)用時(shí)很可能超出這個(gè)范圍。因此，線性概率模型常常寫成下面的形式：

(7.1.4)此時(shí)就可以把因變量看成是一個(gè)概率。那么擾動項(xiàng)的方差為：

(7.1.5)或

(7.1.6)

6第六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

由此可以看出，誤差項(xiàng)具有異方差性。異方差性使得參數(shù)估計(jì)不再是有效的，修正異方差的一個(gè)方法就是使用加權(quán)最小二乘估計(jì)。但是加權(quán)最小二乘法無法保證預(yù)測值?在(0,1)之內(nèi)，這是線性概率模型一個(gè)嚴(yán)重的弱點(diǎn)。由于上述問題，我們考慮對線性概率模型進(jìn)行一些變換，由此得到下面要討論的模型。假設(shè)有一個(gè)未被觀察到的潛在變量yi*，它與xi之間具有線性關(guān)系，即

(7.1.7)其中：ui*是擾動項(xiàng)。yi和yi*的關(guān)系如下：

(7.1.8)7第七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

yi*大于臨界值0時(shí)，yi=1；小于等于0時(shí)，yi=0。這里把臨界值選為0，但事實(shí)上只要xi包含有常數(shù)項(xiàng)，臨界值的選擇就是無關(guān)的，所以不妨設(shè)為0。這樣

(7.1.9)其中：F是ui*的分布函數(shù)，要求它是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，并且是單調(diào)遞增的。因此，原始的回歸模型可以看成如下的一個(gè)回歸模型：

(7.1.10)即yi關(guān)于它的條件均值的一個(gè)回歸。8第八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

分布函數(shù)的類型決定了二元選擇模型的類型，根據(jù)分布函數(shù)F的不同，二元選擇模型可以有不同的類型，常用的二元選擇模型如表7.1所示：

表7.1常用的二元選擇模型

ui*對應(yīng)的分布分布函數(shù)F相應(yīng)的二元選擇模型標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Probit模型邏輯分布Logit模型極值分布Extreme模型9第九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五二元選擇模型一般采用極大似然估計(jì)。似然函數(shù)為

(7.1.11)即

(7.1.12)

對數(shù)似然函數(shù)為

(7.1.13)13.2二元選擇模型的估計(jì)問題10第十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五對數(shù)似然函數(shù)的一階條件為

(7.1.14)其中：fi表示概率密度函數(shù)。那么如果已知分布函數(shù)和密度函數(shù)的表達(dá)式及樣本值，求解該方程組，就可以得到參數(shù)的極大似然估計(jì)量。例如，將上述3種分布函數(shù)和密度函數(shù)代入式(7.1.14)就可以得到3種模型的參數(shù)極大似然估計(jì)。但是式(7.1.14)通常是非線性的，需用迭代法進(jìn)行求解。二元選擇模型中估計(jì)的系數(shù)不能被解釋成對因變量的邊際影響，只能從符號上判斷。如果為正，表明解釋變量越大，因變量取1的概率越大；反之，如果系數(shù)為負(fù)，表明相應(yīng)的概率將越小。

11第十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

例13.1二元選擇模型實(shí)例

考慮Greene給出的斯佩克特和馬澤歐（1980）的例子，在例子中分析了某種教學(xué)方法對成績的有效性。因變量（GRADE）代表在接受新教學(xué)方法后成績是否改善，如果改善為1，未改善為0。解釋變量（PSI）代表是否接受新教學(xué)方法，如果接受為1，不接受為0。還有對新教學(xué)方法量度的其他解釋變量：平均分?jǐn)?shù)（GPA）和測驗(yàn)得分（TUCE），來分析新的教學(xué)方法的效果。12第十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

（1）模型的估計(jì)

估計(jì)二元選擇模型，從EquationSpecification對話框中，選擇Binary估計(jì)方法。在二元模型的設(shè)定中分為兩部分。首先，在EquationSpecification區(qū)域中，鍵入二元因變量的名字，隨后鍵入一列回歸項(xiàng)。由于二元變量估計(jì)只支持列表形式的設(shè)定，所以不能輸入公式。然后，在Binaryestimationmethod中選擇Probit，Logit，Extremevalue選擇三種估計(jì)方法的一種。以例7.1為例，對話框如圖7.2所示。13第十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五圖7.2二元選擇模型估計(jì)對話框14第十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

例7.1的估計(jì)輸出結(jié)果如下：15第十五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

