成都四七九外地生自主招生考試數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)案

第一講因式分解與配方一、因式分解公式基本公式：；；二、常見因式分解模式；；三、方法要領(lǐng)1、觀察各因式在“次數(shù)”、“系數(shù)”、“項數(shù)”上“誘惑”2、聯(lián)想相關(guān)分解公式結(jié)構(gòu)，合理換元、配方、整合因式、主元引導(dǎo)、巧妙轉(zhuǎn)化；3、三次因式分解常結(jié)合觀根法與特值嘗試處理。經(jīng)典范例問題1、因式分解原式=注：觀根法因式分解。【變式】問題2、令，注：換元簡化表示式?！咀兪健繂栴}3、將因式分解。原式==注：選主元因式分解?！咀兪健繉⒁蚴椒纸?。原式==注：選主元因式分解。問題4、設(shè)為實數(shù)，則最小值是【變式】設(shè)x、y為實數(shù)。求證：。證：?！咀兪健繂栴}5、若多項式含因式和，求全部根?！咀兪健吭O(shè)兩個因式是x+1，x+2。求a、b。解：是根。【變式】設(shè)n為1~100間整數(shù)，能分解為兩個一次式之積。這么n有___個。解：設(shè) （p>0，q>0)∴∴p=1，2，3···,9。故n有9個值?！咀兪健繛楹沃禃r，二次三項式是完全平方式；問題6、方程整數(shù)解有______對。解： 或∴，即有一對。若a>b，a、b為正整數(shù)，為整數(shù)，且，則=（）A B 或 C 1 D 1或7解： ∴?！?a>b，且a、b為正整數(shù)?！?或7 ∴ 或1。故選（D）。設(shè)為正整數(shù)。是質(zhì)數(shù)，則=_________。解：∴∴ n=3.問題7、中，，求證：。解：∵ ∴【變式】若△ABC三邊滿足，則△ABC是三角形。問題8、設(shè)。求。解：∴ ∴ 【變式】若，，求x+y。解：兩式相加。； ∴ 。問題9、。則M一定是（）A 正數(shù) B 負(fù)數(shù) C 0 D 整數(shù)【變式】設(shè)為正整數(shù)。。求xy.。解：。 ∴x=1，2，···,10.經(jīng)檢驗，x=6或8時，，∴ y=6或4?！?xy=36或32?！咀兪健糠匠陶麛?shù)解有______對。解： 或∴，即有一對。問題9、設(shè)，則a、b大小關(guān)系（）Aa>b. Ba=b. Ca<b. D不定.解：設(shè)=m，=n，，同理，b=1，故選B?！咀兪健壳笾担航猓涸O(shè)n為正整數(shù)，則令n=1，3，5，7，9，相乘得原式=221?！咀兪健吭O(shè)，求值。28代數(shù)式部分作業(yè)1、因式分解：_________，_________2、已知則______3、已知，，且，則值等于（）A）－5（B）5（C）－9（D）9解：由已知可得，．又，所以，解得．故選C．4、一個二次三項式完全平方式是則這個二次三項式為_________5、設(shè)直角三角形三邊長分別為若則值為___________6、實數(shù)x，y滿足和則__________7、計算：____________8、計算___________9、設(shè)則值為_________10、已知a是方程一個正根，則代數(shù)式值為___________11、已知且則12、已知實數(shù)x，y滿足，求x+y值.解答展開后配方,得，所以，故。13、若為實數(shù)，且則14、已知實數(shù)x,y滿足15、正方體每一個面上都有一個自然數(shù)，已知相正確兩個面上二數(shù)之和相等，若13,9,3對面數(shù)分別是a,b,c，則。9133913316、已知正數(shù)a,b,c，滿足ab+a+b=bc+b+c=ca+c+a=3，求(a+1)(b+1)(c+1)17、已知18、已知ab+bc+ca=1，將化成最簡形式原式中分母原式19、設(shè)，求值。20、證實：第二講 分式、根式掌握分式加減法技巧，根式變形相關(guān)技巧。分式基本處理策略問題1、已知=，求．或-1．設(shè)==k，則：x=k（y+z）①；y=k（x+z）②；z=k（x+y）③．①+②+③得：x+y+z=2k（x+y+z），∴（x+y+z）（2k-1）=0．當(dāng)x+y+z=0時，==-1，當(dāng)2k-1=0時，k=，即=．【變式】若，求x+y+z值．分析對于連等我們常設(shè)它們比值為k，或用其中一個表示數(shù)字母把其它數(shù)表示出來．設(shè)=k，則：x=k（a-b），y=k（b-c），z=k（c-a）即x=ka-kb，y=kb-kc，z=kc-ka，∴x+y+z=0問題2、已知a+=1，b+=1，求c+值．由題意知a=1-=，∴=．∵=1-b，∴c==-．∴c+=-+=1．【變式】若a、b為正數(shù)，且ab=1，求值．由ab=1得，a=，故原式=+=+=1．問題3、已知，，則（）A.3 B8 C16 D20解：由，知∴ ∴選C。注：由已知結(jié)構(gòu)求值式并合理通分?！咀兪健恳阎?=2，求值．-．由-=2，知y-x=2xy，故原式=-．問題4、若x取整數(shù)，使為整數(shù)x值有（）A. 3個 B. 4個 C. 6個 D. 8個解：，∴ ，，，，即x為4個，選B。注：合理化簡分式。問題5、若，，，求。解： ∴，故原式=。分式應(yīng)用問題問題6、若a+b+c=0，且=0，求值．分析先代入使a+b+c=0成立a、b、c特殊值，如a=b=1，c=-2，可求得所求代數(shù)式值為0，給出求值方向．下面我們來說明所求代數(shù)式值為0．解：由：a+b+c=0，兩邊同乘以abc，得：a2bc+ab2c+abc2=0由=0，兩邊同乘以abc，得：bc（b-c）+ac（c-a）+ab（a-b）=0，即a2（b-c）+b2（c-a）+c2（a-b）=0．②①+②得：a2（bc+b-c）+b2（ac+c-a）+c2（ab+a-b）=0兩邊同除以a2b2c2=0∴原式值為0.問題7、已知三個正數(shù)a、b、c滿足abc=1，求值．分析本題若直接通分，計算較復(fù)雜，考慮到abc=1，可將原式第二個分式分子、分母同乘以a，第三個分式分子、分母同乘以ab，達(dá)成通分目標(biāo)．解：+=+==1．【變式】若a、b、c、d是四個正數(shù)，且abcd=1，求值．利用abcd=1把它們化為同分母：；；∴原式=1．問題8、例5.設(shè)a、b、c都不是零，且a+b+c=0，a、b、c為有理數(shù)，則().A正數(shù) B負(fù)數(shù) C零 D不確定解：a+b+c=0。同理，，，∴原式，選C。問題9、已知xyz=1，x+y+z=2，，求。解：，原式問題10、設(shè)。求解：

∴ 原式。問題11、若，則與A最靠近正整數(shù)是（）A.18 B.20 C.24 D.25解：∴ 選D。二次根式基本策略問題1、若，則_________。解：，知，y=2，∴問題2、設(shè)，a,b為有理數(shù)，求。解：，∴原式【變式】求和解：原式根式應(yīng)用問題3、設(shè)，。求。解：xy=1，x+y=10。 問題4、化簡：結(jié)果為（）

A無理數(shù) B真分?jǐn)?shù) C奇數(shù) D偶數(shù)解：所以選D【變式】已知，求x。解：顯然x>0。分子有理化?！ぁぁぁぁぁあ凇ぁぁぁぁあ佗?② 2∴ ∴問題5、已知。求。解：，，∴?！咀兪健恳阎?。求值。解：∴ ，∴ 問題6、已知是整數(shù)，求滿足條件正整數(shù)a和。解： 或 ∴或198∴ 1002+198=1200。【變式】求比大最小整數(shù)。解：設(shè)，，則，xy=1，。又0<y<1，，即是10582。問題7、設(shè)r≥4，a＝，b＝，c＝，則以下各式一定成立是＿＿。A、a>b>cB、b>c>aC、c>a>bD、c>b>a解法1：用特值法，取r=4，則有a=，b＝，c＝∴c>b>a，選D解法2：a＝，b＝c＝解法3：∵r≥4∴＜1∴c＝∴a<b<c，選D第二講 練習(xí)題1.若a+b+c=0，abc=8，則（）A正數(shù) B負(fù)數(shù) C零 D正數(shù)或負(fù)數(shù)（B）解：2.若值為整數(shù)全體正整數(shù)x和=_____________。22解： ∴ x+1=2，3，4，6，12 ∴x=1，2，3，5，11.3.若a+b+c=0，。那么（）A36 B16 C14 D3（A）解：設(shè)，b+2=n，c+3=p。則m+n+p=6。。原式4.