設(shè)計(jì)第2章極限問(wèn)題的解析

第1章緒 1.1簡(jiǎn) 微積分有關(guān)知 應(yīng)用求解微積 本章小 第2章極限問(wèn)題的解析 單變量函數(shù)的極 區(qū)間函數(shù)的極限運(yùn) 多變量函數(shù)的極 本章小 第3章函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解析 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的高階導(dǎo) 參數(shù)方程的導(dǎo) 多元函數(shù)的偏導(dǎo) 隱函數(shù)的導(dǎo) 多元函數(shù)的Jacobi矩 Hess偏導(dǎo)數(shù)矩 本章小 第4章積分問(wèn)題的解析 不定積分的推 定積分與無(wú)窮積分計(jì) 多重積分問(wèn)題的求 本章小 第5章函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)與級(jí)數(shù)求和問(wèn)題求 單變量Taylor冪級(jí)數(shù)展 多變量函數(shù)的Taylor冪級(jí)數(shù)展 Fourier級(jí)數(shù)展 級(jí)數(shù)求和的計(jì) 序列求積問(wèn) 本章小 第6章曲線(xiàn)積分及求 第一類(lèi)曲線(xiàn)積 曲面積分與語(yǔ)言求 本章小 第7章微積分問(wèn)題數(shù)學(xué)模型應(yīng)用實(shí)例及求 儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別模 本章總 結(jié) 參考文 致 11.1簡(jiǎn)Thethorks公司推出的語(yǔ)言一直是國(guó)際科學(xué)界應(yīng)用和影響最廣泛的三大計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)語(yǔ)言之一，是matrix和labortry兩個(gè)詞的組合，意為矩陣工（矩陣，主要面對(duì)科學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式程序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算環(huán)境.從某種角度來(lái)說(shuō)，在純數(shù)學(xué)以外的領(lǐng)域中，語(yǔ)言有著其他兩種計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)語(yǔ)言themtica和Mple無(wú)法比擬的優(yōu)勢(shì)和適用面.在很多領(lǐng)域，語(yǔ)言都是科學(xué)研究者首選的計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)語(yǔ)言，其在高等應(yīng)用數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中都有應(yīng)用，包含的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支為微積分、線(xiàn)性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)以及新的非傳統(tǒng)方法如模糊邏輯與模糊推理神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遺傳算法小波分析粗糙集以分?jǐn)?shù)階微積分學(xué)等.可以.為了簡(jiǎn)化涉及數(shù)值運(yùn)算或繪制圖形方面的程序的編制，的開(kāi)發(fā)者人CleveMoler及其同事在國(guó)家科學(xué)基金的資助下研究開(kāi)發(fā)調(diào)用LINPACKEISPACKFORTRAN子程序庫(kù)，隨著研究的深入，他將這個(gè)接口程序改名為.此時(shí)的作為一種文化現(xiàn)象開(kāi)始受到歡迎，并成了應(yīng)用數(shù)學(xué)界的術(shù)語(yǔ).受到的影響，工程師Little將應(yīng)用到了工程領(lǐng)域并合作開(kāi)發(fā)出了以C語(yǔ)言編寫(xiě)與圖形功能為的第二代專(zhuān)業(yè)版.Mathworks公司在1984年正式推出，并繼續(xù)從事的研，經(jīng)過(guò)十幾年的發(fā)展和競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)已逐步風(fēng)靡世界.可靠的數(shù)值運(yùn)算能是區(qū)別于其他科技應(yīng)用軟件的顯著特點(diǎn).，的數(shù)值計(jì)算功能包括：矩陣的創(chuàng)建和保存、數(shù)值矩陣代數(shù)、乘方分和數(shù)值導(dǎo)數(shù)、用于求積分、優(yōu)化和微分方程的數(shù)值解的功能函數(shù)等.在一代的通用軟件開(kāi)發(fā)平臺(tái)，并為此提供了將源程序編譯為獨(dú)立于集成環(huán)境運(yùn)行的EXE文件，以及轉(zhuǎn)化為C語(yǔ)言源程序的編譯器.高效的數(shù)值計(jì)算和符號(hào)計(jì)算功能可以有效提高用戶(hù)進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算如今的在圖形與可視化功能方面也發(fā)展迅速.自出現(xiàn)進(jìn)行標(biāo)注和打印甚至還能進(jìn)行二維三維的圖形處理.新版本的在原此外，工具包也是的一大特點(diǎn).中包括數(shù)百個(gè)內(nèi)部函存在保證了的開(kāi)放性除了內(nèi)部函數(shù)所有主包文件和各種構(gòu)造新的工具包，這種開(kāi)放性也讓廣受歡迎.總體來(lái)說(shuō)，的優(yōu)點(diǎn)在于強(qiáng)大的作圖功能，高度智能化，豐富完善的功能和強(qiáng)大的擴(kuò)展性正因于此，已經(jīng)成為研究和解決各種具體工程微積分是研究微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱(chēng)，英文名稱(chēng)是Calculus（拉丁語(yǔ)意為用從微積分稱(chēng)為一門(mén)學(xué)科來(lái)說(shuō)，是在17世紀(jì)，但是積分的思想早在古代就已 ，來(lái)填充拋物線(xiàn)的圖形，以求得其面積.這些都是窮盡法的古典例子.在我國(guó)， 完全的數(shù)學(xué)證明.微積分的范圍被打打拓寬了.極限不是對(duì)微積分基礎(chǔ)的唯一推一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，可以生成一個(gè)新的函數(shù)，叫做原函數(shù)的導(dǎo)數(shù).引進(jìn)的常用導(dǎo)數(shù)記號(hào)例：y dy2其中dy是上面計(jì)算的極限 b面積的代數(shù)解.微積分的基 為af(x)dxF(b)述微積分的科算問(wèn)題，調(diào)用現(xiàn)有的函數(shù)或自編的函數(shù)，可以直接本章介紹了的發(fā)展、特點(diǎn)和功能，并介紹了微積分的發(fā)展和應(yīng)用，最后介紹了利用求解微積分的必要性.2應(yīng)用語(yǔ)言的符號(hào)預(yù)算工具箱，可以很容易地求解極限問(wèn)題，微分問(wèn)題，積分問(wèn)題等微積分基本問(wèn)題.利用本章介紹的方法讀者可以具備依賴(lài)語(yǔ)言及其符號(hào)運(yùn)算工具箱提供的強(qiáng)大函數(shù)直接求解一般微積分運(yùn)算問(wèn)假設(shè)已知函數(shù)fx，則極限問(wèn)題的一般描述L

