淺析復函數(shù)與實函數(shù)地類同與差異

實用標準文案淺析復函數(shù)實函數(shù)的類與差異夏青

數(shù)學112班摘

號復函數(shù)與實函數(shù)貫穿在我們高中和大學的數(shù)學之中通過學習了解了部分實函數(shù)和復函數(shù)的知識點認為復函數(shù)實函數(shù)的后繼與延伸者在某些概念論既有區(qū)別，又有著深刻的聯(lián)系因為了更清楚明二者的概念、結(jié)論的相同與相異之處，本文做了一點簡單說明。正在中學我們主要學習了實函數(shù)學期間我又更加深入地學習研究了實函數(shù)此同時也進行了復變函數(shù)的學習數(shù)與復函數(shù)的學習中中現(xiàn)者有許多相似之處，并且在許多命題、性質(zhì)中是可以相互推證，彼此呼應的在研究復函數(shù)中的命題時，會想到從實函數(shù)中尋找可以借鑒的東西畢竟二者之間有區(qū)別并能完全照搬照抄，有的甚至有本質(zhì)的差別。復變函數(shù)論中的柯西—黎曼方程、柯西積分定理、解析函數(shù)的冪級數(shù)表達式和斂散性、解析函數(shù)的泰勒展式與洛朗展式定等與我們經(jīng)常使用的實函數(shù)有一定的關(guān)系，其相關(guān)知識點也能運用在實函數(shù)的解題上我們將從幾個方面來探究其在實函數(shù)上的應用。在解形如

bxdx

ebxdx

(

2

2

0)的實函數(shù)的不定積分時我往采用的是分部積分法過程往往復雜且容易出錯是通過我們學習過的復積分能方便的解決這些問題。我們已知

e

i

，我們能不能通過構(gòu)造一個復積分的問題來解決這個問題。例：計算積分

bxdx

,R此時我們可以添加一個輔助函數(shù)

ax

bxdxf(x)

=

cos精彩文檔

a+(實用標準文案a+((

=

ebxdxFx)F(x)=(x)+ig(x)=Fx)

=+

i

ebxdx

e

dx=e

axibx+=12

(a-)(cosbx+isinbx)==

e

ax

+2[cosbx+bbx+iasin-)]a+b2此時f(x)

=

ReF)=

ax

(cosbx+bbx)a2b

1g(x=ImF(x=

e

(a-sinbx)a2+

2由此可以看出復函數(shù)積分可以快速解決形如

bxdx

esi

(22的問題是解決的問題只是們常見問題中的很小一部分們見的積分不只是這種情況，更多的是型如：

()cos

，

(d)inxx

2

2

0)我們也可以借助復變的相關(guān)知識解決問題。例：計算積分

()e

bxdx解法1我利用實函數(shù)的分部積分方法來解決問題。解法2令

f(x)

axcg(x)

(Bx

sinbxdx()=()+ig()此時我們得到精彩文檔

mmi-實用標mmi-F(x)eaxcos

(Bx

(cosbx)dx

(A)

()

此時我們可以知道

f(=ex+c1

xImF)c2我們對于

F

運用分部積分，可以輕松的得到

fx)

，

(

。f(x)Aax

是在極少某種特殊情況下的看到的們?？吹降氖切蜪x)xe如（來解決此類問題，

f(x)

為任意階數(shù)們可以應用構(gòu)造函數(shù)的方法(xI(i()我們可以得出對于任意的形如

Ix)

f()

，

()

f(xe

sin（

fx)

為任意階函數(shù)們以松利用復變函數(shù)知識得出。2.利復函數(shù)定分我們已知edx0

e

(>0)sindxcosx2dx0

4那么

edx

是否在復函數(shù)也適用面?zhèn)兛匆恍┨厥馇闆r們時我們可以看出

0

2

-

0

xdx

=

24i

24

，然而

dx

，顯然

edx

，在復函數(shù)情況下也能成立。精彩文檔

=R()()dx實用標準文案=R()()dx下面我們來看例3：I

0

(

sinx

dx我們知道

I

0

(dxx

x()x

r,取使

>r

考慮函數(shù)

f(z

沿由

[r,R]

，半圓弧C:zi(0R

]

及半圓弧

C:zreir

的反向所組成的閉曲線的分。

f(z)dz根據(jù)柯西積分定理得

，即

r

e()dxx

eizixz

e()dzz

（1）由引理

Lim

(

iz

)由引理

Limr0

r

()

：在式（1）中令

r

取得極限

(

ixx

)所以

I

0

(dxx

=

12

x()x

=

p2復函在不式的用在復平面上們道其上的亦守平面直角坐標系的一些規(guī)律實數(shù)范圍內(nèi)我們經(jīng)常利用向量解決一些不等式，那么復函數(shù)也能夠應用在解不等式上面。我們已經(jīng)知道

zz1

2

zzn

2

z

n

。例4：求證不等式

a2

d2(bd)=+ib證明：令精彩文檔

；

z=a2+b21

aca實用標準文案aca=+id

:

z=+2

2z-bd+i(ad2zz12

22da22

(ac)