若，且a+b+c=0，則（）A3 B2 C1 D0（A）解：，∵ a+b+c=0，∴ ，，∴ 原式=6－1－1－1=3。5.關(guān)于x方程根個數(shù)為（）A0 B1 C3 D4（B）解：，故，而，則，∴x=36.若，，則（）A2 B C D7.化簡。解：∴原式8.若a，b為有理數(shù)，，則a+b=（）。A2 B4 C6 D8解：右=∴a=3，b=1 ∴a+b=4.9.設(shè)，，則a、b大小關(guān)系（）。Aa>b. Ba=b. Ca<b. D不定.解：設(shè)=m，=n，，同理，b=1，故選B。10.化簡結(jié)果是（）．、；、；、；、．答案：解：，，，所以原式．11.已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5求①a∶b∶c②解：設(shè)a+b=3k,則b+c=4k,c+a=5k,全部相加得2（a+b+c）=12k,即a+b+c=6k,分別減上列各式得a=2k,b=k,c=3k∴①a∶b∶c=2∶1∶3②＝＝12.己知，求證：a2b2c2=1證實：由己知a-b=∴bc=b-c=∴ca=同理ab=∴abbcca＝＝1即a2b2c2=113.化簡解：用帶余除法得，原式＝1＋＋1＋－1－－1－＝＋＝＋＝14.若實數(shù)x、y滿足則x＋y＝＿＿。解法1：假設(shè)x＋y＝a，則y＝a－x解法2：易知化簡得：15.已知：△ABC中，AB＝AC，點P在中位線MN上，BP，CP延長線分別交AC，AB于E，F(xiàn).求證：有定值，分析：本題沒有顯著特殊位置，不過定值通常是用三角形邊長a,b,c來表示,為便于計算引入?yún)?shù)t,用計算法證實.證實：設(shè)MP為t,則NP=a－t.∵M(jìn)N∥BC，∴，.即；∴=∵c是定線段，∴是定值.即有定值.16.求值：解：設(shè)n為正整數(shù)，則令n=1，3，5，7，9，相乘得原式=221。第三講 方程掌握二次方程基礎(chǔ)——判別式，根概念，韋達(dá)定理，求根公式，重點是特定問題研究技巧。問題1、已知關(guān)于x一元二次方程。(1)求證：不論m為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等實數(shù)根；(2)若方程兩根為x1、x2，且滿足，求m值問題2、設(shè)、是兩根，求。解：∵ ，∴ 注：用根定義“降次”?！咀兪健吭O(shè)=（A）A．—1 B．5 C．—1或5 D．2【再變】關(guān)于x方程根有（A）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個問題3、解方程解：方程兩邊同時乘以3，得：設(shè)原方程化為即而沒有實數(shù)解。【變式】假如方程較大根為M，方程較小根為m，求M－m值。解：可分解成可分解成，問題4、已知方程兩根也是方程根，其中均為整數(shù)，則=_____7_____【變式】已知：點在直線上，且，求值。解、【再變】已知且為正整數(shù)，求值。解：設(shè)所以，為方程兩個根.解此方程，得若則是方程兩個根，但其方程無正整數(shù)解，故取不成立。若則是方程兩個根，解此方程得符合條件.所以所以問題5、設(shè)，且，，求。解：（*）∴a、b是兩根?！唷唷嘧ⅲ盒稳纾?）兩個同型式應(yīng)用韋達(dá)定理。【變式】設(shè)，，且。求。解： ∴是兩根?！?，∴問題6、設(shè)m、n是有理數(shù)。有一根是。求m+n。法1：，是兩根?！?m=4，。∴m+n=3.法2：∴ m+n=3.注：法1體會有理方程無理成對出現(xiàn)法2用根概念?！咀兪健縦取什么整數(shù)值時，以下方程有兩個整數(shù)解？①（k2－1）x2－6(3k－1)x+72=0；②kx2+(k2－2)x－(k+2)=0.解：①用因式分解法求得兩個根是：x1=，x2=.由x1是整數(shù)，得k+1=±1,±2,±3,±4,±6,±12.由x2是整數(shù)，得k－1=±1,±2,±3,±6.它們公共解是：得k=0,2,－2,3,－5.②依照韋達(dá)定理∵x1,x2,k都是整數(shù)，∴k=±1，±2.（這只是整數(shù)解必要條件，而不是充分條件，故要進(jìn)行檢驗.）把k=1,－1,2,－2，分別代入原方程檢驗，只有當(dāng)k=2和k=－2時適合.問題7、三邊長a、b、c，滿足，。求周長。解：b、c是（*），則a=6。（*）為∴b=c=4，∴周長=a+b+c=14。注：結(jié)構(gòu)二次方程使用判別式。問題7、關(guān)于x方程，，有且僅有一個公共實根。求m及公共根。解：設(shè)公根。則①—② 若，代入原方程，知：（深入檢驗兩方程有唯一公根）若，代入原方程無實根。注：“公共根”按概念結(jié)構(gòu)方程組。問題8、設(shè)a、b、c滿足（1）求a范圍。（2）對滿足方程組(*)任意a值，都有解：(1)∴∴b、c是∴解之得 (2)令則 ∵∴∴ 【變式】設(shè)a、b為正整數(shù)。，且 （1） （2）有一個公共根，求。解：（1）兩根為，。（2）兩根為，?！?，。若，則，∴或∴=20。若，同理可得=20。問題9、方程解是__________.解:填理由：原方程可化為整理有通分得即(ll-2x)解這個方程，得經(jīng)檢驗是原方程解．【變式】若關(guān)于x方程只有一個解，試求k值與方程解，解:原方程化簡得當(dāng)初，原方程有惟一解當(dāng)初，式故總有兩個不一樣實數(shù)根，按題設(shè)原方程只有一個解，所以必有一個根是原方程增根，從原方程知道增根只可能是0或1．顯然，0不是根，故是方程根，代入得由韋達(dá)定理得原方程根為所以，當(dāng)初，方程解為當(dāng)方程解為問題10、已知是方程一個根，求a值以及方程另外根，解:依題意，有移項兩邊平方，解得經(jīng)檢驗，是方程①根．把代入方程中，得當(dāng)初，兩邊同除以／x一1，得兩邊平方，移項，兩邊再平方，得解得經(jīng)檢驗，是方程③根．故或是方程根．綜上，方程另一根為2．【變式】設(shè)實數(shù)x，y，z滿足則值分別為_____________．解:填9，8,7．理由：將方程移項、配方，得由非負(fù)數(shù)性質(zhì)，知解得問題11、當(dāng)為整數(shù)時，關(guān)于方程是否有有理根？假如有，求出值；假如沒有，請說明理由.解：因為為整數(shù)，幫由而為2倍數(shù)，故必可表示為形式，即為奇數(shù).但奇數(shù)平方應(yīng)為形式?！嗖皇峭耆椒绞?∴原方程無有理根.【變式】設(shè)方程兩個根分別是一個等腰三角形腰長和底邊長，假如符合要求三角形只有一個，求取值范圍。解：設(shè)方程有兩個正根，則解得若，則符合條件三角形只有一個（等邊三角形），則.若此時分兩種情況：（1）這時認(rèn)為底，為腰可作等腰三角形，認(rèn)為底，為腰也可作等腰三角形。即符合條件三角形有兩個，不符合題意，舍去。（2）這時只能認(rèn)為底，為腰等腰三角形，符合題意，所以由算術(shù)平方根性質(zhì)，得又總而言之，取值范圍是問題11、解方程解，兩邊同除以原方程變成：設(shè)方程變?yōu)楫?dāng)初，當(dāng)初，∴原方程根是，【變式】解方程.解，方程兩邊同除以得；則方程變?yōu)?；，?dāng)當(dāng)∴原方程解為強(qiáng)化訓(xùn)練題1．若，是方程兩個不等實數(shù)根，則是()，A正數(shù)零C．負(fù)數(shù)D．小于零數(shù)2．若且有及則值是()．3．若方程兩個根為它也是方程兩個根，則值為__________．4．設(shè)x，y，為實數(shù)，且滿足則值為_______5．已知實數(shù)滿足方程組則.13.由得，把代入，可得.所以，是一元二次方程兩個實數(shù)根，易求得這兩個實數(shù)根分別為3和，所以.6．若關(guān)于x方程全部根都是比1小正實數(shù)，則實數(shù)m取值范圍是____.7．設(shè)m是整數(shù)，且方程兩根都大于而小于則_____________.8．設(shè)等腰三等形一腰與底邊長分別是方程兩根，當(dāng)這么三角形只有一個時，求a取值范圍．9．方程解為___________.10．方程解為______________.11．方程解是_______________．12．解方程13．若關(guān)于方程有解，則實數(shù)m取值范圍是_______________.14．方程全部根和為______________．15．絕對值方程有____個不一樣實數(shù)根．