圓形分布資料的統(tǒng)計(jì)分布

1、第十二章圓形分布資料的統(tǒng)計(jì)分析 上海第二醫(yī)科大學(xué)生物統(tǒng)計(jì)教研室第一節(jié) 角度資料概論 圓形分布(circular distribution)統(tǒng)計(jì)方法用于處理角度資料 。醫(yī)學(xué)中有些觀察數(shù)據(jù)常用角度表示,例如心向量圖的方位角,腦血流圖的上升角,主峰角等；與環(huán)境衛(wèi)生有關(guān)的風(fēng)向也常用羅盤的方向角度來表示。有些數(shù)據(jù)以一年中的月,日或一晝夜中的時(shí),分來表示,前者如正常人血壓值在一年中各月份的變動; 某病的發(fā)病率在一年中是否有好發(fā)時(shí)間,后者如嬰兒的出生時(shí)刻,心臟病人的發(fā)病時(shí)刻, 在一天中的任何時(shí)刻均有可能,可以研究是否有集中于某一時(shí)刻的傾向,這一類時(shí)間性的資料可化成角度資料來處理。 圓形分布中的角度,指的都是

2、圓心角, 其特點(diǎn)是周而復(fù)始,沒有真正的零點(diǎn),也沒有大小之分。習(xí)慣上把正北方向定為0,一晝夜中的正午夜(0點(diǎn)0分)也定為0,一年中的1月1日午夜也定為0,但這完全是人為規(guī)定的。 圓形分布中最常見的是Von Mises分布, 這是一個(gè)單峰圓形分布,相當(dāng)于線性資料的正態(tài)分布,本章所討論是的都是這類分布。當(dāng)角度資料在圓上的分布有集中于一個(gè)方向的趨勢, 所求得的平均角(mean angle)經(jīng)檢驗(yàn)不是均勻分布, 且為一個(gè)集中方向時(shí)就稱之為單峰圓形分布。反之,當(dāng)角度資料在圓上的分布均勻(uniform circular distribution),無明顯的集中趨勢,就認(rèn)為平均角不存在。 第二節(jié) 角的均數(shù)及

3、其假設(shè)檢驗(yàn) 二角離差S和集中趨勢r 樣本統(tǒng)計(jì)量r在圓形分布中是描述離散程度的一種統(tǒng)計(jì)指標(biāo),它與的標(biāo)準(zhǔn)差s的關(guān)系如下: s=(180/) 度 當(dāng)一組數(shù)據(jù)中所有i都等于同一數(shù)值時(shí),則這組數(shù)據(jù)無變異, s =0,而r=1, 當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的i均勻地分布在圓周上,則r=0,而s則因平均角不存在而無法計(jì)算,但當(dāng)r趨向于0時(shí),s趨向于無窮大。r值的范圍在01之間, s值的范圍在0無窮大之間,s可稱為圓標(biāo)準(zhǔn)差 rln2三平均角的假設(shè)檢驗(yàn) 1. 所有i都均勻分布在圓周的一個(gè)總體,其集中趨勢量度值=0,但在此總體中隨機(jī)抽一個(gè)樣本,所得的估計(jì)值r不一定為0,因此, 當(dāng)同一個(gè)樣本資料算得平均角與r后,此是否意義(即是

4、否來自=0的總體)必須進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn),稱為均勻性檢驗(yàn)(test of uniformity)。此時(shí)，H0:=0,即為均勻分布,不存在平均角；H1:0,即不是均勻分布,存在平均角。 2. 均勻性檢驗(yàn)方法很簡單,根據(jù)樣本大小n和算得的r或rc查附表十五,如r(或rc)大于或等于表中界值,則P,即在相應(yīng)的水準(zhǔn)上拒絕H0,表示存在集中趨勢,平均角有意義。如r小于表中界值,則P,即在水準(zhǔn)上不拒絕H0,認(rèn)為是均勻分布, 不存在集中趨勢,故均勻角無意義。檢驗(yàn)表12.2二十名婦女的分娩時(shí)間所得的均勻角有無意義? 解:H0:=0 H1:0 該例中已求得r=0.71645,n=20,查附表十五,n=20時(shí),r0.0

5、5=0.3846,r0.01= 0.4718，r0.001=0.5687,現(xiàn)rr0.001故P0.001,即在=0.001水準(zhǔn)上拒絕H0,認(rèn)為存在集中趨勢,此平均角有意義。第四節(jié) 兩個(gè)或多個(gè)樣本平均角的比較 兩個(gè)或多個(gè)樣本的平均角各自經(jīng)均勻性檢驗(yàn),如果都拒絕 H0, 則可用 Watson-William檢驗(yàn),判斷它們是否來自總體平均角都為的總體,即比較平均角之間是否有顯著差別。 二兩樣本平均角比較的U2檢驗(yàn) 用U2檢驗(yàn)法對均勻性及合并r大小等無特殊要求, 故不必作平均角的均勻性檢驗(yàn)及求合并r值。 患A病的6個(gè)病人,晚上入睡時(shí)間分別為20:30,21:00,21:15,21:20,21:45,2

