全等三角形“十校聯(lián)賽”一等獎

全等三角形主講教師陳曉園

衡水市第六中學(xué)本章內(nèi)容概覽

主要內(nèi)容是命題與證明，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的尺規(guī)作圖。通過全等三角形的性質(zhì)和判定探究線段相等和角相等問題。重點是探索判定三角形全等的方法。即“SSSASAAASSAS”難點是全等三角形性質(zhì)和判定的應(yīng)用。全等三角形主講教師王貽尊

衡水市第六中學(xué)本章學(xué)法點津1、學(xué)習(xí)過程中抓住全等的對應(yīng)關(guān)系，對應(yīng)頂點寫在對應(yīng)的位置上。2、所學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實生活聯(lián)系在一起，注意觀察、操作、推理、想象等探索過程。注意對證明本身的理解，體會由特殊到一般的思想。3、在學(xué)習(xí)時要注意總結(jié)證明三角形全等常用輔助線的作法。注意分類討論思想，方程思想等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。4、對于文字證明要學(xué)會運用符號語言，圖形語言。積極培養(yǎng)對圖形的感知能力。證明要搞清每一步的依據(jù)，熟練掌握學(xué)過的定義，基本事實、法則，定理性質(zhì)等。解題方法1、方程思想通常情況下，問題的條件中含有角之間的比值，倍數(shù)，和差等關(guān)系時，通過設(shè)一個角，然后列出方程求角的度數(shù)。這是一種便捷的方法。例1、AB∥CD,∠1：∠2：∠3

=1：2：3

求證：BA平分∠EBFABCDEF1234分析：欲證∠2=∠4，而∠4=180－（∠1+∠2）且∠2+∠3=180°，所以可求出∠1∠2∠3∠4的度數(shù)。2、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想和方法之一。它的作用把未知轉(zhuǎn)化為已知，把不熟悉的知識轉(zhuǎn)化為熟悉的知識。這是我們學(xué)習(xí)的必由之路。轉(zhuǎn)化思想在本章中的應(yīng)用主要體現(xiàn)為線段的相等，角的相等以及直線的平行轉(zhuǎn)化為全等三角形的對應(yīng)邊，對應(yīng)角相等來解決。例2、在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD中點，連接AE、BE且BE⊥AE。

求證：⑴BE平分∠ABC

⑵AE平分∠BAD

⑶AB=AD+BC

分析：要證明角平分線，借助平行的性質(zhì)及三角形全等，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形。ABCDEABCDEF1234證明：（1）延長AE交BC的延長線于點F

∴△ADE≌△FCE(ASA)求證：(1)BE平分∠ABC平行中點全等證明：（1）延長AE交BC的延長線于點F

∴△ADE≌△FCE(ASA)求證：(2)AE平分∠BAD平行中點全等ABCDEF1234證明：（1）延長AE交BC的延長線于點F

∴△ADE≌△FCE(ASA)求證：(3)AB=AD+BC平行中點全等ABCDEF12343、分類討論思想

對于題中沒有給出圖來的猜測推理題，一定要結(jié)合已知求證，考慮全面，分析透徹得出正確的結(jié)論，做出正確的判斷。這是我們解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵所在。例3、△ABC中，∠BAC=90°AB=AC，過點A作任意直線L,作BM⊥LCN⊥L.畫圖推理并證明MN與BM,CN的關(guān)系。分析：過點A作任意直線L，直線L可能與斜邊BC相交，可能不與斜邊BC相交，所以分兩種情況分析。證明（1）直線L與線段BC不相交MN=BM+CN

∴△ABM≌△CAN(AAS)

∴MN=AM+AN=BM+CNCB23MAN1L（2）直線L與線段BC相交LACBNMBCNALMMN=CN-BM

MN=BM-CN易誤易混警示

1.把握不準三角形全等的判定方法導(dǎo)致錯誤套用，在判斷三角形全等的三個元素中，至少有一個元素是邊。并且這三個元素必須對應(yīng)。在應(yīng)用三角形全等判定時，容易忽視“對應(yīng)元素”而導(dǎo)致錯誤。在△ABC中，

∠A=30°∠B=70°AC=17cm

在△DEF中，∠D=70°∠F=30°DE=17cm

那么△ABC與△DEF全等嗎?為什么?例1、解：不全等80°30°70°17cmEFD80°30°70°17cmCBA注意：此題容易認為只要有兩角及一邊分別相等，就認為三角形全等，不管這些元素是否為對應(yīng)元素，為避免這種錯誤，一定要結(jié)合圖形看清楚。2.對部分作圖題的結(jié)果發(fā)生漏解現(xiàn)象例2、△ABC是不等邊三角形，DE=BC,以D、E為兩個頂點作位置不同的三角形，使所作三角形與△ABC全等。這樣的三角形最多可以畫出（）個。注意：由于兩個三角形中三個頂點的對應(yīng)情況及位置都沒有具體指出，因此應(yīng)分情況討論防止漏解。BCADEDE小結(jié)：觀察操作合情推理演繹推理邏輯證明測量｝二次根式專題

主講教師：王貽尊

衡水市第六中學(xué)