f

(2-來(lái)說(shuō)，還可以如下定義單邊極限（或稱(chēng)左右極限）xLx0

f(xL2xx

f

(2-x從左側(cè)趨近于x0限.極限問(wèn)題在符號(hào)運(yùn)算工具箱中可以使用limit()函數(shù)直接求出該函L

(f,x,x0

%求極 (2-Llimit（fxx0left'或right')

xf，或’right’選項(xiàng).下面將通過(guò)例子演示求解極限的方法2-1

limx(1a)xsinb 利用語(yǔ)言，應(yīng)該首先申明a、b和x為符號(hào)變量，然后定義函數(shù)或序列表達(dá)式，最后調(diào)用limit()函數(shù)求出給定函數(shù)的極限，得出的極限為 xa1 x1 xsin

ex3. 利用語(yǔ)言的limit()函數(shù)，可以容易地求出單邊極限為syms用下面的語(yǔ)句還可以繪制出（-0.1,0.1）holdon;可見(jiàn)，對(duì)這個(gè)例子來(lái)說(shuō)，即使使用limit（f,x,0)回顧原始問(wèn)題，其中采用x0若關(guān)于xa,函數(shù)f(t)的左右極限相同，則該點(diǎn)稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn)，否則2-3試分別求出tant函數(shù)關(guān)于2 由下面命令可以分別求出函數(shù)的左右極限，分別為L(zhǎng)1和L2symst;3n2sin3n2sin n解序列極限的求解方法與函數(shù)極限完全一致：先符號(hào)變量，然后利用limit()函數(shù)直接求解.由下面的語(yǔ)句可以得出此0.symsn;2-5試求出極限

n

)tann(x

n(x21)

難，可以申明兩個(gè)符號(hào)變量——n和x，這樣用下面語(yǔ)句可以直接得出問(wèn)題的限為exx2symsxn;2-6試求出limxn和limxn. 新版的符號(hào)運(yùn)算工具箱由于支持分段函數(shù)，所以可以較好symsxnreal;得出的結(jié)果均為分段函數(shù)，其中L2這兩個(gè)極限的結(jié)果可以解讀成（其中L1結(jié)果最末一個(gè)條件似乎有誤，應(yīng)該包括x=0,即-1<x<1),x無(wú)極限，x