16、已知三個實數(shù)滿足方程組，試求方程根。17、設(shè)，，為互不相等實數(shù)，且滿足關(guān)系式①，②，求取值范圍．解法1：由①－2×②得，所以．當(dāng)初，．又當(dāng)＝時，由①，②得，③，④將④兩邊平方，結(jié)合③得，化簡得，故，解得，或．所以，取值范圍為且，．……………15分解法2：因為，，所以＝＝，所以．又，所以，為一元二次方程⑤兩個不相等實數(shù)根，故，所以．當(dāng)初，．另外，當(dāng)＝時，由⑤式有，即，或，解得，或．所以，取值范圍為且，．18、已知關(guān)于二次方程，（為自然數(shù)，且）當(dāng)初，此方程兩根記作，當(dāng)初，此方程兩根記作，，當(dāng)初，此方程兩根記作，求值19、解方程解：由①得代入方程②得解得解得經(jīng)檢驗，都是原方程根。20、要使方程組有正整數(shù)解，則值為多少？解：由方程得，將其代入方程中，得整理成關(guān)于一元二次方程為實數(shù)，即為正整數(shù)，時，（舍去），這時時，（舍去），這時值為時，方程有正整數(shù)解.第四講函數(shù)掌握二次函數(shù)三種解析式（通常式，頂點式，交互式）圖象及性質(zhì)應(yīng)用。（一）圖象與解析式問題1、做以下函數(shù)圖象。 （2） （3）解：（1），（2）（3）注：含絕對值函數(shù)通?；癁榉侄魏瘮?shù)?！咀兪健慷魏瘮?shù)=（D）A． B．—1 C． D．1【再變】當(dāng)初，函數(shù)最大值減去最小值差是；16（二）二次不等式求解問題2、求以下不等式解（2）注：求根、畫圖時解不等式之關(guān)鍵?！咀兪健恳阎瘮?shù)和為常數(shù)）則不論為何值，這兩個函數(shù)圖像（B）A．只有一個交點B．只有二個交點C．只有三個交點D．只有四個交點問題3、二次函數(shù)交軸于交軸于C點，，（1）求m；（2）在x軸下方是否存在拋物線上點P。使ΔABP面積等于5？若存在，則求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由。解(1)由y=0知∴ ∴ 又x1x1<0∴m>0由AB2=12CO+1 得9m2+16m=24m(2)由S=5知y=—2 ∴∴ 【變式】如圖設(shè)（a<0）圖象經(jīng)點A（0，2），與x軸交于B，C。且BC=5，AB ⊥AC。求二次函數(shù)解析式。解：由，∴，∴B（﹣1，0），C（4，0）。設(shè)，A點代入得，∴

注：將幾何條件合理轉(zhuǎn)化時解題關(guān)鍵。二次函數(shù)三種表示式合理選擇也是一項基本功。問題4、二次函數(shù)圖象頂點坐標(biāo)為，且在x軸上截得弦長為6。（1）求解析式（2）在x軸上方拋物線上是否存在點Q，使△QAB∽△ABC，若存在，求Q點坐標(biāo)；若不存在，說明理由。解：（1）設(shè)二次函數(shù)，由y=0，知，|AB|=6，知。（2）△ACB是等腰三角形，CM=，MB=3，∴，由△ABC∽△AQB而知，。設(shè)Q（x，y），∵B（7，0）∴tan60°又，解得，另外Q關(guān)于x=4對稱點也滿足?！咀兪健恳阎cM，N坐標(biāo)分別為(0，1)，(0，-1)，點P是拋物線上一個動點。(1)判斷以點P為圓心，PM為半徑圓與直線y=-1位置關(guān)系；(2)設(shè)直線PM與拋物線另一個交點為點Q，連接NP，NQ，求證：∠PNM=∠QNM區(qū)間根問題5、設(shè)關(guān)于x方程，兩個不等實根滿足，，求a范圍。解：設(shè)，注：已知二次方程根范圍，通常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象及性質(zhì)求解。問題6、關(guān)于x方程兩根，且，。求m范圍。解：設(shè)，則。【變式】已知A，B坐標(biāo)分別為(1，0)，(2，0)，若二次函數(shù)y=x2+(a-3)x+3圖象與線段AB恰有一個交點，則a取值范圍是 問題7、設(shè)二次函數(shù)圖象與軸交于不一樣兩點（1）證實：（2）若，求p范圍解：(1)由，得∴(2)由 綜合應(yīng)用問題8、設(shè)m、n均為正整數(shù)，且m≠2，二次函數(shù)圖象與x軸兩個交點距離為d，且對一切實數(shù)t，都有，求m，n。解：y=0，∴，由得∴，∴或。例8、已知a<0，，，且。求最小值。解：設(shè)，由a<0，，，。拋物線圖開口向下與x軸交于A（），B（）?！撸环猎O(shè)?！邔ΨQ軸，∴,∴∴，當(dāng)，b=0，c=1成立?！嘧钚≈禐?。法2：設(shè)，則，∴∴，∴。問題9、當(dāng)初，恒有。求m范圍。解：設(shè)，對稱軸，當(dāng)初，，當(dāng)初，，當(dāng)初，，由，綜上m<0。注：求二次函數(shù)區(qū)間最值注意分類討論。問題10、如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，為坐標(biāo)原點，點坐標(biāo)為（1，0），點在軸上且在點右側(cè)，，過點和作軸垂線，分別交二次函數(shù)圖像于點和。直線交于，直線交軸于點，記點橫坐標(biāo)分別為，點縱坐標(biāo)為。（1）請你驗證以下兩個命題成立：①；②數(shù)值相等關(guān)系：；（2）請你研究：假如將上述命題條件“點坐標(biāo)為（1，0）”改為“點坐標(biāo)為（，0）（）”，其它條件不變，結(jié)論①是否成立？（3）假如將上述命題條件“點坐標(biāo)為（1，0）”改為“點坐標(biāo)為（，0）（）”，又將條件“”改為“”，其它條件不變，那么和有怎樣數(shù)值關(guān)系？解：（1）由已知條件可得點坐標(biāo)為（2，0），點坐標(biāo)為（1，1），點坐標(biāo)為(2,4)。由點C坐標(biāo)為(1，1)易得直線OC對應(yīng)函數(shù)解析式為y＝x，所以點M坐標(biāo)為(2，2)．所以，從而證得結(jié)論①成立，對結(jié)論②證實方法有以下兩個：方法一：設(shè)直線CD函數(shù)解析式為y＝kx+b，則∴直線CD對應(yīng)函數(shù)解析式為y＝3x-2；由上述可得，點H坐標(biāo)為(0，-2)，yH＝-2，∵xC·xD＝2，∴xC·xD＝-yH，即結(jié)論②成立；方法二：又依照題意，可證ΔOCH≌ΔMCD，得CH＝CM＝2．所以，YH＝-2，證得②成立．(2)方法同(1)，由已知得B(2t，0)、C()、D(2t，4t2)，直線OC對應(yīng)一次函數(shù)解析式為y＝tx，故M(2t，2t2)．∴。所以，結(jié)論①依然成立．(3)然后可求得直線CD對應(yīng)一次函數(shù)解析式為∵問題11、已知二次函數(shù)，為非負(fù)整數(shù)，它圖象與軸交于A、B，其中點A在點左邊，點B在原點右邊.（1）求這個二次函數(shù)解析式；（2）若一次函數(shù)圖象經(jīng)過點A與這個二次函數(shù)圖象交于點C，且，求一次函數(shù)解析式.解：∵拋物線與x軸有兩個交點，且這兩個交點分別在原點兩邊，∴關(guān)于x方程：有兩個異號實數(shù)根?！鄊=0或m=1把m=0,1分別代入m2+4m-3<0,知m=0符合題意，m=1不符合題意(舍去)?！嗨蠖魏瘮?shù)為（2）令y=0,解設(shè)點C坐標(biāo)為∵拋物線y=-x2+2x+3開口向下，頂點P(1,4)，即拋物線上點縱坐標(biāo)最大為4，∴|y|=5,y=-5,由-5=-x2+2x+3，解得x1=-2,x2=4,∴C(-2,-5)或C(4,-5)，∴所求一次函數(shù)為y=5x+5或y=-x-1【變式】過點A(2,0)、B(0,2)直線與頂點在原點、開口向上拋物線交于P、Q，若ΔOPQ面積為3，求拋物線表示式。解：設(shè)拋物線為直線為y=kx+b，由A(2,0)、B(0,2)在直線上得y=-x+2強(qiáng)化練習(xí)題：A組1、作出函數(shù)圖像.2、方程有且僅有兩個實根，求取值范圍.3、若不等式解為求值.4、已知不等式解為解不等式：5、若對任意實數(shù)有不等式恒成立，求取值范圍.6、不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)取值范圍.7、已知二次函數(shù)y=x2+2x-4，若-2≤x≤3，則y取值范圍是 -5≤y≤118、二次函數(shù)滿足且恒成立.