中考考試要求1、了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念。會用根式表示數(shù)的平方根，算術(shù)平方根和立方根。2、了解二次根式的有關(guān)概念：二次根式，最簡二次根式，同類二次根式等。3、理解二次根式的加減乘除運算法則，會用它們進行有關(guān)實數(shù)的簡單四則運算，會確定二次根式有意義的條件。二次根式專題

主講教師：王貽尊

衡水市第六中學(xué)

中考題型探究題型一：二次根式有意義的條件對被平方數(shù)的條件限制①被平方數(shù)大于或等于零；②被平方數(shù)中的分母不等于零；③在被平方數(shù)中的零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)不等于零。列不等式（或不等式組）求解。例1.使代數(shù)式有意義的X的取值范圍是()

A

X≥OB

X≠

CX≥O且X≠D一切實數(shù)

分析:根據(jù)分式有意義的條件可得2X-1≠0，根據(jù)二次根式有意義的條件可得X≥0解出結(jié)果即可。

解：C12-xx2121點評：此題主要考查二次根式中的被開放數(shù)是非負數(shù)，分式有意義的條件是分母不等于零。題型二二次根式性質(zhì)的應(yīng)用

二次根式的被開方數(shù)是一個非負數(shù)的算術(shù)平方根，因此二次根式也一定是非負數(shù)。即1、(≥0)≥0a≥0aa2、

二次根式的這一性質(zhì)有兩個方面的應(yīng)用

（1）進行含有二次根式的代數(shù)式的平方運算

如(－

)2

=(-4)2

×（a2aa()=(≥)0343）2=16×3=48(2)把性質(zhì)逆向書寫為=)也就是說，任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式。02(aaa≥3、

當時，

當＜0

時，aa2=a0a≥aa2=aa2=

－4、積的算術(shù)平方根等于積中算術(shù)平方根的積即

(≥,≥)

(1)公式中的b即可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但必須是非負的，因為負數(shù)沒有平方根。若原被開方數(shù)中各個因式是負數(shù)，應(yīng)先化成非負數(shù)，再運用性質(zhì)求解。

如

而應(yīng)為aa00bab

ab=××64464(-)4(-)×≠--644(-4)(-64)×=464×=×=2×8=16（2）此性質(zhì)可以推廣到根號下含多個非負因數(shù)的情況，

如dcbaabcd=×××(a

≥

0,b≥

0,c≥0

,d≥0)

5、商的算術(shù)平方根等于被除數(shù)的算術(shù)平方根與除數(shù)的算術(shù)平方根的商。即

(1)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)的限制條件(a≥0,b＞0)與積的算術(shù)平方根的限制條件類似，但也有區(qū)別。因為分母不能為0，所以除式b必須是正數(shù)。baba=（2）當被平方數(shù)是帶分數(shù)時，應(yīng)先將帶分數(shù)化為假分數(shù)。(a

≥ob＞0)例2、實數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示,且則的結(jié)果為（）A、2a+bB、-2a+bC、bD、2a-b分析：先從實數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置，得出a,b的取值范圍，然后根據(jù)性質(zhì)進行化簡。答案：cab>baa2+·o··ab點評：在化簡被開放數(shù)中含有字母的二次根式時，首先要判斷字母的符號，對于形如的式子化簡,首先應(yīng)化簡成

的形式，再根據(jù)的取值進行計算。2aaa題型三、二次根式的綜合運算

二次根式混合運算的順序：先乘方開方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的，實數(shù)運算中的運算律(分配律、結(jié)合律、交換律)，所有乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的運算中仍然適用。例3、

分析：根據(jù)二次根式混合運算和法則分別進行計算，再合并同類二次根式即可

解：原式=÷1221348－×＋4×664==6462122134864÷－×＋×－＋＋點評：此題考查了二次根式的混合運算，在計算時要注意順序和法則以及結(jié)果的符號。題型四、與二次根式有關(guān)的化簡求值

包含二次根式的代數(shù)式化簡求值時，可以把要求式子化簡再代入求值，也可以把已知式子適當變形，整體代入求解。分析：先化簡代數(shù)式，然后代入數(shù)值計算例4、先化簡再求值其中x1÷xx12＋－x11－()，12x=－解：原式==

當時xxx112－－×xx2＋12x=－21=xx2＋12－＋()2()－=121222－＋＋－22－=點評：解此類題首先要準確化簡代數(shù)式，其次注意代入數(shù)值后的計算順序及法則。題型五、與二次根式有關(guān)的實際

與二次根式有關(guān)的應(yīng)用題常與正方形面積，直角三角形的性質(zhì)、面積、勾股定理結(jié)合起來考查。應(yīng)用題例5、母親節(jié)到了，為了表達對母親的敬意，小明畫了兩張大小不同的正方形畫送給母親。一張面積為800cm2,另一張面積為450cm2,他想如果用彩帶把畫鑲得更漂亮。他現(xiàn)有1.2m長的彩帶，請你幫助算一算，彩帶夠用嗎？如果不夠，還需買多長的彩帶?(結(jié)果保留整數(shù))

分析：根據(jù)面積公式表示出兩個正方形的邊長，再根據(jù)正方形周長公式求出所需彩帶的長，把需要的彩帶長和現(xiàn)有的彩帶長進行比較做出判斷。414.12≈

解：兩正方形畫的邊長分別為