L2,n0,n有些函數(shù)，如sinxx的極限是不存在的，但可以通過(guò)MuPAD函數(shù)例2-7假設(shè)a,b>0,試求出f(t)=asin8x2+bcos(2x-2)函數(shù)在x時(shí)極限的區(qū)間. 利用底層的MuPAD命令可以解出該極限的區(qū)間為（-a-b,a+b).symsabpositive,syms函數(shù)的描述需要通過(guò)底層MuPAD語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn)，在此編寫(xiě)了一個(gè)接口函數(shù)Functionf=piecewise(varargin),str=[];fori=1:2:length(varargin),catch,error(’Inputargumentsshouldbegiveninpairs.’),end該函數(shù)的調(diào)用格式為fpie(vr1,vr2,...)vr應(yīng)該成對(duì)出nd、or和not表示.該函數(shù)使用了try,catchend-1下標(biāo)舍棄它.1.1sign(x),|x|2-

yx,|x|

解首先描述分段函數(shù)，然后繪制該函數(shù)曲線(xiàn).由于符號(hào)運(yùn)算本身的局限性，分段函數(shù)定義的符號(hào)變量不能用ezplot()函數(shù)直接繪制.Symsx;x0=-如果|x|1.1在數(shù)學(xué)上表示成-1.1x1.1，也可以將其理解成x1.1且x1.1，這時(shí)相應(yīng)的字符串表示應(yīng)該為’x>=1.1andx<=-1.1’.設(shè)有二元函數(shù)f(x,y)，該函數(shù)的累極限定義為

f(xyL2lim

f(x,

(2-xx0

yy0limit()函數(shù)22-92

e1/(y2x2)

x

1)xa2y2]y

y 由于涉及y，在下應(yīng)該假設(shè)y為正數(shù)，所以本例中的問(wèn)題y以用下面的語(yǔ)句直接解出，其極限值為ea2symsxsymsyLy

f(x,2-10limxy

xyx2

)x20，一般可以認(rèn)為原函數(shù)的二重極限也為0.xy2、yx2symsxy;L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf),L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)limit()函數(shù)，feval()limit()函數(shù)的嵌套使用方法，并結(jié)合例子介紹3如果函數(shù)和自變量都已知，且均為符號(hào)變量，則可以用diff()函數(shù)解出給定函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù).diff()f1difffxn)，其中，f為給定函數(shù)，x為自變量，這兩個(gè)變量均應(yīng)該為符號(hào)型的，nn則將自動(dòng)求取一階導(dǎo)數(shù)；如果f表達(dá)式中只有一個(gè)符號(hào)變量，還可以省略變量x.例3-1給定函數(shù)f(x) sin ，試求x24x

d4f.解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)問(wèn)題可以很容易地利用符號(hào)運(yùn)算工具箱語(yǔ)句求解.可以首先申明x為符號(hào)變量再用語(yǔ)句描述原函數(shù)然后調(diào)用diff()函數(shù)就能直接得出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).symsx;f(x)

x24x3-(x24x3)ezplot()函數(shù)可以直接繪制出原函數(shù)與得出一階導(dǎo)數(shù)函數(shù)的曲線(xiàn)，如圖holdon;4得出的結(jié)果比較冗長(zhǎng)，由LATEXx24x

4(2x4)cos(x24x

(2x4)2sin(x24x

sin(x24x

(2x4)3cos(x24x

(2x4)cos(x24x

(2x4)4sin(x24x

(2x4)2sin(x24x

sin(x24ximple()inx或oxollt(imple(f4o(x))ollt(imple(f)in(x)),則可以得出下面給出的更簡(jiǎn)潔的結(jié)果44(diff()面給出令一般可以再10s內(nèi)獲得該函數(shù)的100階導(dǎo)函例3-2試推導(dǎo)函數(shù)F(t)t2f(t)sint的2階導(dǎo)函數(shù)，并得出f(t)et 直接推導(dǎo)出F(t)3symst;d3F(t)

d3f(t)[dt3

d2f

cost

df

sintf(t)cost]t

d2f

df

cost6f(t)sint]

df

sint6f(t)cosf(tet31y(t)2et(t2costt2sint6tcost3cost3sint)13-3H(x)

e4x 3x24x 4x22 語(yǔ)言的diff()函數(shù)可以直接用于已知矩陣函數(shù)H(x)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，即對(duì)H(x)的每個(gè)元素hi,j(x)直接求導(dǎo)，構(gòu)成新的導(dǎo)數(shù)矩陣N(x).symsH=[4*sin(5*x),exp(-4*x^2);3*x^2+4*x+1,sqrt(4*x^2+2)]H(x)

500cosH(x)

512x3e4x224212

(2x21)5/

(2x21)3/2dn若已知參數(shù)方程y=f(t),x=g(t),

可以由遞 求dy

f'g'd2y

f'

d(dy

dtg'

g'

dt

g'dny

dn1ydt(dxx1)

1y'并沒(méi)有提供可以直接用于參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)求取的函數(shù)，所以functionIfmod(n,1)~=0,error(’nshouldpositiveinteger,pleasecorrect’)else,ifn==1,result=diff(y,t)/diff(x,t);3-4y