求解析式.9、正方形邊長為一質(zhì)點由點出發(fā)，沿邊到點，若由點到時，走了①求關(guān)于函數(shù)解析式；②求最大值，并指出當(dāng)運動到何處時有最大值.10、已知二次函數(shù)（其中是正整數(shù)）圖像經(jīng)過點且與軸有兩個不一樣交點，則最大值為11、若函數(shù)，則當(dāng)自變量取1,2,3,……，100這100個正整數(shù)時，函數(shù)值和是多少？解：當(dāng)當(dāng)x取1,99,100時，所求和B組1、函數(shù)y=1－圖象是()yy01x2、已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c圖象如圖所表示，記p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，則＿＿。A、p>qB、p＝qC、p<qD、p、q大小關(guān)系不能確定3、設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)，A(0,4),B(—3,0)，平面內(nèi)一直線L，A到L距離為3，B到L距離為2，這么直線L有（D）A．1條 B．2條 C．4條 D．3條4、假如兩點：，那么。已知：，在內(nèi)求一點，使最小，則點坐標(biāo)是；5、設(shè)直線y=kx+k-1和直線y=(k+1)x+k(k是正整數(shù))及x軸圍成三角形面積為Sk，則S1+S2+S3……+值是 6、二次函數(shù),則改變范圍是（A）A．0<S<2 B．0<S<3 C．1<S<2 D．—1<S<17、Rt△ABC三個頂點，，均在拋物線上，而且斜邊AB平行于x軸．若斜邊上高為，則（）（A）（B）（C）（D）8、如圖，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點．（1）求拋物線解析式及其頂點坐標(biāo)；ABCOxy（2）設(shè)直線交軸于點．在線段垂直平分線上是否存在點，使得點到直線距離等于點到原點距離？假如存在，求出點坐標(biāo)；假如不存在，請說明理由；ABCOxy（3）過點作軸垂線，交直線于點，將拋物線沿其對稱軸平移，使拋物線與線段總有公共點．試探究：拋物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個單位長度？ABCOxyDFHPE解：（1）設(shè)拋物線解析式為，把代入得．ABCOxyDFHPE（2）假設(shè)滿足條件點存在，依題意設(shè)，由求得直線解析式為它與軸夾角為，設(shè)中垂線交于，則．則，點到距離為．又．．平方并整理得：．存在滿足條件點，坐標(biāo)為．（3）由上求得．①若拋物線向上平移，可設(shè)解析式為．當(dāng)初，．當(dāng)初，．或．．②若拋物線向下移，可設(shè)解析式為．由，有．，．向上最多可平移72個單位長，向下最多可平移個單位長．9、已知拋物線與x軸交于點A(-3,0)，與y軸交于點E(0,-1).(1)求此二次函數(shù)解析式；(2)若點Q(m,n)在此拋物線上，且，求n取值范圍；(3)設(shè)點B是此拋物線與x軸另一個交點，點P是拋物線上異于點B一個動點，連接BP交y軸于點N(點N在點E上方).若ΔAOE∽BON,求點P坐標(biāo).解：(1)由題意，拋物線經(jīng)過點A(-3,0)和點E(0,-3)，則 則此二次函數(shù)解析式為(2)如圖，-3≤m≤3時,(3)求出點B坐標(biāo)為B(1,0),又E(0,-1),由ΔAOE∽BON,得，則得求出直線BN解析式為，解析式為，因為P為拋物線與直線交點，所以有：解得第五課代數(shù)習(xí)題課目標(biāo)：再次復(fù)習(xí)代數(shù)問題——代數(shù)式，方程，不等式，函數(shù)。代數(shù)式問題1、計算：解：設(shè)則原式==問題2、已知是直角三角形角所正確邊，。求：值。問題3、已知實數(shù)x，y滿足，則x2+3x-3y-值為(D)A．- B． C．-1 D．1【變式】已知，則代數(shù)式值為(C)A． B． C． D．問題4、設(shè)整數(shù)部分為（C）A．180 B．181 C．182 D．183【變式】積值整數(shù)部分是（A）A．1B．2C問題5、令余數(shù)=（A）A．0 B．1 C．2 D．3【變式】一列數(shù)：．其中末位數(shù)字是3有（A）A．502個B．500個C．1004個D．256個方程與不等式問題6、設(shè)a、b、c互不相等，且滿足，求a范圍。問題7、求全部實根。問題8、已知為實數(shù)，且。試求最大值和最小值。解：由因為：為實數(shù)，所以即，故最大值是，最小值是?！咀兪健恳阎獎t值是（）.A.1 B. C. D.解：同理，可得又故選D.問題9、實數(shù)滿足：，則=；函數(shù)問題10、二次函數(shù)滿足，，對恒成立。（1）求。（2）求a、b、c。問題11、（b、c為常數(shù)），該函數(shù)圖象與x軸交于,.（1）證：；（2）若比較與大小。問題12、關(guān)于x方程最少一個根大于2。求a范圍。已知,求最小值解法一：令故此二次函數(shù)圖象是如圖所表示一條開口向下拋物線，且與x軸有兩個不一樣交點A(x1,0)、B(x2,0)因為又對稱軸所以時等號成立.所以最小值是4解法二：由，即ac=b-1所以當(dāng)初等號成立，所以最小值為4.8、已知實數(shù)a,b,c滿足，若二次函數(shù)圖象與x軸交點中有一個定點，那么這個定點人坐標(biāo)是多少？解：與x軸交點縱坐標(biāo)又a+b+c=0,∴x=1是方程根.故過定點(1,0).如右圖，已知C、D是雙曲線在第一象限分支上兩點，直線CD分別交x軸、y軸于A、B兩點，設(shè)C、D坐標(biāo)分別為連接OC、OD.(1)求證：(2)若求直線CD解析式；(3)在(2)條件下，雙曲線上是否存在一點P，使得？若存在，給予證實；若不存在，說明理由.解：(1)過點C作軸于G，則(2)在由勾股定理得：過點D作軸于H，則DH=y2，OH=x2,x2>0,y2>0.在設(shè)過C(1,3)、D(3,1)兩點直線CD解析式是y=kx+b.直線CD解析式y(tǒng)=-x+4.(3)假設(shè)雙曲線上存在一點P，使得,這個點應(yīng)是平分線與雙曲線交點，證實以下：平分線上,強(qiáng)化訓(xùn)練題1、已知：，則值等于（B）A．B．0C．1D．22、設(shè)，，求z最大值。解：x、y為兩根，3、解關(guān)于x方程。解：，原方程化為，∴，x=3.4、設(shè)。求最大值。解：又∴最大為15。已知b、c為整數(shù)，兩根都大于且小于0。求b、c。解：6、一次函數(shù)（為正整數(shù)）圖象與軸、軸交點是A、B，O為原點.設(shè)面積是，則等于多少？解：、為正整數(shù).7、設(shè)滿足：（1）（2）當(dāng)初，恒成立。（3）當(dāng)初，最大值為2。求a、b、c。解：由（1）（3），由（2）∴∴時，達(dá)成最小值?！?∴b=0，a=2。8、設(shè)，方程兩根，且當(dāng)初，證：；設(shè)對稱軸，證：。解：（1）設(shè)，當(dāng)初，又， ，∴，∴。又=∵。為證。，∵為兩根?！唷?，∵，∴。9、已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過兩點P，Q.（1）假如都是整數(shù)，且，求值.（2）設(shè)二次函數(shù)圖象與軸交點為A、B，與軸交點為C.假如關(guān)于方程兩個根都是整數(shù)，求△ABC面積.解：點P、Q在二次函數(shù)圖象上，故，，解得，.（1）由知解得.又為整數(shù)，所以，，.(2)設(shè)是方程兩個整數(shù)根，且.由根與系數(shù)關(guān)系可得，，消去，得，兩邊同時乘以9，得，分解因式，得.所以或或或解得或或或又是整數(shù)，所以后面三組解舍去，故.所以，，，二次函數(shù)解析式為.易求得點A、B坐標(biāo)為（1,0）和（2,0），點C坐標(biāo)為（0,2），所以△ABC面積為.10、函數(shù)自變量取自然數(shù)，且對任意自然數(shù)和都有求值.解：令得由已知取自然數(shù)，令得…將代入得：第六講三角形相同與全等目標(biāo)：處理三角形、四邊形為背景求值、證實問題?