2-資產(chǎn)定價-B-S期權定價公式的擴展

第七章布萊克-舒爾斯期權定價公式的擴展

主要內(nèi)容布萊克-舒爾斯期權定價模型的缺陷交易本錢波動率微笑和波動率期限結構隨機波動率不確定的參數(shù)跳躍擴散過程B-S模型的缺陷

交易本錢的假設波動率為常數(shù)的假設不確定的參數(shù)資產(chǎn)價格的連續(xù)變動交易本錢的影響規(guī)模效應和交易本錢差異化。即使是同一個投資者，在調整過程中，持有同一個合約的多頭頭寸和空頭頭寸，價值也不同。H-W-W交易本錢模型根本假設：投資者投資于歐式期權的組合而不僅僅是單個期權；整個投資組合的調整存在交易本錢；投資者的組合調整策略事先確定；股票價格的隨機過程以離散的形式給出；保值組合的預期收益率等于無風險銀行存款利率H-W-W模型推導構造無風險組合之后,整個組合價值的變化相應減少：要求交易本錢項,關鍵要獲得n值，顯然：〔7-1〕H-W-W模型推導〔續(xù)〕由Ito引理：根據(jù)無風險假設，有:將公式7-1、7-2代入7-3，得H-W-W模型：〔7-3〕〔7-2〕〔7-4〕

對H-W-W方程的理解項在實際中具有深刻的金融含義的存在使得H-W-W方程大局部時候是一個非線性方程期權多頭和空頭價值的不一致性對于單個期權多頭，H-W-W方程實際上是一個以為波動率的BS公式交易本錢的其他模型期權組合中的值不是同一個符號的情形交易本錢不是前述的簡單結構，而是資產(chǎn)價格和調整數(shù)量的函數(shù)的情況W-W模型波動率微笑和波動率期限結構

人們通過研究發(fā)現(xiàn)，應用期權的市場價格和BS公式推算出來的隱含波動率具有以下兩個方向的變動規(guī)律：“波動率微笑〞〔VolatilitySmiles〕：隱含波動率會隨著期權執(zhí)行價格不同而不同；波動率期限結構〔VolatilityTermStructure〕：隱含波動率會隨期權到期時間不同而變化。波動率微笑對于貨幣期權而言，隱含波動率常常呈現(xiàn)近似U形。平價期權的波動率最低，而實值和虛值期權的波動率會隨著實值或虛值程度的增大而增大，兩邊比較對稱。股票期權的波動率微笑那么呈現(xiàn)另一種不同的形狀，即向右下方偏斜。當執(zhí)行價格上升的時候，波動率下降，而一個較低的執(zhí)行價格所隱含的波動率那么大大高于執(zhí)行價格較高的期權。貨幣期權的波動率微笑與分布股票期權的波動率微笑與分布波動率期限結構從長期來看，波動率大多表現(xiàn)出均值回歸，即到期日接近時，隱含波動率的變化較劇烈，隨著到期時間的延長，隱含波動率將逐漸向歷史波動率的平均值靠近。波動率微笑的形狀也受到期權到期時間的影響。大多時候，期權到期日越近，波動率“微笑〞就越顯著，到期日越長，不同價格的隱含波動率差異越小，接近于常數(shù)波動率矩陣執(zhí)行價格剩余有效期0.900.951.001.051.10一個月14.213.012.013.114.5三個月14.013.012.013.114.2六個月14.113.312.513.414.3一年14.714.013.514.014.8兩年15.014.414.014.515.1五年14.814.614.414.715.0意義和應用波動率微笑和波動率期限結構的存在，證明了BS公式關于波動率為常數(shù)的根本假設是不成立的，至少期權市場不是這樣預期的。因此放松波動率為常數(shù)的假設，成為期權理論開展的一個重要方向。目前主要有兩種不同的策略：從期權市場出發(fā)的改進策略創(chuàng)新策略隨機波動率模型一般模型股票風險中性的隨機波動率模型〔Hull等〕隨機波動率對定價的影響當波動率是隨機的，且與股票價格不相關時，歐式期權的價格是BS價格在期權有效期內(nèi)平均方差率分布上的積分值：

在股票價格和波動率相關的情況下，這個隨機波動率模型沒有解析解，只能使用數(shù)值方法得到期權價格

波動率隨機性質的影響，也會因到期時間的不同而不同

GARCH模型GARCH模型可以分為多種，其中最常見的是GARCH(1,1)模型：采用的形式，用最大似然估計法估計三個參數(shù)、和，可以進一步得到和的值，并可計算出特定時刻波動率的大小〔7-5〕不同時期的權重分布

對公式7-5的右邊右邊重復的迭代過程，可以得到：通過適當?shù)淖儞Q，我們可以將式〔7-6〕寫作由于，可得未來波動率的預期值為：〔7-6〕不確定的參數(shù)

問題：現(xiàn)實生活當中存在著這樣的問題：當參數(shù)價值是不確定的時候，如何為期權定價？解決方法：假設我們知道的這些參數(shù)位于某個特定的區(qū)間之內(nèi)，之后考慮最悲觀的情況下我們的期權至少值多少。用這樣的假設和思路，我們不會計算出期權的某一特定價值，而會發(fā)現(xiàn)期權的價值也將位于某個區(qū)間之內(nèi)

不確定的波動率仍然構造無風險組合，組合價值：假設與考慮最糟糕的情況，可以確定期權的最低值，用公式表示：期權價值的下限期權價值下限滿足其中，

且

。

期權價值的上限期權價值上限滿足：其中，。不確定的利率考察組合，假設：，那么：此時，我們選擇的利率將依賴于的符號，相應的方程為：其中：，不確定的紅利收益率在連續(xù)支付紅利的情況下，其推導過程很類似，在的假定下，只要解出：其中：

跳躍擴散過程所謂的跳躍擴散過程是普通的〔路徑連續(xù)的〕擴散過程和一個在隨機時刻發(fā)生跳躍的〔跳躍幅度也是隨機的〕跳躍過程的結合，顯然這種變化過程更能反映現(xiàn)實價格路徑，對應的模型那么可以認為是考慮資產(chǎn)價格有不連續(xù)的跳躍時對BS公式的推廣資產(chǎn)價格所遵循的跳躍擴散過程

使用連續(xù)布朗運動來反映連續(xù)擴散過程，同時引入泊松過程來描述資產(chǎn)價格的跳躍為泊松過程，定義為：根據(jù)Ito引理，可得：

跳躍擴散過程的保值組合和期權定價仍然考察組合，運用Ito引理，包含了跳躍的組合價值變化為如果時刻沒有跳躍發(fā)生，那么，那么我們就會選擇來降低風險。如果有跳躍，那么，我們?nèi)匀豢梢赃x擇包含了跳躍的期權定價公式

Merton于1976年提出了一個重要的思想：如果資產(chǎn)價格變化過程中的跳躍