(t

,x

cos(t

,

d3. 由前面給出的函數(shù)調(diào)用格式，可以立即得出所需的高階導(dǎo)數(shù)symst;d3y

t

t

(ct

t

t

t t

t)5的符號(hào)運(yùn)算工具箱中并未提供求取偏導(dǎo)數(shù)的專(zhuān)門(mén)函數(shù)，這些偏導(dǎo)數(shù)仍然可以通過(guò)diff(函數(shù)直接實(shí)現(xiàn).假設(shè)已知二元函數(shù)f(x,y)若想求mnf/(xmynf1=diff(diff(f,x,m),y,n),或3-5zf(xyx22x)ex2y2xy的一階偏導(dǎo)數(shù)，并用 用下面的語(yǔ)句可直接求出z/x與z/symsxz(x,y)ex2y2xy(2x22x3x2y4x2z(x,y)x(x2)(2yx)ex2y2x(3,2),y(2,22[x0,y0]=meshgrid(-3:.2:2,-Surf(x0,y0,z0,30),zlim([-0.3quiver()函數(shù)繪制出引力線(xiàn)，該引力線(xiàn)可以疊印在由comtour()函數(shù)繪制出的等值線(xiàn)上，如圖3所示.其中，引力西安回執(zhí)函數(shù)的詳細(xì)信息可以由docquiver命令進(jìn)一步列出.contour(x0,y0,z0,30),holdon; 4f(x,y,3-6f(xyzsinx2y)ex

由下面的語(yǔ)句申明自變量及函數(shù)，則可以用語(yǔ)句立即得出symsxyF4zexyz

2

yxyx

已知隱函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為f(x1,x2,...,xn)0，則可以通過(guò)隱函數(shù)對(duì)相關(guān)變 求出xi/xj

f(x1,x2,...,xn)/f(x1,x2,...,xn)/

(3-fxixjdiff()函F1difffxjdifffxi）對(duì)二元函數(shù)f(x,y)來(lái)說(shuō)，如果求出了yxF1(xy（，2

F(x, F(x,F2(x,y)

n

(x, (x,Fn(x,y)

(3- 上述命令用語(yǔ)言可以很容易地實(shí)現(xiàn)，后面將通過(guò)例子演示.此外，上1容易地編寫(xiě)出隱函數(shù)fnfnyxn1function mod(n,1)~=0,error(’nshouldpositiveinteger,pleasecorrect’)else,F1=-simple(diff(f,x)/diff(f,y));dy=F1;例3-7考慮3-15f(xyx22x)ex2y2xy0， 3yx和x3 symsx可以得出偏導(dǎo)數(shù)為y

F1(x,y)

3x36x24x42x(x2y)(x2)

122下 求x2這些語(yǔ)句可以求出y 3x4F2(x,y)2 -54x9(324(52y2264y(64y4384y3816y2416y(192y4768y3672y23F3(x,y)x33-8x2xyy23 利用下面的語(yǔ)句可以直接求出函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)，另外，由x2xyy23， 上 令可以得F2xy,F x2 其中，使用的subs()命令有時(shí)似乎替換得不完全，F(xiàn)41944(x2F4

(x2 多元函數(shù)的Jacobi假設(shè)有nmy1f1(x1,x2,...,xnyf(x,x,...,x ymfm(x1,x2,...,xnyi對(duì)xjy1/

y1/

y1/xnJ

/

/

/xnn

(3-mm

/

/

/xn該矩陣又稱(chēng)為Jacobi的概念.Jacobi矩陣可以由的符號(hào)運(yùn)算工具箱中的jacobian()函數(shù)直接得，其調(diào)用格式為J=jacobian(y,x),其中，x是自變量構(gòu)成的向量，y是由各個(gè)函數(shù)n例3-9已知球面坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的變換xrsincos,yrsinsin,zrcos試求出函數(shù)向量[x,y,z]對(duì)自變量向量[r,,的Jacobi矩陣解3Jacobisymsrthetaphi;x=r*sin(theta)*cos(phi);J=jacobian([x;y;z],[rthetaphi])可以得出JacobiJsinsin