；A(chǔ)模型再現(xiàn)------相同圖形不一樣“造型”：一、三角形邊長與角度基本計算問題問題1、如圖，△ABC中，∠ABC=60°，P是△ABC內(nèi)一點，∠APB=∠BPC=∠CPA。PA=8，PC=6.求PB。解：△ABP與△BCP中，∠BAP=60°-∠ABP=∠PBC，又∠APB=∠CPB=120°，∴△ABP∽△BCP，∴，∴ BP=。注：尋相同得線段關(guān)系。問題2、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AC⊥BD于P，且，則。解：由△ADB∽△BAC知，設(shè)AD=3x，則BC=4x，∴AB=，∴ 。問題3、如圖，ABCD是正方形，E、F分別是AB、BC中點，連EC與BD交于G，EC與FD 交于H，求EG:GH:HC。解：過G作GM∥BC交FD于M，△EBG∽△GCD，知∴，∴ ，令GH=2x，HC=3x，則EG=GC=∴EG:GH:HC=5:4:6。注：重復(fù)使用相同尋找線段比。問題4、△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若AC、BC上中線BE，AD垂直交于O，則c用a、b表示為________.解：設(shè)OE=x，則BO=2x，設(shè)OD=y，則AO=2y，則，∴，∴c=2ED=注：中線（重心）及Rt△是本題關(guān)鍵。問題5、DE是△ABC中位線，M是DE中點，CM延長線交AB于N，求。解：過E作ER∥AB交NC于R，則△DNM≌△MER，∴DN=RE=AN，∴，∴，∴，又，∴，∴。注：面積關(guān)系是解題關(guān)鍵。【變式】已知三邊分別為,它們所正確角分別為.若，，則____6______問題6、如圖，△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，AC=BC=AD．求證：BD=CD．證法一：如圖，過C作CE⊥AD于E，過D作DE⊥BC于F．∵∠CAD=30°，∴∠ACE=60°，且CE=AC，∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°， ∴∠FCD=90°―∠ACD=15°，∠ECD=∠ACD―∠ACE=15° ∴△CED≌△CFD，∴CF=CE=AC=BC，∴CF=BF． ∴Rt△CDF≌Rt△BDF， ∴BD=CD．證法二：如圖，作△AEB，使AEBC為正方形，連結(jié)ED． ∵∠BAD=45°―∠CAD=45°―30°=15°， ∴∠EAD=∠EAB+∠BAD=60°，又AD=AC=AE， ∴△ADE是等邊三角形， ∴ED=AD=AC=EB， ∴∠DEB=90°―∠AED=30° ∴△ACD≌△EBD， ∴CD=BD．【變式】如圖所表示，在△ABC中，點D是BC延長線上點，點F是AB延長線上點.平分線交BA延長線于點E，平分線交AC延長線于點G.若CE=BC=BG，求度數(shù).解答設(shè).因為，所以.故.由，得。由，可知又，所以。二、位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系證實問題問題1、設(shè)P是等邊△ABC邊BC上任一點，連AP、AP垂直平分線交AB、AC于M、N。求證：。證：∵M(jìn)N為AP中垂線，∴∠MPN=∠MAN=60°，又∠BMP=120°－∠MPB，∠CPN=120°－∠MPB，∴△MBP∽△PCN，∴，∴。注：尋相同證百分比關(guān)系。問題2、△ABC和均為正三角形，BC與中點均為D，求證：。證：連結(jié)AD，，則AD⊥BC，，又，，∴，∴，∴∴。問題3、△ABC中，AD、CE是高，且交于點F，P、Q分別是BF、AC中點。求證：PQ垂直平分ED。證：Rt△AEC中，Q為中點，∴，同理，，∴EQ=DQ。同理：EP=PD，又PQ=PQ，∴△EPQ≌△DPQ，∴PQ垂直平分ED。注：轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵。問題4、△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E、G分別為AD、AC邊中點，DF⊥BE于F。證：FG=DG。證：∵，，∵△EDB∽△FED。∴，∴又∠AEF=90°+∠EBD∠FDC=90°+∠FDE=90°+∠EBD∴∠AEF=∠FDC ∴△AEF∽△CDF∴∠AFE=∠CFD ∴∠AFC=90°∴FG=，又DG=，∴FG=DG。三、綜合能力提升型問題問題1、如圖，在四邊形中，，求四邊形面積?！咀兪健咳鐖D，平行四邊形ABCD中，E為AD中點，若，則圖中陰影部分面積為(C)A． B． C． D．【再變】平行四邊形ABCD中，M是BC中點，AM=9，BD=12，AD=10，則平行四邊形ABCD面積是 72 。如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=900，BE⊥AD于點E，且四邊形ABCD面積為8，則BE=(C)A．2 B．3 C． D．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，BE=2，DE=8，∠ACE=α，則tanα=（C）A． B．C． D．2問題2、已知菱形邊長為，,為上一動點，在上，滿足條件，判斷形狀，并求面積最小值。解：如圖，作在在分別過點B、E作CD垂線，同理可得又即當(dāng)初，即點E為AD中點時，有最小值，最小值為問題3、如圖，在中，，在延長線上，且，求長及面積。問題4、如圖所表示，在ΔABC中，∠A=900，AD⊥BC于D．∠B平分線分別與AD、AC交于E，F(xiàn)，H為EF中點．(1)求證：AH⊥EF；(2)設(shè)ΔAHF、ΔBDE、ΔBAF周長為cl、c2、c3，試證實：，并指出等號成立時值．解：（1）∠BAC=900，AD⊥BC，∴∠AFB=900-∠ABF，∠AEF=∠BED=900-∠DEB又BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠DBF，∵∠AFB=∠AEF，∴AE=AF，H為EF中點，∴AH⊥EF；（2）設(shè)∵∠AFH=∠BED，∴RtΔAHF∽RtΔBED∽RtΔBAF，∴而FE=BF-2HF=x-2k·AF=x-2k2x=(1-2k2)x，∴∴故當(dāng)問題5、如圖，ABCD是邊長為2正方形，M、N分別在線段AB、CD上（M、N不在線段端點），將梯形BCNM沿直線MN翻折后，B點落在AD邊上E點，設(shè)AE=x。（1）求AM（用x表示）；（2）若四邊形MENB面積為3，求x。解：(1)ME=MB=2—AM 又RtΔAME中，ME2=AM2+AE2∴ ∴ (2)過N作NO⊥AB，顯然ΔMON≌ΔEAAB∴∴由 【變式】如圖，平行四邊形ABCD，點E在AD上，以BE為折痕，將ΔABE翻折，點A恰好落在CD上F點，ΔFDE周長為8，ΔFCB周長為22，則FC長是 7 ?！驹僮儭咳鐖D，將△ABC沿著它中位線DE折疊后，點A落到點A′，若∠C=120，∠A=26,則∠A′DB度數(shù)是A．120B．112C．110D．108提醒：分別延長BD，CE相交，則交點即為點A，由三角形中位線性質(zhì)知DE∥BC，∴∠ADE=∠B=180°－∠C－∠A=180°－120°－26°=34°，又由軸對稱性質(zhì)知∠A′DE=∠ADE=34°，∴∠A′DB=180°－2×34°,∴∠A′DB=180°－2×34°=112°,故選B；強(qiáng)化訓(xùn)練1、已知三角形三個內(nèi)角度數(shù)都是質(zhì)數(shù)，則這三個內(nèi)角中必定有一個內(nèi)角為（A）A．2度B．3度C．5度D．7度2、在中，和是兩條中線，且，那么（D）A．B．C．D．3、如圖，PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC與PB交于點D，且PB=4，PD=3，則AD·DC=（）A6 B7 C12 B：作∠APD平分線交AD于E，則，又△PDE∽△CDB，得。4、如圖，設(shè)P是邊長為1菱形ABCD對角線AC上一動點，M、N分別在AB、BC上，且最小值=（C）A． B． C．1 D．5、如圖所表示，一個大長方形被兩條線段分成四個小長方形，其中長方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ面積分別是8、6、5，那么陰影部分面積是6、若兩點，則。已知：，在內(nèi)求一點，使最小，則點坐標(biāo)是；7、△ABC中，AB=AC，AD是中線，P是AD上一點，過C作CF∥AB。