+bd

bd我們知道復數(shù)模有

z1

n

zz12

n例5：證明不等式

2b2

2

2((b)證明：我們利用復函數(shù)知識來求這道題，設

=+ib

；

=z=a2+b1

，

z+2z++i(+)z=b+()

2

b

2

2

+

2

+2bdb2ab222cd12

2(acbccd)

+c)(+)例6：設，，為非負實數(shù)，證明a

c

a

2(b證明：設

=a+1

+ic

=ia3

，，為負實數(shù)z+z(a+c+i(++123因為

zzzz12

3

c

22

ac)

2==

+cb+c)例7：設

,

為小于的數(shù)，證明

2

b

2

(c)

2

b

2

2

cb)

2

()

2

(cb)

2

2精彩文檔

證明：設

實用標準文案z=+ibz=(c-a)+ib=+icb),=(c-a)+i(c-b123

，其中，

a,

。則

+b

+(c-a)

+b

+

-b)

+(-a

+(c-b)

=

+zz+12

414

3=2c+i

=2通過上面的三部分的應用可以通過復函數(shù)的知識讓我們更加方便的解決我們所求得實函數(shù)，這是它們的類同之處。但是，復函數(shù)與實函數(shù)也有很大的差異。首先，它們的研究范圍不同顧名思義復數(shù)是以復數(shù)為自變量的函數(shù)函數(shù)就是以實教為自變量的函數(shù)因此要認清復數(shù)與實數(shù)的別。實數(shù)可以比較大小，而復數(shù)不可以可像實數(shù)一樣進行和差積商的運算是運算過程中有了新的規(guī)律利用復數(shù)模的知識因此使得復數(shù)的代數(shù)運(包括乘冪與方根有了更快捷的形式，并且有了更優(yōu)美的性質(zhì)。復函數(shù)的極限續(xù)和微分在形式上雖然與實函數(shù)中相對應的概念模仿卻有本質(zhì)的差別而這些差別正是復函數(shù)引解析函數(shù)概念以及討論解析函數(shù)的基礎面?zhèn)儚奈⒎种兄刀ɡ斫馕龊瘮?shù)零點的孤立析函數(shù)的無窮可微性這三個方面來討論它們的區(qū)別和差異。1.微中定微分中值定理是微分學的重要內(nèi)容之一，其表現(xiàn)形式常用的Rolle中值理及Lagrange中值定理，隨著數(shù)域擴充，微分中值定理在復數(shù)域中不成立。例設==e

z

，函數(shù)(z)在平面處處解析e

z

具有周期性2ki，k∈是其期。當給定閉區(qū)域

，z1，∈且≠，容易滿足

e

z1

=e2，但e

z

)'=e

z

≠。故Rolle中定理在復數(shù)域C上不成立。1例設f(z)=z，閉區(qū)域={ZRez≥}，取z1=(1+)，2z2=

1z2)-f(z1)(1－)=0f'(z)3z=0在域D內(nèi)解Lagrange2-中值定理在C上成立。精彩文檔

實用標準文案2.解函零的立區(qū)域D內(nèi)處可微的復變函數(shù)為區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)在《復變函數(shù)論》中，解析函數(shù)的零點總是孤立的。而實變函數(shù)體現(xiàn)出的性質(zhì)截然相反。例10:設w=f(z)=(e

－，它全部零點為=，=πik∈。研究發(fā)現(xiàn)，對f的每一個零，都存在其零點的一個鄰域，使f(z)在該鄰域內(nèi)無異于該零點的其它零點，即不恒為零的解析函數(shù)的零點必是孤立的。例11:設數(shù)解(1)由于

f(x)的可微性及其零點性質(zhì)。故f(x)在x=0可微且f'(0)=。于是f(x)在－，∞上處可微。(2)令(x)=0可其全部零點0

1

，±

1，…，±其n1,2,3以x為點，也就是說在x=0任意領(lǐng)域內(nèi)總有異x=0的f的其它零點。即盡管實變函數(shù)(x)不恒為零且處處微，零x=卻不是孤立零點。3.解函的窮微在復變函數(shù)中若(z)在區(qū)域D內(nèi)析則(z)區(qū)域內(nèi)具有各階導數(shù)并且它們也在區(qū)域D內(nèi)析。復變函數(shù)的這一性質(zhì)稱為解析函數(shù)的無窮可微性。實變函數(shù)中區(qū)間上的可微函數(shù)此間上的不一定有二階導數(shù)談上有高階導數(shù)了。例12:設

，

討論f(x)在x=0的階導數(shù)解因精彩文檔

實用標準文案故f(x)在x=0可且f'(0)。于是又

不存在，則'(x)在=0不連于是f'(x)在=0不可導，即(x)在=沒有二階導數(shù)，更談不上有高階導數(shù)了。例13:設

，其

中:x

+y

=5，求(1+i)，'(1+i)，f'(2－3i)及″(1+i)f″(2－3i)解根據(jù)Cauchy積分公式及其論，并且函數(shù)(z)在以為界