rcos

rsincos

對(duì)一個(gè)給定的nf(x1x2xnHess 12f/1

2f/x

2f/xx12nn12nn H

2f/x

2f/

2f/x

(3-2 22f/x 2f/x 2f/x2 n可見(jiàn)，該Hess矩陣實(shí)際上就是標(biāo)量函數(shù)f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣.新版hessian()Hess矩陣，調(diào)用格式為H=hessian(f,x),其中向量x[x1,x2,...,xn].早期版本的符號(hào)工具箱并未供hessian()H=jacobian(jacobian(f,x),x)直接求解例3-10重新考慮例3-5中給出的二元函數(shù)，試求其Hess矩陣. 下面語(yǔ)句可以直接求取該函數(shù)的Hess矩陣symsx得出的結(jié)果（或早期版本嵌套調(diào)用jacobian()函數(shù)）2 4x2(2x2)(2xy)2x2(2xx2)(2xy)2Hexyxy2x(2x2)(x2y)x2(2xx2)(x2y)(2x2x(2x2)(x2y)x2(2xx2)(x2y)(2xx(x2)(x24xy4y2 偏導(dǎo)數(shù)，多元函數(shù)的Jacobi矩陣以及Hess偏導(dǎo)數(shù)矩陣的算法，并介紹了diff()函數(shù)，diff()函數(shù)的嵌套使用方法，jacobian()函數(shù)以及hessian(f,x)函數(shù)。最后通過(guò)4bF(x)f(x)dx,af(x)dx,f(x1,x2,...,xn)dxn

(4-f(被稱(chēng)為被積函數(shù).第一個(gè)積分表達(dá)式稱(chēng)為不定積分，函數(shù)稱(chēng)為原函數(shù).第二個(gè)積分式稱(chēng)為定積分.第三個(gè)積分稱(chēng)為多重積分.在傳統(tǒng)微積分學(xué)課程中，求解不定積分問(wèn)題通常需要靈活熟練地掌握和運(yùn)用各種不同的積分度上取決于用戶(hù)的經(jīng)驗(yàn)和技巧.接下來(lái)側(cè)重于介紹基于的積分問(wèn)題客觀(guān)求解方法.int()函數(shù)，可以直接用來(lái)求取符號(hào)函數(shù)的不定積分.F=in(f,x).f中只有一個(gè)變量，則調(diào)用語(yǔ)句中的x可以省略.值得的是，該函數(shù)得出的結(jié)果F(x)是積分原函數(shù)，實(shí)際的不定積分應(yīng)該是F(x)+C構(gòu)成的函數(shù)族，其中，C是任意常數(shù).對(duì)于此類(lèi)的函數(shù)，符號(hào)工具箱提供的int()函數(shù)可以用計(jì)算機(jī)代替4-13-1diff()f(x)函數(shù)的一階導(dǎo)解ymsx;y1=diff(y);y0=in(y1)

sinx2(x

sin2(x

4次積分，則可以用下面語(yǔ)句判定正確性.

，(x1)(x原函數(shù)完全一致，故說(shuō)明對(duì)給定的例子來(lái)說(shuō)，得出的結(jié)果是正確的4-2x3

axdx

x(43 43

3x)sin2ax(

3x2

)cos2axC4 用語(yǔ)言的符號(hào)運(yùn)算工具箱可以直接得出下面的化簡(jiǎn)結(jié)4symsax;f

(2a4x43cos2ax6a2x2cos2ax4a3x3sin2ax6axsin2ax右側(cè)的表達(dá)式也輸入到工作空間，將二者相減并進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而得其差為316a4%認(rèn)為題中的等式得證.4-3f(xex22g(xxsinax4ex22的積分問(wèn)題 首先考慮f(x)ex2/2的不定積分求解.用語(yǔ)言可以給出下面symsx;

/2erf(x

2).殊符號(hào)函數(shù)erf(x2xet2dt.0由vpa()函數(shù)求取其具體數(shù)值.再考慮一真正不可積的函數(shù)g(x)xsin(ax4)ex2/2，用語(yǔ)句可以symsax;found解析解不存在如果求出了某個(gè)函數(shù)f(x)的不定積分為F(x)+(,b)等于IF(b)-F()..rf(x)分不可直接求解，但需要得出rf(1.5).在語(yǔ)言中仍然可以使用int()函數(shù)來(lái)求解定積分或無(wú)窮積分問(wèn)題該函數(shù)的具體調(diào)用格式為I=int(f,x,a,b)，其中，x為自變量，(a,b)為定積分的積分區(qū)間，求解無(wú)窮積分時(shí)，允許將a、b設(shè)置成-Inf或Inf，如果得出的結(jié)果不是確切的數(shù)值，還可以試著用vpa()函數(shù)得出定積分的解.有時(shí)，定積分可以依賴(lài)定積分直接求解.如果f(x)的不定積分原函數(shù)為F(x)，則其在(a,b)區(qū)間的定積分可以由F(b)-F(a)求出.4-4f(xex22a=0,b=1.5或時(shí)的定解若要求解該問(wèn)題，需要給出如下的語(yǔ)symsx;I1=int(exp(-x^2/2),x,0,1.5),vpa(I1)

I1

/2erf

2/4)

I2

/

2x24-5試求解函數(shù)邊界的定積分問(wèn)題I(tcost(2x23x1)2dx解:提供的int()函數(shù)還可以求解函數(shù)積分區(qū)域的定積分問(wèn)題，題的定積分可以由下面的語(yǔ)句直接求解.對(duì)本例來(lái)說(shuō)直接使用int()函數(shù)求symsxf=(-2*x^2+1)/(2*x^2-3*x+1)^2;I1=int(f)I(t)