參數(shù)估計(jì)結(jié)果的上半部分包含與一般的回歸結(jié)果類似的基本信息，標(biāo)題包含關(guān)于估計(jì)方法（ML表示極大似然估計(jì)）和估計(jì)中所使用的樣本的基本信息，也包括達(dá)到收斂要求的迭代次數(shù)。和計(jì)算系數(shù)協(xié)方差矩陣所使用方法的信息。在其下面顯示的是系數(shù)的估計(jì)、漸近的標(biāo)準(zhǔn)誤差、z-統(tǒng)計(jì)量和相應(yīng)的概率值及各種有關(guān)統(tǒng)計(jì)量。16第十六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五在回歸結(jié)果中還提供幾種似然函數(shù)：①loglikelihood是對數(shù)似然函數(shù)的最大值L(b)，b是未知參數(shù)的估計(jì)值。②Avg.loglikelihood是用觀察值的個(gè)數(shù)N去除以對數(shù)似然函數(shù)L(b)，即對數(shù)似然函數(shù)的平均值。③Restr.Loglikelihood是除了常數(shù)以外所有系數(shù)被限制為0時(shí)的極大似然函數(shù)L(b)。④LR統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)除了常數(shù)以外所有系數(shù)都是0的假設(shè)，這類似于線性回歸模型中的統(tǒng)計(jì)量，測試模型整體的顯著性。圓括號中的數(shù)字表示自由度，它是該測試下約束變量的個(gè)數(shù)。17第十七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五⑤Probability（LRstat）是LR檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值。在零假設(shè)下，LR檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量近似服從于自由度等于檢驗(yàn)下約束變量的個(gè)數(shù)的2分布。⑥McFaddenR-squared是計(jì)算似然比率指標(biāo)，正像它的名字所表示的，它同線性回歸模型中的R2是類似的。它具有總是介于0和1之間的性質(zhì)。18第十八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

利用式(7.1.10)，分布函數(shù)采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即Probit模型，例7.1計(jì)算結(jié)果為(7.1.15)z=(-2.93)(2.34)(0.62)(2.39)

利用式(7.1.15)的Probit模型的系數(shù)，本例按如下公式給出新教學(xué)法對學(xué)習(xí)成績影響的概率，當(dāng)PSI=0時(shí)：

(7.1.19)

當(dāng)PSI=1時(shí)：

(7.1.20)

式中測驗(yàn)得分TUCE取均值(21.938)，平均分?jǐn)?shù)GPA是按從小到大重新排序后的序列。

19第十九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五圖7.1新教學(xué)法對學(xué)習(xí)成績影響的概率20第二十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

（2）估計(jì)選項(xiàng)

因?yàn)槲覀兪怯玫ㄇ髽O大似然函數(shù)的最大值，所以O(shè)ption選項(xiàng)可以從估計(jì)選項(xiàng)中設(shè)定估計(jì)算法與迭代限制。單擊Options按鈕，打開對話框如圖7.3所示。圖7.3Options對話框21第二十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

Option對話框有以下幾項(xiàng)設(shè)置：①穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)差

(RobustStandardErrors)對二元因變量模型而言，EViews允許使用準(zhǔn)-極大似然函數(shù)（Huber/White）或廣義的線性模型（GLM）方法估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差。察看RobustCovariance對話框，并從兩種方法中選擇一種。②初始值

EViews的默認(rèn)值是使用經(jīng)驗(yàn)運(yùn)算法則而選擇出來的，適用于二元選擇模型的每一種類型。③

估計(jì)法則

在Optimizationalgorithm一欄中選擇估計(jì)的運(yùn)算法則。默認(rèn)地，EViews使用quadratichill-climbing方法得到參數(shù)估計(jì)。這種運(yùn)算法則使用對數(shù)似然分析二次導(dǎo)數(shù)的矩陣來形成迭代和計(jì)算估計(jì)的系數(shù)協(xié)方差矩陣。還有另外兩種不同的估計(jì)法則，Newton-Raphson也使用二次導(dǎo)數(shù)，BHHH使用一次導(dǎo)數(shù)，既確定迭代更新，又確定協(xié)方差矩陣估計(jì)。

22第二十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五（3）預(yù)測從方程工具欄選擇Procs/Forecast（FittedProbability/Index），然后單擊想要預(yù)測的對象。既可以計(jì)算擬合概率，，也可以計(jì)算指標(biāo)的擬合值。像其他方法一樣，可以選擇預(yù)測樣本，顯示預(yù)測圖。如果解釋變量向量xt包括二元因變量yt的滯后值，選擇Dynamic選項(xiàng)預(yù)測，EViews使用擬合值得到預(yù)測值；而選擇Static選項(xiàng)，將使用實(shí)際的（滯后的）yt-1