延長BP交AC于E，交CF于F.求證：。提醒：連結(jié)PC，則BP=CP,只需證。8、△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中線，AE⊥BD，交BC于點E。求證：BE=2EC。過C作CF∥AB，交AE延長線于F，△ABD≌△CAF，CF=AD，?！郆E=2EC.9、如圖，平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，DE:CE=2:3，連結(jié)AE、BE、BD，且AE、BD交于點F，則=（）A4:10:25 B4:9:25 C2:3:5 D2:5:25A，。答案:10、正方形中，分別是上點，交于，交于；若平分，；記,,,則有（）.、；、；、；、．解:由角平分線,,即,又角分線與高重合,則為等腰三角形，，作∥，交于，則為中位線，∽，，所以.11、△ABC中，BE、CF分別是AC、AB邊上中線。D是BC邊上一點，過D作DP∥CF交AB于P點，作DQ∥BE交AC于Q，PQ分別交BE、CF于R、S。求證：RS=。設(shè)BE、CF交于G，則FG=，設(shè)DP與BE交于X，由DP∥CF得，，△PDQ中XR∥DQ，PR=，同理，QS=，∴RS=。第七課圓中角目標(biāo)：掌握圓中主要角及應(yīng)用基礎(chǔ)模型再現(xiàn)：圓中常見角及其關(guān)系列舉，看圖說話！知識再現(xiàn)：與圓關(guān)于角問題在同圓或等圓中，同弧或等弧所正確圓心角相等，圓周角相等。在同圓中，位于一弦同側(cè)圓周角相等。弦切角等于它所夾弧所正確圓周角；圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，它外角等于它內(nèi)對角；圓外一點與圓心連線平分由這點引圓兩條切線所夾角；例1、已知A、B、C、D在⊙O上，弧弧，BM⊥AC于M。求證：AM=DC+CM。證：過B作BM'⊥CD于M'，∵弧弧，∴，∴，又BC=BC，，∴∴ MC=CM'，∴CD+CM=DM'，∴AB=BD，，，∴，∴AM=DM'，∴AM=CD+CM。例2、已知四邊形ABCD外接圓⊙O半徑為5，AC、BD交于E，AB，BD=8。求△ABD面積。解：，知△BAE∽△CAB，∴，又，∴，∴A為BD中點，連OA交BD于M，△OMB中，，∴AM=2，∴。如圖，ΔABC外接圓直徑AE與弦BC交于D，且AE:AD=7:5,∠B=300，求tanC值.解：連接BE。已知點I是銳角三角形ABC內(nèi)心，A1、B1、C1分別是點I關(guān)于邊BC、CA、AB對稱點.若點B在ΔA1B1C1外接圓上，則∠A．300 B．450 C．600解：如圖，連接IB，設(shè)IA1與BC交于點D.分別是I關(guān)于BC、AC、AB對稱點,.且I為ΔA1B1C1外心，而點B在ΔA1B1C1外接圓上,∴IB=IA1=2ID.在RtΔBID中,∵同理,如圖，已知圓O兩條半徑OA與OB相互垂直，C為上一點，且AB2+OB2=BC2，求∠OAC度數(shù)；解：如圖，延長BO交圓O于D，連接CD，則∠BCD=900，設(shè)⊙O半徑為R，則，由，而BD=2R作點C關(guān)于BD對稱點如圖，已知⊙O是ΔABC內(nèi)切圓，切點分別為D、E、F.連接DF，作連接PB、PC，求證：證法一：連接OD、OB、OE、FE，則又∴ΔBOE∽ΔEFP，∴OE:PF=BE:PE.同理，可證OE:DP=CE:PE.∴ΔBDP∽ΔCFP，∴∠DPB=∠FPC.證法二：如右圖，分別過B、C作，則BM//EP//CN,∠BMD=∠CND=900∴∠1=∠4,∴ΔMBD∽ΔNCF∴ΔMBP∽ΔNCP∴∠BPD=∠CPF.40、如圖，梯形ABCD，AB//CD，AB＞CD，K、M分別是AD、BC上點。已知∠DAM=∠CBK，求證：∠DMA=∠CKB.證實：連接KM，在KM同側(cè)有∠DAM=∠CBK，∴K、A、B、M四點共圓，∴∠CMK=∠DAB.又∵DC//AB，∴∠CDA+∠DAB=180，∴∠CMK+∠CDA=180°，∴D、K、M、C四點共圓，∴∠KCB=∠MDA.又∠DAM=∠CBK，且在△DAM和△CBK中，∵∠DAM+∠ADM+∠DMA=180°=∠CBK+∠BCK+∠CKB，∴∠DMA=∠CKB.如圖，弦AB被點C、D三等分，E、F是三等分點，EC、FD交于S，連接AS、BS.求證：∠ASB=證實連接AE、AF、OE、OF，連接FE并延長與SA延長線交于K。，∴AC=CD，EF//AB，∴KE=EF.又∵∴為直角三角形，又∵AE=EF，∴OE⊥AF.∴SK//OE.同理，可證SB//OF.又∠EOF與∠ASB方向相同，∴例3、△ABC中，AD為平分線，以C為圓心，CD為半徑半圓交BC延長線于點E，交AD于點F，交AE于點M，且，EF：FD=4：3。（1）求證：AF=DF。（2）求余弦值。（3）假如BD=10，求△ABC面積。（1）證：又EF⊥AD，∴AF=FD。（2）解：過A作AN⊥BE于N，設(shè)EF=4x則FD=3x，DE=5x，，∴，∴，∴cos。（3）解：∵△ACE∽△ABE，∴，∴，∴x=2?！?。例4、已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3圓O，對角線AC為直徑，AC、BD交于P，AB=BD，PC=0.6。求四邊形ABCD周長。解：∵BO⊥AD，CD⊥AD，∴BO∥CD，∴，∴CD=1，∴∴，∴，又∽，知，∴周長。例5、已知P是⊙O直徑AB延長線上一點，直線PCD交⊙O于C、D，弦DF⊥AB于H，CF交AB于點E。證：。若DE⊥CF，=15°，⊙O半徑為2，求CF長。解：（1）∵AB⊥DF，∴又∴∽，∴∴,又,∴（2）∵DE⊥FC，∴△DFE為等腰直角三角形，∴45°，∴45°+15°=60°∴60°△DHO中，HO=1，DH=，∴，△DEC中，，60°，∴，∴。例6、半圓O直徑AB=4，將一個三角形直角頂點固定在圓心O點，當(dāng)△旋轉(zhuǎn)時，三角形兩條直角邊與半圓分別交于C、D，連結(jié)AD、BC交于點E。(1)求證：△ACE∽△BDE；(2)求證：BD=DE；(3)設(shè)BD=x，求△AEC面積y與x關(guān)系，并寫出自變量x取值范圍。解：（1），，∴△ACE∽△BDE。（2）°，90°，∴BD=DE。（3），DE=BD=x，，例7、直徑為13⊙O＇經(jīng)過原點O，并與x軸，y軸交于A、B兩點，線段OA、OB（OA>OB）長分別是兩根。

(1)求OA，OB長。(2)已知點C在劣弧上，連結(jié)BC交OA于D，當(dāng)，求C點坐標(biāo)。(3)在⊙O＇上是否存在P點，使△POD與△ABD面積相等。若有，求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由。解：（1），又，∴，∴OA=12，OB=5。（2）、連結(jié)O＇C交AO與E，可證：△OCB∽△DCO，，，OE=AE=6，CE=4，∴C（6，-4）.（3）、假設(shè)在⊙O’上存在P，使S△POD=S△ABD，∵OB∥EC，∴△OBD∽△ECD，∴，∴，∴，，∴，△POD中OD邊長變?yōu)?3，故P不存在。強(qiáng)化訓(xùn)練圓內(nèi)接四條邊長順次為5、10、11、14；則這個四邊形面積為＿＿。A、78.5B、97.5C、90D、102解：由題意得：52＋142－2×5×14×cosα＝102＋112－2×10×11×cos(180°－α)∴221－140cosα＝221＋220cosα∴cosα＝0∴α＝90°∴四邊形面積為：5×7＋5×11＝90∴選C1、已知ABCD是⊙O內(nèi)接四邊形，E是BD上一點，且有∠BAE=∠DAC，求證：（1）△ABE∽△ACD；（2）AB·DC+AD·BC=AC·BD。（1）略。（2）△ABE∽△ACD，△ADE∽△ACB，得AB·DC=AC·BE，AD·BC=AC·DE，兩式相加得AB·DC+AD·BC=AC·BD。2、四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC為⊙O直徑，E為DC邊上一點，若AE∥BC，AE=EC=7，AB=6.（1）求AD長；（2）求BE長。（1）延長BA、CD交于P，則△PAD∽△PCB，，∵AE∥BC，∴∠1=∠3。又AE=EC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵BC為直徑，∴AC⊥AB，∴PC=BC，AB=AP=6.