2cost

cost

2e2t

e2t1多重積分問(wèn)題也可以在語(yǔ)言環(huán)境中直接求解，但需要根據(jù)實(shí)際情有解析解，而需要采用數(shù)值方法求解原始的積分問(wèn)題.之后介紹4-6已知下面的三元函數(shù)F(x,y,z),試求出F(x,y

zexyz

2

22

222

224

2y)解對(duì)該函數(shù)進(jìn)行積分.先對(duì)zyx積分兩次，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，則得出結(jié)果為f1ex2yz2sinx2y.symsxyzxxy，仍可以得出一致的結(jié)果4-7試求解三重定積分問(wèn)題24zex2yz200 用如下的定積分求解語(yǔ)句可以立即計(jì)算出所需的三重積symsxy這時(shí)得出的結(jié)果為(e21)(ln4Ei(4,其中，EulerEi(z)Ei(z)zett1dt.值解這樣，原始問(wèn)題的精確數(shù)值解可以由vpa(ans得出，其結(jié)果為 本章通過(guò)不定積分，定積分和無(wú)窮積分三個(gè)方面介紹不定積分的解，介紹了int()函數(shù)的用法，并通過(guò)例子具體介紹不同問(wèn)題的算法.5單變量Taylor如果在x=0點(diǎn)附近進(jìn)行Taylorf(x)aaxax2...a

(5- 其中，系數(shù)ai可以由下面的求ai

d

f(x),i

該冪級(jí)數(shù)展開(kāi)又稱(chēng)為Maclaurin級(jí)數(shù)，若關(guān)于x=af(x)b1b2(xa)

其中，各個(gè)系數(shù)bibi

d

f(x),i

為%關(guān)于x=a點(diǎn)進(jìn)行k次Taylor以省略.K6項(xiàng).aa=0的Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi).早期版本的taylor()函數(shù)調(diào)用格式與此不同，為F=taylor(f,x,k,a).下面將通過(guò)例子演示Taylor冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法.5-13-11f(xsinxx24x3Maclaurin9x=2x=ataylor冪 先用下面的語(yǔ)句輸入已知的函數(shù)，這樣就可以調(diào)用taylor()函數(shù)導(dǎo)出其Maclaurin冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的前9項(xiàng)為

59 symsx;多變量函數(shù)的Taylorf(xf(x1x2xn的Taylorf(x)

f(a)[(

an

]f

xa1[(

a)

a)]2f

(5-2！

1n1n

n

1[(

a)

a)]kf

1n1n

n

aa1a2an為T(mén)aylor冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的中心點(diǎn).Ptaylor(f,[x1,x2,...,xn],[a1,a2,...,an],Order，k)其中，k-1為展開(kāi)的最高階次，f為原多變量函數(shù)例5-3試求函數(shù)f(x,y)(x22x)ex2y2xy的各種Taylor冪級(jí)數(shù)展開(kāi). 使用給出的函數(shù)就可以立即得出關(guān)于原點(diǎn)的Taylor冪級(jí)數(shù)展開(kāi)symsx7F(x,y)73

(y

1)x62

(2

y

7(3

2

2y(2

y

(y5

y2424

2y (636

2

現(xiàn)在求取關(guān)于x=1,y=asymsF=taylor(f,[x,y],[1,a],’Order’,3),F(x,y)ea2a1[(a1)(a2)2](x1)2ea2a1(2a1)(a2ea2a1(ay)2[(2aea2a1(ay)(xF(x)1ea2a1 14a24ax2f(x)，x[LL],T=2Lf(xf(KTx，k

f(x)a0

cosnxb

a

Lf(x)cosnxdx,n L

(5-b1Lf(x)sinnxdx,n L Fourier級(jí)數(shù)，而anbnFourier系數(shù).x(ab 計(jì)算出周期L=(b-a)/2,xxxLa,f(x映射成(-區(qū)間上的函數(shù)，可以對(duì)之進(jìn)行FourierxxLa映射回x數(shù)即可Fourier系數(shù)與級(jí)數(shù)的現(xiàn)成函數(shù).其實(shí)由上述不難編寫(xiě)出解析或數(shù)值的Fourier級(jí)數(shù)求解函數(shù).其中解析函數(shù)如下Funcion[F,A,B]=fseries(f,x,varargin)ifa+b,f=subs(f,x,x+L+a);B=[];F=A/2;forn=1:pA=[A,an];B=[B,bn];Ifa+b,F=subs(F,x,x-L-a);default_vals()這個(gè)函數(shù)后面還將用到.FunctionIfnargout^=length(vals),error(’numberofargumentsmismatch’);Else,nn=length(varargin)+1;fori=nn:nargout,該函數(shù)的調(diào)用格式為[F,A,B]=fseries(f,x,p,a,b),其中，f為給定函數(shù)，x為自變量，p6，a、bx的區(qū)間，可以省略其默認(rèn)值[,]，A,B為Fourier系數(shù)向量，F(xiàn)為展開(kāi)式.5-4yx(xx2x0,2的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi) 上述給定函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)可以很自然地用下面的語(yǔ)句得syms12項(xiàng)的Fourierf(x)12sinx3sin2x4sin3x3sin4x

sin5x1sin6x

f(x)

