工程力學(xué)運動學(xué)與動力學(xué)

第13章點的運動與剛體的基本運動點的運動剛體的基本運動目前一頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點13.1點的運動學(xué)運動學(xué)研究模型概念：點：——不考慮質(zhì)量和大小及形狀時的物體點是運動學(xué)研究模型之一剛體：——不考慮質(zhì)量；但是,其大小及形狀不可忽略的物體剛體是運動學(xué)研究的另一物體模型目前二頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點13.1點的運動學(xué)

——作為描述物體與之相對位置的參考物體參考系1）參考體——建立在參考體上的坐標系在工程中的力學(xué)研究中，需要指明參考體；通常將參考系固定在地面上，或者機器的機架上2）參考系目前三頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點13.1點的運動學(xué)描述點運動的矢量法OM1MrM2運動軌跡v考慮點M運動：運動方程：r=r(t)(13-1)以某確定點為參考點，以參考點到動點位置為矢徑來描述點的位置的方法——矢量法速度：v=drdt(13-2)單位:m/s，方向:軌跡切線加速度：a=dvdt=d2rdt2=r..(13-3)=r.單位：m/s2目前四頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點13.1點的運動學(xué)描述點運動的直角坐標法OyxzjikMrzyx考慮點M在坐標系中的坐標：(x,y,z)r=x.i+y.j+z.k(13-4)運動方程：x=f1(t)y=f2(t)z=f3(t)(13-5)式（13-6）稱為直角形式的運動方程；消去參數(shù)t得到點的軌跡方程F(x,y,z)

=0(13-6)目前五頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點13.1點的運動學(xué)描述點運動的直角坐標法OyxzjikMrzyxr=x.i+y.j+z.k(13-4)速度：v=drdt=x.i+y.j+z.k···(13-7)設(shè)：速度在直角坐標軸上的投影:(vx，vy，vz)v=vx.i+vy.j+vz.k(13-8)得到：vx=x·vy=y·vz=z·(13-9)結(jié)論：點的速度在直角坐標軸上的投影，等于點的對應(yīng)坐標對時間的一階導(dǎo)數(shù)目前六頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點13.1點的運動學(xué)描述點運動的直角坐標法OyxzjikMrzyxr=x.i+y.j+z.k(13-4)速度：v=vx.i+vy.j+vz.k(13-8)加速度：a=v·=r··=x.i+y.j+z.k······=ax.i+ay.j+az.k(13-10)其中：(ax，ay，az)表示加速度在直角坐標軸上的投影。得到：ax=vx·ay=vy·az=vz···=x··=y··=z(13-11)點的加速度在直角坐標軸上的投影，等于點的對應(yīng)速度投影對時間的一階導(dǎo)數(shù)，或等于點的對應(yīng)坐標對時間的二階導(dǎo)數(shù)。結(jié)論:目前七頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點橢圓規(guī)的曲柄OC可繞定軸O轉(zhuǎn)動，其端點C與規(guī)尺AB的中點以鉸鏈相連接，而規(guī)尺A，B兩端分別在相互垂直的滑槽中運動。求：①M

點的運動方程②軌跡③速度④加速度例13-1BACOMyxj解：：x=x(t)，y=y(t)。x=(OCcosj+CMcosj)=(l+a)coswty=AMsinj

=(l-a)sinwtta，MClBCACOCwj=====,

：已知點M作曲線運動，取坐標系xOy運動方程目前八頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點BACOMyxjx=(l+a)coswty=(l-a)sinwt消去參數(shù)t，得軌跡方程：橢圓速度：vx=x·=-

(l+a)wsinwtvy=y·=(l-a)wcoswtvM

=vx2+vy2=wl2+a2-2a.l.cos2w

tcos(v,i)=vxv

(l+a)wsinwtl2+a2-2a.l.cos2w

t=-cos(v,j)=vyv

(l-a)wcoswtl2+a2-2a.l.cos2w

t=x2(l+a)2y2(l-a)2+=1目前九頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點x=(l+a)coswty=(l-a)sinwt加速度：cos(a,i)=axa

-(l+a)

coswtl2+a2-2a.l.cos2wt=-cos(a,j)=aya

-(l-a)

sinwtl2+a2-2a.l.cos2wt==w2l2+a2-2a.l.cos2wt#BACOMyxjax=vx···=x=–(l+a)w2coswt

ay=vy···=y=–(l–a)w2sinwt

a=a2x+a2y

=–(l+a)2w4cos2wt

+(l–a)2w4sin2wt

目前十頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點13.1點的運動學(xué)描述點運動的弧坐標法利用點的運動軌跡建立坐標系，并描述和分析點的運動的方法——弧坐標法OMs(+)(-)運動方程：s=f(t)(13-12)該式稱為：以弧坐標表示的點的運動方程速度：v=v.ttddts=OM’Mrr’vτΔrΔs(13-15)速度大小：

v=ddts=s·方向：沿動點軌跡的切線方向（與運動方向一致）目前十一頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點=at

+annt13.1點的運動學(xué)描述點運動的弧坐標法運動方程：s=f(t)(13-12)速度：v=v.ttddts=(13-15)加速度：a=dvdt=dvdtt+vddtτ反映速度大小變化at反映速度方向變化an(13-16)切向加速度：at=v···=s(13-20)法向加速度：anv2r=(13-22)at=v.·tanv2r=na=at+an(全)加速度：(13-18)目前十二頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點13.1點的運動學(xué)描述點運動的弧坐標法=at