∵AE∥BC，∴PE=CE=7，∴PC=BC=14，∵，∴AD=6.（2）∵CA、BE是△PCB中點，設(shè)CA、BE交點為G，則G為重心，∴，，而，∴，∴，∴。3、已知弦CD垂直于⊙O直徑AB，L為垂足，弦AE平分半徑OC于H。求證：DE平分弦BC于M。連BD。由，知∠BAE=∠BDE，由直徑AB⊥CD，知BC=BD，∠DBC=2∠CBA，又∠AOC=2∠ABC，∴∠AOH=∠DBM，∴△AOH∽△DBM。，而，∴，即DE平分BC。4、在△ABC中，D為AC邊上一點，且AD=DC+CB，過D作AC垂線交△ABC外接圓于M，過M作AB垂線MN，交圓于N。求證：MN為△ABC外接圓直徑。提醒：延長AC至E，使CE=BC，連結(jié)MA、MB、ME、BE，證實∠MEB=∠MBE，MA=ME=MB，M為優(yōu)弧中點。圖中三塊陰影部分由兩個半徑為1圓及其外公切線分割而成，假如中間一塊陰影面積等于上下兩塊面積之和，則這兩圓公共弦長是＿＿。A、B、C、D、解：由圖形割補(bǔ)知圓面積等于矩形ABCD面積∴由垂徑定理得公共弦為∴選DBBAOEDC如圖，AB是⊙o直徑，AB=d，過A作⊙o切線并在其上取一點C，使AC=AB，連結(jié)OC叫⊙o于點D，BD延長線交AC于E，求AE長。解：如圖連結(jié)AD，則∠1=∠2=∠3=∠4∴ΔCDE∽ΔCAD∴①………………5分BAOEDCBAOEDC4321∴②………………10分由①、②及AB=AC，可得AE=CD…………15分又由ΔCDE∽ΔCAD可得，即AE2=CD2=CE·CA設(shè)AE=x，則CE=d－x，于是x2=d(d－x)即有AE=x=（負(fù)值已舍去）……25分如圖，正方形內(nèi)接于⊙，點在劣弧上，連結(jié)，交于點．若，則值為（）A、B、C、D、解：如圖，設(shè)⊙半徑為，，則，，．在⊙中，依攝影交弦定理，得．即，所以．連結(jié)DO，由勾股定理，得，即，解得．所以，．故選D．6、在中，分別是邊上高，，求第八課直線與圓目標(biāo)：綜合使用直線與圓位置中角、線段及關(guān)系證實基礎(chǔ)模型再現(xiàn)-----直線與圓各種常見交切模型、△ABC內(nèi)接于⊙O，AD、BD為圓O切線，做DE∥BC交AC于E，連結(jié)EO并延長交BC于F.求證：BF=FC.證：∵∠C=∠AOD,∠C=∠AED；∴∠AOD=∠AED，∴A、D、O、E四點共圓?！唷螪EO=∠DAO=，又DE∥BC,∴EO⊥BC.∴F為BC中點。如圖，從圓心O向圓外一直線MN引垂線OA，A為垂足；作割線ABC交圓于B、C，過B、C作⊙O切線，交MN分別于D、E.求證：AD=AE.證法一：連接OB、OC、OD、OE.∵BD、CE與⊙O分別切于點B、C，∴∠OBD=∠OCE=90°.又OA⊥MN于A，∴∠OAE=90°，∴A、B、O、D四點共圓，A、O、C、E四點也共圓。又又OA⊥MN，∴AD=AE.證法二：連接OB、OC、OD、OE.在△OBD、△OCE中，OB=OC，BD、CE切⊙O于B、C，故∠OBD=∠OCE=90°又OA⊥DE，故∠OAD=∠OBD=90°，所以A、B、O、D四點共圓.又∠OEC=∠OAB.所以∠ODB=∠DEC，、如圖，PC切⊙O于點C,過圓心割線PAB交⊙O于A、B。BE⊥PE于E,BE交⊙O于點D，F(xiàn)是PC上一點，且PF=AF。FA延長線交⊙O于點G。（1）證實：∠FGD=2∠PBC（2）證實：證：連結(jié)OC，則OC∥EB?！?∠PBC=∠AOC=∠ABD=∠AGD證：連結(jié)BG，∵FP=FA,∴∠P=∠PAF=∠GAB,又∠AGB=∠PCO.∴△PCO∽△AGB,∴。、如圖，兩個不相交圓中心和,它們外公切線切兩圓于、兩點，線段交兩圓于、。直線和相交于C，過C且與垂直直線交于D。求證：D是中點。證：∵∠B1A1D=∠A1OB過O1作于M，則∠B1CD=－∠CB1B2=－（－∠A1O1B1）=∠A1OB1∴∠DA1C=∠A1CD∴CD=A1D,同理，CD=DA2,故A1D=DA2.、如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點，延長BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，BE交⊙O于Ｆ，AF交CE于P。求證：PE=PC 證：鏈接CO,CA∵AC⊥BD,且C為BD中點∴∠D=∠ABC.又∠ABC=∠BCO，∴CO∥AD∵CE⊥AD,∴CE⊥OC，∴EC為⊙O切線∴PC2=PF×PARt△PEA中，EF⊥AP，∴PE2=PF×PA，∴PE=PC、△ABC是Rt△。點D在斜邊BC上，BD=4DC,已知圓過點C且與AC交于點F，與AB相切于AB中點G。求證：AD⊥BF如圖，點P為⊙O外一點，過點P作⊙O兩條切線，切點分別為A，B．過點A作PB平行線，交⊙O于點C．連結(jié)PC，交⊙O于點E；連結(jié)AE，并延長AE交PB于點K．求證：．證實：因為AC∥PB，所以．又PA是⊙O切線，所以．故，于是△KPE∽△KAP，所以，即．由切割線定理，所以，KP＝KB．因為AC∥PB，所以，△KPE∽△ACE，于是，故，即．△ABC是Rt△。點D在斜邊BC上，BD=4DC,已知圓過點C且與AC交于點F，與AB相切于AB中點G。求證：AD⊥BF證實：過D作DE⊥AC于E，∵且AG=AB,AC=AE，∴又ED=AB∴∴，又∠BAF=∠AED=90°，∴，∴∠EAD=∠ABF，∴∠EAD+∠AFB=90°，∴AD⊥BF 例7、半徑不等兩圓相交于A、B。線段CD經(jīng)過點A，且分別交兩圓于C、D點；連接BC,BD,設(shè)P、Q、K分別是BC、BD、CD中點，M、N分別是、中點，求證：（1）,(2)證實：（1）∵M(jìn)是中點，P是BC中點∴PM⊥ＰB,∠KPC=90°，同理，∠NQB=90°連接AB，則有∠PBM=∠CAB=(180°-∠DAB)=90°-∠DAB=90°-∠NBD=∠QNB∴，∴(2)∵KP//BD,且KP=BD=BQ，∴PBQK為，∴ BP=KQ,BQ=KP，∴由（1）得又∠KPM=90°+∠KPB=∠KQB+90°=∠NQK，∴例8、如圖，P是⊙O外一點。PA和PB為⊙O兩切線。A、B為切點，PO與AB交于M，過M作⊙O弦CD，求證：∠CPO=∠DPO證實：連接OA,則OA⊥PA,AM=MB，AB⊥OP,∴，又∴，∴O、D、P、C四點共圓，OC=OD，∴∠CPO=∠DPO注：利用四點共圓解題例9、已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C平分線與AB邊交于點P，M為△ABC內(nèi)切圓⊙I與BC邊切點，作MD//AC，交⊙I于點D.證實：PD是⊙I切線.證實過點P作⊙I切線PQ（切點為Q）并延長，交BC于點N.因為CP為∠ACB平分線，所以∠ACP＝∠BCP.又因為PA、PQ均為⊙I切線，所以∠APC＝∠NPC.又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.又因為MD//AC，所以MD和MQ為同一條直線.又點Q、D均在⊙I上，所以點Q和點D重合，故PD是⊙I切線.強(qiáng)化訓(xùn)練圓內(nèi)接四邊形四條邊長順次為：，則四邊形面積為.答案：.解：因為，即，所以與都是直角三角形，所以，四邊形面積.Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB上，DE⊥EB求證：AC是△BDE外接圓切線若AD=6,AE=,求BC長。（1）略（2）由(1)得, ∵EO//BC∴,即∴BC=4正方形ABCD邊長為4，以AB為直徑向形內(nèi)作半圓，CM、DN是半圓切線，M、N為切點，若CM、DN交于正方形內(nèi)一點P，則△PMN面積=______________，設(shè)CM交AD于點E，DN交BC于點F，則EFCD為矩形，CM=CB=4,設(shè)EA=EM=X,則DE=4-X,CE=4+X,Rt△CDE中，由，得x=1。故DE=3,CE=5,S矩形EFCD=12，S△PEF==3,油MN//EF,∴PM=PE-X=-1=.而∴S△PEF=如圖，PA、PB與⊙O切與A、B兩點，PC是任意一條割線，且交⊙O于點E、C，交AB于D，求證：連接AE、BE。由得,同理.∵PA=PB,∴,即.在⊙O中，由可得,從而AB是⊙O直徑，C是⊙O上一點，過點C切線與AB延長線相交于點E，AD⊥EC，AD與⊙O相交于F，CG⊥AB，垂足為G，求證：連接BC,AC，側(cè)∠ABC=∠ACD，∠ABC=90°，∵CG⊥AB，∴∠ACG=∠ABC=∠ACD,又AC=AG,∠ADC=90°,∴Rt△ACGRt△ACD，∴CD=CG,又CD是⊙O切線，∴.