.n1n3sin12Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)對(duì)原函數(shù)的擬合情況，可見(jiàn)，ezplot(f,[-pi,3*pi]),holdon,symsum()可以用于已知通項(xiàng)的有窮或無(wú)窮級(jí)數(shù)求和.該函數(shù)調(diào)用格式為Ssymsumfkkk0knfk為級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，k為k0和kninf.該函數(shù)nknSk

(5-fk表達(dá)式中只含有一個(gè)變量，則在函數(shù)調(diào)用時(shí)可以省略k量例5-5計(jì)算有限項(xiàng)級(jí)數(shù)求和S20212223 用數(shù)值計(jì)算方法可以由下面語(yǔ)句得出結(jié)果為formatlong;

由于數(shù)值計(jì)算中使用了double16以得出的記過(guò)不是很精確.symsum()函數(shù)，或至少將2定義為符號(hào)量，就可以用sum()函數(shù)求解.對(duì)原始問(wèn)題稍擴(kuò)展一201項(xiàng)的級(jí)數(shù)求和可以用下面的語(yǔ)句精確求出為，0602751算法無(wú)法精確做到的sum(sym(2).^[0:200])%symsk;5-6 1 4

7 如果想借助的符號(hào)運(yùn)算工具箱則可以立即得出結(jié)果為syms此級(jí)數(shù)求和亦可以用數(shù)值方法求得.假設(shè)求 項(xiàng)的和這時(shí)可以0.33333332222165double小數(shù)位. formatlong;s1達(dá)到10-6m107時(shí)，通項(xiàng)值10-15只有16位，所以計(jì)算通項(xiàng)時(shí)16位后的數(shù)字加到累加量上就了，這就是數(shù)值5-7J

.n0(2n1)(2x 出結(jié)果.這里給出的求和問(wèn)題中含有變量x，所以?xún)H靠數(shù)值運(yùn)算的方式不可能得最簡(jiǎn)結(jié)果為2atanh(1/(2x+1))，并給出收斂條件x>0或x<-1.symsnx;Ezplot(2*atanh(1/2*x+1))),hold例5-8試求解級(jí)數(shù)與極限綜合問(wèn)題lim[(11111)

語(yǔ)言的符號(hào)運(yùn)算工箱直接求解.從題中給出的式子可ymum(1/m,1,)由下面的語(yǔ)句求解symsmn;limit(symsum(1/m,m,1,n)-該語(yǔ)句得出的結(jié)果為Euler常數(shù)，其值可以由精確地顯示出來(lái)，如vpa(ans,70)命令 lnn樣做前后為無(wú)窮大，求極限的結(jié)果將是不定式NaN.5-9

1)sin

2)sin2(1n1)sin(n1)

k解從上面給出的問(wèn)題可見(jiàn)，級(jí)數(shù)的通項(xiàng)為a(1k/n2)sin(k/n2)k且k1,2,n1,S2symsnk;bPfnb

新版的符號(hào)運(yùn)算工具箱提供了求解函數(shù)symprod()直接求取序列求Psymprod(fnna,b). k5-10試求出序列的有限項(xiàng)乘積Pn(13kk 由下面的語(yǔ)句可以立即得出該序列的有限項(xiàng)乘積與無(wú)窮乘積symskn;

3)(n

3i))(n

3i)(n

3 ，P n(n 5-11 1

-135

-

nn 這個(gè)問(wèn)題是級(jí)數(shù)求和問(wèn)題，其通 為(1)n[(2k1)/(2k)]，kn0,1,,故由下面的語(yǔ)句可以直接得出原問(wèn)題的解為S