6、2:00;患B病的7個(gè)病人,入睡時(shí)間分別為21:30,21:45,22:05,22:15,22:20,22:45,22:50,問兩種病病人入睡時(shí)間的遲早有無差別?（1）將兩樣本中的時(shí)間化為角度,再按角度大小從上向下排列,但仍分兩組, 各自編序號i與j,排列結(jié)果見表12.8第2,4列。 （2）兩組分別計(jì)算i/n1及j/n2,見表12.8第3,6列,A,B兩組各有12個(gè)可標(biāo)i或j的格子,而A組有6格填了i,有6個(gè)空格,B組有7格填了j,有5個(gè)空格,有空格的各行,也要計(jì)算i/n1,和j/n2,其i,j的決定方法為: i或j等于1以前各空格其值為0,例如表中第6列14行,j/n2的計(jì)算方法為0/7即等

7、于0。 如i或j等于C之后有空格,這些空格在計(jì)算i/n1或j/n2時(shí),i或j的值以C代之,如表中i=4與i=5之間有一空格行,它的i/n1為4/6=0.6667。 在i等于6后的各空格,其i/n1,為6/6=1,B組j/n2的空格處, 其j/n2計(jì)算方法同上。 （3）計(jì)算各行的d值,置于第7列,d2置第8列,并得d=4.8811,d2=2.5302。 （4）用(12.18)式計(jì)算U2值 U2=(n1n2)2d2-(d)2/n/n2 本例得U2=672.5302-(4.8811)2/13/132=0.1733 查附表十八,U20.05(6,7)=0.1941，U20.05，不拒絕H0,認(rèn)為兩組分

8、布的差別無統(tǒng)計(jì)意義。 三多個(gè)樣本平均角的比較 仍用Watson-William法,計(jì)算過程與兩樣本時(shí)相仿,但須求F值。設(shè)有 K個(gè)樣本,以ni,ri,Ri分別表示第i個(gè)樣本的有關(guān)統(tǒng)計(jì)量。 H0:1=2=k H1:i不全相等。kiikiiRNkRRkNKF11)(1/( )(df1=k-1，df2=N-k，本法也要求各平均角必須經(jīng)均勻性檢驗(yàn)認(rèn)為有意義才能進(jìn)行比較,并且合并的r須大于0.45，效果才較滿意。 第五節(jié) 圓-圓相關(guān) 當(dāng)觀察到n對角度數(shù)據(jù)(i,i)時(shí),可以研究與之間的相關(guān)性,稱為圓- 圓相關(guān)(Angular-Angular Correlation)。其計(jì)算方法與圓形統(tǒng)計(jì)量是否均勻分布有關(guān)。

9、當(dāng)與都呈均勻分布時(shí), 可用H檢驗(yàn)法,如與中至少有一個(gè)為非均勻分布時(shí),就只能計(jì)算秩相關(guān)。 二圓-圓秩相關(guān) 當(dāng)n對圓形分布資料中的和中的一個(gè)或二個(gè)不是均勻分布時(shí),H檢驗(yàn)不適用,此時(shí),須用秩相關(guān),有關(guān)公式有: E=360/n (12.30) =jE (12.31) =kE (12.32) 其中j,k分別為i和i的秩次 r2=-ln(1- )/(n-1) (12.33)P1 （1）先對i依次編秩,起點(diǎn)可任擇,現(xiàn)取61.5為起點(diǎn),按61.5360(0)61.4順序排列,分別給以秩k為1,2,3,4,5,6,記于表12.12第3列。 （2）同樣對i依次編秩,選37.0為起點(diǎn),按37.0360(0)36.9

10、順序排列,分別給以秩j為1,2,3,4,5,6,記于表12.12第5列。 （3）由(12.30)得 E=360/n=60 （4）由(12.31)，(12.32)算得i,i,將其列于表12.12第6,7列。 如:j=1時(shí)，i=60；K=3時(shí)，i=180等。 （5）求各對數(shù)據(jù)之差,記為i,各對數(shù)據(jù)之和,記為i,置于表12.12第8,9列。 （6）求sini,cosi,sini,cosi,并求和,得 sini=1.7321 cosi=2.0000 sini=1.7321 cosi=2.0000 （7）由(12.21)，(12.22)式,得 =2.0000/6=0.33333 =1.7321/6=0.28868 第六節(jié) 圓-線相關(guān) 當(dāng)觀測到的成對數(shù)據(jù)中,一個(gè)是圓形分布,另一個(gè)是線性量時(shí), 也可研究兩者間的相關(guān)性,稱為圓-線相關(guān)(angular-linear co