∴,∴直線AB與⊙O相交于E、F，EF為⊙O直徑，且AE=EF=FB.直線AP與⊙O半徑OD垂直于D，求證：∠ADE=∠PDB延長DO交⊙O于M，延長DE交AM于N，∵AE=EF=FB，O為EF中點，∴AO=0B,又OD=OM，∴∠AOM=∠BOD，∴△AOM△OBD.∴∠OAM=∠OBD,∴AM//BD，∴∠PDB=∠DAN,過A作AH//DM交DE延長線于H，∴,∵DM=2DO,∴，∴.∴N為AM中點,又AP切⊙O于D，∴∠MDA=90°，∴DN是Rt△ADM斜邊AM中線，∴∠ADE=∠NAD,∴∠ADE=∠PDB.6.如圖，已知：五圓⊙1、⊙2、⊙3、⊙4、⊙5順次排列且相互外切，又均與兩直線公切，最小圓⊙1半徑為8，最大圓⊙5半徑為18.求：⊙2、⊙3、⊙4半徑R2，R3、R4.解：連結(jié)O1、O2、O3、O4、O5，由已知可知O1、O2、O3、O4、O5共線，設(shè)⊙1、⊙2、⊙3、⊙4、⊙5與公切線切點順次為E、F、P、Q、M，連結(jié)O1E、O2F、O3P、O4Q、O5作O1A⊥O2F、O2B⊥O3P，O3C⊥O4Q，O4D⊥則△O1AO2∽△O2BO3∽△O3CO4∽△O4DO5（3設(shè)⊙2、⊙3、⊙4半徑為x、y、z，則O1O2=x+8，O2A=x-8，O2O3=x+y，O2B=y-xO3O4=y+z，O4C=z-y，O4O5=z+18，O5∴（6分）用合比定理得：（8分）∴又∴=144，即y=12，x=，z=∴⊙2半徑為，⊙3半徑為12、⊙4半徑為。（12分）如圖：已知P為⊙O直徑AB上任意一點，弦CD過P且與AB交成45°角.（1）求證：PC2+PD2為定值.（2）證實：當(dāng)點p與O點重合時，PC2+PD2=2⊙O半徑平方當(dāng)點P為通常情況時，作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，連結(jié)OC和OD，可知∠NDP=∠MCP=45°又OC=OD，則∠ODP=∠OCP∴∠NDO=∠COM∴Rt△ODN≌Rt△COM∴ON=CM=PM，OM=ND=PN又∵OC2=CM2+OM2，OD2=DN2+ON2∴OC2=CM2+PN2，OD2=DN2+PM2∴OC2+OD2=CM2+PN2+DN2+PM2=PC2+PD2，所以PC2+PD2=2⊙O半徑平方（為定值）。 第九課幾何問題選講 目標(biāo)：重心、垂心、內(nèi)心、外心幾何定值與幾何最值例1從圓外一點P作⊙O兩切線PA、PB，連AB、PO。設(shè)PO交⊙O于點C，則點C是△ABP心。解：∠PAC=∠AOC=∠CAB，又∠APO=∠OPB，∴C為△ABP垂心。例2△ABC中，G為重心，I為內(nèi)心，若IG∥BC,BC=5,則AB+AC=解：,∵I為內(nèi)心,∴；同理,∴AC+AB=2(BE+EC)=10。如圖，在△ABC中，∠CAB=60°，O是外心，H是垂心，求證：AO=AH.證法一如圖①，連接CO并延長交⊙O于D.連AH并延長交BC于E點，連接AD、DB、BH，則有AE⊥BC，DB⊥BC.∴AE//BD.同理，可證AD//BH.∴四邊形ADBH為平行四邊形，∴AH=DB.又∵∠BDC=∠CAB=60°，∴∠DCB=30°∴DB=證法二如圖②，連接AO，延長AH、CH交⊙O于M、交AB于D，連接CM，過O作ON⊥AC于N，則,∴ΔANO≌ΔADH,∴AO=AH.例3∠ACE=∠CDE=,B在CE上，CA=CB=CD,過A、C、D三點圓交AB于F,證F為△CDE內(nèi)心。∴F為內(nèi)心。例4、如圖,ΔABC三邊滿足關(guān)系O、I分別為ΔABC外心與內(nèi)心,∠BAC外角平分線交⊙O于E，AI延長線交⊙O于D，DE交于BC于H。求證：(1)AI=BD；(2)證實：(1)作IG⊥AB于G，連接BI.I是ΔABC內(nèi)心，IG⊥AB，則(三角形內(nèi)心性質(zhì))I是ΔABC內(nèi)心，,DE又是ΔABC外接圓直徑,∴RtΔAGI≌ΔRtBHD,∴AI=BD.(2)設(shè)CD是直角三角形ABC斜邊AD上高，分別是△ADC、△BDC內(nèi)心，AC＝3，BC＝4，求.解作E⊥AB于E，F(xiàn)⊥AB于F.在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，.又CD⊥AB，由射影定理可得，故，.因為E為直角三角形ACD內(nèi)切圓半徑，所以＝.連接D、D，則D、D分別是∠ADC和∠BDC平分線，所以∠DC＝∠DA＝∠DC＝∠DB＝45°，故∠D＝90°，所以D⊥D，.同理，可求得，.所以＝.例5平行四邊形ABCD,AB=a，BC=b(a＞b),P是AB邊上一動點，直線DP交CB延長線于Q,求AP+BQ最小值。解：，∴AP+BQ=，∴最小值為。如圖，已知ΔABC高AD、BE交于H，ΔABC、ΔABH外接圓分別為⊙O和⊙O1.求證：⊙O與⊙O1半徑相等.證實：由A作⊙O和⊙O1直徑AP、AQ，連接BP、BQ.例6已知邊長為4正方形鋼板，有一個角銹蝕，其中AF=2，BF=1,為了合理利用這塊鋼板，將在五邊形EABCD內(nèi)截取一個矩形塊MDNP，使點P在AB上，且要求面積最大，求此最大面積。解：DN=x,PN=y,則S=xy,△APQ∽△ABF。，∴x=10-2y,∴,∵,∴當(dāng)y=3時，。例7矩形ABCD邊長AB=2,BC=3，點P是AD邊上一動點，（P異于A、D）,Q是BC上任意一點，連接AQ、DQ，過P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.求證：△APE∽△ADQ設(shè)AP長為x，求△PEF面積S關(guān)于x函數(shù)，并求當(dāng)P在何處時，S最大？當(dāng)Q在何處時，△ADQ周長最??？解：（1）∠APE=∠ADQ,∠AEP=∠AQD,∴△APE∽△ADQ。由△APE∽△ADQ，△PDF∽△ADQ，,得，當(dāng)x=時，S最大。作A關(guān)于直線BC對稱點，連D交BC于Q，這個Q點就是使△ADQ周長最小點，此時,Q是BC中點。例8如圖，⊙經(jīng)過原點，分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于A、B.若點O到直線AB距離為，過A切線于y軸交于C點，過點O切線交AC于D，過點B切線交OD于點E，求值?！呀?jīng)過點M（2，2），設(shè)△BOA內(nèi)切圓直徑為d，判斷d+AB是否改變，若不變，求其值；若改變，求其改變范圍。解：（1）延長BE交x于點F，過O作OG⊥AB于G，DO=DA=DC,EB=EO=EF,∵AC∥OG∥BF,∴,，∴,即。（2）d+AB為定值?！鰽OB內(nèi)切圓切OA,OB,AB于P、Q、T，d+AB=OQ+OP+QB+PA=OA+OB,在x軸上取一點N，使AN=OB,連結(jié)OM，BM，AM，MN,則∠BOM=∠MON=,AM=BM,又∵∠MAN=∠OBM,OB=AN,∴;∴∠BOM=∠N=,∠OMN=,∴OA+OB=ON=,∴d+AB=4。第九課作業(yè)1、⊙O是△ABC外接圓，且∠BAO=，則∠C=解：2、銳角△ABC定點A到垂心H距離等于它外接圓半徑，求∠A。。設(shè)外心O，D為BC中點，BO延長交⊙O于E，連CE，AE，則CE∥HA，AE∥CH,則OB=AH=CE=2OD,∴∠OBD=,∠BOD=,∴∠A=∠BOD=。3、如圖，已知點P在半徑為6，圓心角為扇形OAB（不含端點）上運動，PH⊥OA，垂足為H，△OPH重心為G。（1）當(dāng)點P在上運動時，線段GO，GP，GH中有沒有長度不變線段？若有，指出其長度。（2）設(shè)PH=x,GP=y,求y關(guān)于x解析式，并寫出x范圍。（3）假如△PGH是等腰三角形，試求PH長。(1)GH不變，GH=(2)y=GP=,0＜x＜6(3)△PGH是等腰三角形時，有三種情況：當(dāng)GP=PH時，x=；當(dāng)GP=GH時，不合題意；當(dāng)PH=GH時，x=2.4、銳角△ABC中，高AD=BC，H為△ABC垂心，M是BC中點，求證：MH+HD=BC.證：△BAD∽△HCD，知AD·HD=BD·CD，而AD=BC，∴BC·HD=BD·CD，從而2MC·HD=,,得證。5、正方形ABCD邊長為1，點M、N分別在BC、CD上，使△CMN周長為2（1）求∠MAN大?。?）求△MAN面積最大值。（1）延長CB至L,使BL=DN，則Rt△ABL≌Rt△A