2/symskn,S=symsum((-1)^n*symprod((2*k-5-12

x/nP n 下面語(yǔ)句可以直接得出原問(wèn)題的symsn

x為負(fù)整P

/(x

其他，其中為Euler常Taylor冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)展開(kāi)，級(jí)數(shù)求和的計(jì)算以及序列求積等幾個(gè)方面介紹了函數(shù)級(jí)數(shù)問(wèn)題的求解，并介紹了taylor()函數(shù)symsum()函數(shù)的用法，并通過(guò)例子詳細(xì)介紹了具體的算法.第6章曲線(xiàn)積分及求I1

f(x,y,

(6-若x、y、z均由參數(shù)方程x=x(t),y=y(t),z=z(t)f()(dx)2((dx)2(dy)2(dz簡(jiǎn)記作ds x2y2z2 其中，f(x,yzfP(xyzQ(xyzR(xyzd亦為向量，若曲線(xiàn)可以由參數(shù)方程表示成t的函數(shù)，記作x(t),y(t),z(t)ds dxd dt

(6-則兩個(gè)向量的點(diǎn)乘可以由兩個(gè)向量直接得出，這樣就可以利用6-1試求出曲線(xiàn)積分

xyx2y2

dx

xyx2y2

dy，lx2y2a2 若想按圓周曲線(xiàn)進(jìn)行積分，則可以寫(xiě)出參數(shù)方程(0t2,這樣，用下面的方法可以直接求出曲線(xiàn)積分為symssymsapositive;x=a*cos(t);6-2試求出曲線(xiàn)積分的值(x22xy)dxy22xy)dy，llyx2(1x1) 其實(shí)，曲線(xiàn)給出的方程已經(jīng)是關(guān)于x的參數(shù)方程，且x對(duì)x的導(dǎo)數(shù)顯然為1，故可以用下面的語(yǔ)句求出曲線(xiàn)積分的值為-14/15symsy=x^2;F=[x^2-2*x*y,y^2-2*x*y];ds=[1;diff(y,x)]; 第一類(lèi)曲面積I[x,y,I[x,y,f(x,1f2f2(6-其中，xy例6-3試求出SxyzdSS是由四個(gè)平面x=0,y=0,z=0x+y+z=a 記這四個(gè)平面為S1,S2,S3,S4,則原積分可以由

S1S2S300，所以只需S4S4平面的數(shù)學(xué)表示為z=a-x-yIsymsx

3a5/120symsapositive;給出，則曲面積分可以由下面 求

I[x(u,v),y(u,v),z(u,

EGF2Ex2y2z2,Fx

y

z

，Gx2y2z

u u

例6-4(x2yzy2x=ucosv,y=usinv,z=v的0ua,0v2

其中S為螺旋曲面 由上述可以立即得出積分結(jié)果a2I12(2a(a21)3/2a28

symsusymsapositive;例6-5試求(x2y2ds，其中l(wèi)yxyx2l 應(yīng)該用下面的指令繪制出給定的兩條曲線(xiàn)，如圖4所示.x=0:.0.01:1.2;y1=x;y2=x.^2;plot(x,y1,x,y2),holdon,ii=find(x<=1);yy=[y2(ii),y1(ii(end):-1:1)];symsx;

I3

2

5

第二類(lèi)曲面積 IdVP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dxdzR(x,y,

(6-S SSzf(x,y給出，被積函數(shù)P,QRdVdydzdxdzdxdy]TIS[P(x,y,z)cosQ(x,y,z)cosR(x,y,z)cos其中，zf(x,y

(6-1f1f2f

-

,cos

f

,cos 1f21f2f 1f2f 1f2f IPfxdxdyQfydxdzA2A2B2CCA2B22

(6-A2A2B2C

,cos

,cosAyuzvzuyvBzuxvxuzv,Cxuyvyuxv

z6-5試求出曲面積分(xyz)dydzSa2b2

1 可以引入?yún)?shù)方程x=asinucosv,y=bsinusinv,z=ccosu,且0u20v2，200CRdudv，RxyzCxuyvyu可以用下面的語(yǔ)句求出所需的曲面積分為2abc3symsusymsabcpositive;面積分四個(gè)方面介紹了曲線(xiàn)與曲面積分的求解，并通過(guò)例子介紹了如此類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般積分的算法，并通過(guò)語(yǔ)言的符號(hào)運(yùn)算工具箱求第7章微積分問(wèn)題數(shù)學(xué)模型應(yīng)用實(shí)例及求在本章中，主要以2010高教社杯大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目A題：儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定問(wèn)題，來(lái)介紹微積分問(wèn)題的求解在數(shù)學(xué)模背景資料與條1234（端平頭的橢圓圓柱體4.1011cm123儲(chǔ)油罐截面示意圖4問(wèn)題分我們需要掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響，利用罐體無(wú)變位和傾斜角為4.101cm柱體傾斜角為4.10個(gè)模型與excel附件表格1求解出差值從而確定罐體變位對(duì)罐容表的影響1cm基本假假設(shè)縱向傾斜角符號(hào)說(shuō)S——側(cè)面面積a——橢圓長(zhǎng)半軸bH模型的建立于未變位時(shí)模