+annt加速度：a=dvdt=dvdtt+vddtτ(13-16)切向加速度：at=v···=s(13-20)法向加速度：anv2r=(13-22)at=v.·tanv2r=na=at+an(全)加速度：(13-18)切向加速度反映的是速度值對時間的變化率，方向沿軌跡的切線方向；法向加速度是加速度方向的改變率，方向永遠指向曲率中心。大?。篴=at2+an2方向：tanq=atan目前十三頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點列車沿半徑為R=800m的圓弧軌道作勻加速運動。如初速度為零，經(jīng)過2min后，速度到達54km/h。求：列車起點和未點的加速度。例13-2RsO解：分析：v0=0，at=Constant，t=120s，v=15m/s列車作曲線加速運動，取弧坐標如圖dvdt=at=常量∵積分得：v=attat=

v/t15120==0.125m/s2目前十四頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點RsO列車沿半徑為R=800m的圓弧軌道作勻加速運動。如初速度為零，經(jīng)過2min后，速度到達54km/h。求：列車起點和未點的加速度。例13-2①t=0,an=0,a=at=0.125m/s2②t=2min=120sanv2r=(15m/s)2800m==0.281m/s2a=at2+an2=0.308m/s2#目前十五頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點13.2剛體的基本運動剛體基本運動的兩個類型：AB平行移動定軸轉(zhuǎn)動目前十六頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點13.2剛體的基本運動平移剛體運動時，其上一直線在運動過程中始終平行于初始位置稱為平行移動，簡稱平移。OyxzABrABrBrAA1B1A2B2A、B兩點的軌跡相同rA=rB+rAB常矢量目前十七頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點13.2剛體的基本運動平移OyxzABrABrBrAA1B1A2B2rA=rB+rAB速度：drABdt=0∵drAdt=∴drBdt故vA=vB(13-24)加速度：dvAdt=dvBdt得aA=aB(13-25)結(jié)論：當(dāng)剛體做平動時，其上各點的軌跡形狀相同；在每一瞬時的速度、加速度也相同平移剛體運動，可看作點的運動研究目前十八頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點13.2剛體的基本運動定軸轉(zhuǎn)動稱為定軸轉(zhuǎn)動運動剛體上(或其擴展部分)有一條直線始終保持不動。轉(zhuǎn)軸ⅠjⅡjAZw運動方程：定軸轉(zhuǎn)動剛體位置：——j轉(zhuǎn)角(rad)j=f(t)(13-26)角速度：=d

tdjw=j·(13-27)方向：逆時針為正，單位：弧度/秒(rad/s)目前十九頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點13.2剛體的基本運動定軸轉(zhuǎn)動ⅠjⅡjAZw運動方程：j=f(t)(13-26)角速度：=d

tdjw=j·(13-27)角速度與工程轉(zhuǎn)速關(guān)系：2pn60ω==pn30轉(zhuǎn)速n：r/min(轉(zhuǎn)/分)[rpm](13-28)目前二十頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點13.2剛體的基本運動定軸轉(zhuǎn)動ⅠjⅡjAZw運動方程：j=f(t)(13-26)角速度：=d

tdjw=j·(13-27)角加速度：2dt2dj=dtdwa==j··=w·(13-29)角加速度的大小等于角速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)；或等于轉(zhuǎn)角方程對時間的二階導(dǎo)數(shù)。單位：弧度/秒2(rad/s2)目前二十一頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點例13-5計算機硬盤驅(qū)動器的電機勻變速轉(zhuǎn)動，啟動后為了盡快達到最大轉(zhuǎn)速，要求3s內(nèi)轉(zhuǎn)速從零增加到3000r/min，求電機的角加速度及轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)。解：t=0,w0

=0t=3s:w=pn303000p30==100p(rad/s)dtdwa==常量（勻變速轉(zhuǎn)動）30∫100p0∫adt=dw積分：a=(rad/s2)100p3解得：又：dtdwa==djdw×dtdj=w×dtdj目前二十二頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點例13-5計算機硬盤驅(qū)動器的電機勻變速轉(zhuǎn)動，啟動后為了盡快達到最大轉(zhuǎn)速，要求3s內(nèi)轉(zhuǎn)速從零增加到3000r/min，求電機的角加速度及轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)。積分：#dtdwa==djdw×dtdj=w×djdwj0∫100p0∫adj=wdw解得：=150(rad)j=××(100p)2(rad)3100p12j2pN=150p2p==75(轉(zhuǎn))目前二十三頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點13.2剛體的基本運動定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點的速度和加速度OO’sjMMABrωvatanaq轉(zhuǎn)動方程：s=rj(13-30)速度：v=s·=rw=rj·(13-31)加速度：at=dvdt=s··=ra=rj··(13-32)an=v2ρ(rw)2r==rw2(13-33)=aw2a=at2+an2=ra2+w4tanq=atan(13-34)目前二十四頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點13.2剛體的基本運動定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點的速度和加速度速度、加速度分布情況：ωvvvω速度分布三角形v=rwωaat=raan=rw2a=ra2+w4ωaqanatavqanataqqaa加速度分布三角形=aw2tanq目前二十五頁\總數(shù)三十一頁\編于二十二點O例：13-6汽輪機葉輪由靜止開始作勻加速轉(zhuǎn)動。輪上M點距輪心為r，在某瞬時的全加速度與轉(zhuǎn)輪半徑之間的夾角為θ°求葉輪的轉(zhuǎn)動方程及t=2s

時M點速度和法向加速度。設(shè)：a=40m/s2；t=0；j0=0，q=30°，r=